Lý thuyết Hàm số liên tục (Cánh diều 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 3: Hàm số liên tục

A. Lý thuyết Hàm số liên tục

I. Khái niệm

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

 Cho hàm $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(a;b\right)$, $x_0\in \left(a;b\right)$. Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$.

 Hàm số không liên tục tại $x_0$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

– Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

– Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ và $\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$.

* Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.

III. Một số định lí cơ bản

1. Tính liên tục của hàm sơ cấp cơ bản

– Hàm số đa thức và hàm số $y=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x},y=c\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

– Các hàm số $y=\tan \mathrm{x},y=c\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x},y=\sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục

Giả sử hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

a, Các hàm số $y=f(x)\pm g(x)$ và $y=f(x).g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$.

b, Hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại điểm $x_0$ nếu $g(x_0)\ne 0$.

 

B. Bài tập Hàm số liên tục

Bài 1. Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = x³ + 2x – 1 tại x₀ = –1.

Hướng dẫn giải

Vậy hàm số đã cho liên tục tại x₀ = –1.

Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:

a) f(x) = x + sinx;

.

Hướng dẫn giải

a) Hàm số f(x) có tập xác định là ℝ.

Hai hàm số x và sinx liên tục trên ℝ nên hàm số f(x) = x + sinx liên tục trên ℝ.

b) Hàm số  có tập xác định là ℝ\{2}.

Do đó hàm số  liên tục trên mỗi khoảng (–∞; 2) và (2; +∞).

c) Hàm số h(x) có tập xác định là ℝ.

Vì tử thức cosx liên tục ℝ và mẫu thức x² + 1 ≠ 0 liên tục trên ℝ.

Vậy h(x) liên tục trên ℝ.

Bài 3. Xét tính liêm tục của hàm số   trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải

Hàm số có TXĐ: D = ℝ.

Hàm số liên tục trên mỗi khoảng (–∞; –1); (–1; 0)  và (0; +∞).

• Tại x = –1, ta có:

⇒ Hàm số f(x) liên tục tại x = –1.

• Tại x = 0, ta có:

⇒ Hàm số f(x) liên tục tại x = 0.

Vậy hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x ∈ ℝ.

Bài 4. Tìm giá trị của tham số m để hàm số  liên tục trên đoạn [0; 2].

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên [0; 2] và liên tục trên [0; 2).

Khi đó để f(x) liên tục trên đoạn [0; 2] thì hàm số liên tục tại x = 2.

Tức là ta cần có: 

Ta có:     

Do đó (*) xảy ra khi và chỉ khi .

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục

Lý thuyết Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song