Lý thuyết Toán lớp 11 Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
A. Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.1. Giới hạn 0 của dãy số
Ta nói (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| nhỏ hơn một số dương bé tùy ý cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: hay khi
Một vài giới hạn đặc biệt:
• , với k nguyên dương bất kì.
• lim qn = 0, với q là số thực thỏa mãn |q| < 1.
1.2. Giới hạn hữu hạn của dãy số
Ta nói dãy số có giới hạn hữu hạn là số a (hay un dần tới a) khi n dần tới dương vô cực, nếu lim (un – a) = 0.
Kí hiệu: hay lim un = a khi n → +∞.
Chú ý: Nếu un = c (c là hằng số) thì
2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số
Cho lim un = a, lim vn = b và c là hằng số. Khi đó:
• lim (un + vn) = a + b
• lim (un – vn) = a – b
• lim (c.un) = c . a
• lim (un.un) = a . b
• )
• Nếu thì và
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q thõa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Cấp số nhân lùi vô hạn nàu có tổng là:
.
4. Giới hạn vô cực
• Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un = + ∞ hay un → +∞ khi n → +∞.
• Dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞, nếu lim un = + ∞.
Kí hiệu: lim un = − ∞ hay un → −∞ khi n → +∞.
Chú ý:
• lim un = + ∞ ⇔ lim (−un) = − ∞;
• Nếu lim un = + ∞ hoặc lim un = − ∞ thì ;
• Nếu lim un = 0 và un > 0 với mọi n thì .
Nhận xét:
• ();
• (q > 1).
5. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Cho điểm x0 thuộc K và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc K \ {x0}.
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \ {x0} và xn → x0, thì f(xn) → L.
Kí hiệu: hay f(x) → L khi x → x0.
Nhận xét:
• ;
• (c là hằng số).
6. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số
a) Cho f(x) = L và g(x) = M. Khi đó:
• [ f(x) + g(x)] = L + M
• [ f(x) – g(x)] = L – M
• [ f(x) . g(x)] = L . M
(với M ≠ 0)
b) Nếu f(x) ≥ 0 và f(x) = L thì L ≥ 0 và
(Dấu của f (x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, x ≠ x0).
Nhận xét:
• , k là số nguyên dương;
• [cf(x) = c f(x) ( , nếu tồn tại f(x) ) .
7. Giới hạn một phía
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b).
• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là +∞ khi x → x0 về bên phải nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, thì f(xn) → +∞.
Kí hiệu: f(x) = +∞ hay f(x) → +∞ khi .
• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là −∞ khi x → x0 về bên phải nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và x → x0, thì f(xn) → −∞..
Kí hiệu: f(x) = −∞ hay f(x) → -∞ khi .
Chú ý:
a) Các giới hạn f(x) = +∞, f(x) = -∞, f(x) = +∞, f(x) = -∞, f(x) = +∞,f(x) = -∞ được định nghĩa tương tự như trên.
b) Ta có các giới hạn thường dùng sau:
• và ) ;
• với k là nguyên dương;
• nếu k là số nguyên dương chẵn;
• nếu k là số nguyên dương lẻ.
c) Các phép toán trên giới hạn hàm số của Mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây.
Nếu f(x) = và g(x) = +∞ (hoặc g(x) = -∞ ) thì [(f(x) . g(x)] được tính theo quy tắc cho bởi bảng sau:
Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay thành (hoặc +∞, −∞).
8. Hàm số liên tục tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 K.
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếuf(x) = f(x0) .
Nhận xét: Để hàm số y = f(x) liên tục tại x0 thì phải có cả ba điều sau:
• Hàm số xác định tại x0;
• Tồn tại f(x) ;
• f(x) = f(x0) .
Chú ý: Khi hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm x0 thì ta nói f (x) gián đoạn tại điểm x0 và x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f (x).
9. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b).
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy.
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a; b].
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và f(x) = f(a), f(x) = f(b).
Nhận xét: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì luôn tồn tại ít nhất một điểm c (a; b) sao cho f (c) = 0.
10. Tính liên tục của hàm số sơ cấp
• Hàm số đa thức y = P (x) , các hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x liên tục trên ℝ.
• Hàm số phân thức y = , hàm số căn thức y = , các hàm số lượng giác liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng.
Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức.
Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.
Sau đây, khi nói xét tính liên tục của một hàm số mà không nói gì thêm thì ta xét tính liên tục của hàm số đó trên những khoảng xác định của nó.
11. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục
Cho hai hàm số số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
• Các hàm số y = f(x) + g(x); y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
• Hàm số y = liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) ;
c) .
Hướng dẫn giải
a) ;
b) ;
Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Hướng dẫn giải
Suy ra số hạng đầu tiên của dãy là: u1 = 1.
Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là:
Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là: và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là .
Bài 3. Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) .
Hướng dẫn giải
Bài 4. Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) .
Hướng dẫn giải
Bài 5. Tìm các giới hạn sau:
a) A = x();
b) B = ().
Hướng dẫn giải
Bài 6. Chứng minh không tồn tại giới hạn của hàm số f(x) = khi x tiến tới 0.
Hướng dẫn giải
Xét hai dãy số
Suy ra
Và
Khi đó ta xét:
• lim f() = limsin () = 0;
• lim f () = limsin () = 1.
Do lim f() lim f () (0 1) nên hàm số f(x) = không tồn tại giới hạn khi x tiến tới 0.
Bài 1. Tìm giá trị m để hàm số sau đây liên tục trên tập xác định:
Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Xét trường hợp x ≠ 1, hàm số có dạng f(x) = , là hàm số phân thức trên tập xác định (–∞; 1) ∪ (1; +∞) nên nó liên tục trên các khoảng (–∞; 1) và (1; +∞).
Xét trường hợp x = 1, ta có:
• f(1) = 2m. 1+1= 2m +1
Khi đó, để hàm f (x) liên tục tại điểm x0 = 1 thì:
f(x) = f(1)2m+1= -1m = – 1
Vậy m = −1 là giá trị của tham số m cần tìm.
Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm x = 3.
Hướng dẫn giải
Ta có:
• f(x) = 3 = 3
Do f(x) f(x) (3 5) nên hàm số gián đoạn tại điểm x = 3.
Bài 3. Chứng minh rằng phương trình 3x3 + x2 – x – 1 có nghiệm trong khoảng (−1; 1).
Hướng dẫn giải
Hàm số f(x) = 3x3 + x2 – x – 1 là một hàm số đa thức, nên f (x) liên tục trên ℝ.
Suy ra, f (x) cũng liên tục trên đoạn [−1; 1].
Ta có:
• f(–1) = 3 . (–1)3 + (–1)2 – (–1) – 1 = –3 + 1 + 1 – 1 = –2;
• f(1) = 3 . 13 + 12 – 1 – 1 = 3 + 1 – 1 – 1 = 2.
Suy ra f(–1) . f(1) = (–2) . 2 = – 4 < 0.
Do vậy, có ít nhất một nghiệm c (−1; 1) sao cho f (c) = 0.
Vậy phương trình 3x3 + x2 – x – 1 có nghiệm trong khoảng (−1; 1).
Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số
Xem chi tiết
Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số
Xem chi tiết
Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục
Xem chi tiết
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Lý thuyết Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm