Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số
A. Lý thuyết Giới hạn của hàm số
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Cho khoảng K chứa điểm và hàm số xác định trên K hoặc trên . Ta nói hàm số có giới hạn hữu hạn là số L khi dần tới nếu với dãy số bất kì, và , ta có
Kí hiệu hay , khi .
2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số
a, Nếu và thì
b, Nếu với mọi và thì và .
* Nhận xét:
(, nếu tồn tại )
3. Giới hạn một phía
Cho hàm số xác định trên khoảng .
Ta nói có giới hạn bên phải là số L khi nếu với dãy số bất kì, và ta có , kí hiệu .
Cho hàm số xác định trên khoảng .
Ta nói có giới hạn bên phải là số L khi nếu với dãy số bất kì, và ta có , kí hiệu .
*Chú ý:
thì không tồn tại .
Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay bằng hoặc .
4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi nếu với dãy số bất kì và ta có , kí hiệu hay khi .
Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi nếu với dãy số bất kì và ta có , kí hiệu hay khi .
* Nhận xét:
- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
- Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:
5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
– Cho hàm số xác định trên khoảng .
Ta nói hàm số có giới hạn bên phải là khi về bên phải nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và ta có , kí hiệu
Ta nói hàm số ó giới hạn bên phải là khi về bên trái nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và ta có , kí hiệu
Các giới hạn một bên, được định nghĩa tương tự.
* Chú ý:
- k là số nguyên dương chẵn.
- k là số nguyên dương lẻ.
Giới hạn vô cực
Nếu và hoặc thì được tính như sau:
Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay thành (hoặc ,)
B. Bài tập Giới hạn của hàm số
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) .
Hướng dẫn giải
Bài 2. Tìm các giới hạn sau:
a) A = x();
b) B = ().
Hướng dẫn giải
Bài 3. Chứng minh không tồn tại giới hạn của hàm số f(x) = khi x tiến tới 0.
Hướng dẫn giải
Xét hai dãy số
Suy ra
Và
Khi đó ta xét:
• lim f() = limsin () = 0;
• lim f () = limsin () = 1.
Do lim f() lim f () (0 1) nên hàm số f(x) = không tồn tại giới hạn khi x tiến tới 0.
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số
Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số
Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục
Lý thuyết Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song
Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Lý thuyết Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm