Lý thuyết Hàm số liên tục (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 3: Hàm số liên tục

A. Lý thuyết Hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

 Cho hàm $y=f(x)$ xác định trên khoảng K, $x_0\in K$. Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$.

 Hàm số không liên tục tại $x_0$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

*Nhận xét: Để hàm số $y=f(x)$ liên tục tại $x_0$ thì phải có cả 3 điều sau:

• Hàm số xác định tại $x_0$.
• Tồn tại $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$
• $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

– Hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(a;b\right)$

  Hàm số $y=f(x)$được gọi là liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

– Hàm số $y=f(x)$được gọi là liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$nếu nó liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$và $\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$.

* Nhận xét:

– Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là “đường liền” trên khoảng, đoạn  đó.

– Nếu hàm số$y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ và $f(a).f(b)<0$thì phương trình $f(x)=0$có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left(a;b\right)$.

3. Tính liên tục của hàm sơ cấp cơ bản

– Hàm số đa thức và hàm số $y=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x},y=c\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

– Các hàm số $y=\tan \mathrm{x},y=c\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x},y=\sqrt{x}$và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

4. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

Giả sử hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

a, Các hàm số $y=f(x)\pm g(x)$và $y=f(x).g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$.

b, Hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại điểm $x_0$nếu $g(x_0)\ne 0$.

 

 

B. Bài tập Hàm số liên tục

Bài 1. Tìm giá trị m để hàm số sau đây liên tục trên tập xác định:

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Xét trường hợp x ≠ 1, hàm số có dạng f(x) = $\frac{x^2-3x+2}{x-1}$, là hàm số phân thức trên tập xác định (–∞; 1) ∪ (1; +∞) nên nó liên tục trên các khoảng (–∞; 1) và (1; +∞).

Xét trường hợp x = 1, ta có:

• f(1) = 2m. 1+1= 2m +1

Khi đó, để hàm f (x) liên tục tại điểm x₀ = 1 thì:

$\underset{x\to 1}{\lim }$f(x) = f(1)$\iff$2m+1= -1$\iff$m = – 1

Vậy m = −1 là giá trị của tham số m cần tìm.

Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm x = 3.

Hướng dẫn giải

Ta có:

• $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }$3 = 3

Do $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }$f(x) $\ne$ $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }$f(x) (3 $\ne$5) nên hàm số gián đoạn tại điểm x = 3.

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình 3x³ + x² – x – 1 có nghiệm trong khoảng (−1; 1).

Hướng dẫn giải

Hàm số f(x) = 3x³ + x² – x – 1 là một hàm số đa thức, nên f (x) liên tục trên ℝ.

Suy ra, f (x) cũng liên tục trên đoạn [−1; 1].

Ta có:

• f(–1) = 3 . (–1)³ + (–1)² – (–1) – 1 = –3 + 1 + 1 – 1 = –2;

• f(1) = 3 . 1³ + 1² – 1 – 1 = 3 + 1 – 1 – 1 = 2.

Suy ra f(–1) . f(1) = (–2) . 2 = – 4 < 0.

Do vậy, có ít nhất một nghiệm c $\in$ (−1; 1) sao cho f (c) = 0.

Vậy phương trình 3x³ + x² – x – 1 có nghiệm trong khoảng (−1; 1).

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục

Lý thuyết Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song

Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song

 

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Lý thuyết Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm