Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác
A. Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác
I. Công thức cộng
II. Công thức nhân đôi
Suy ra, công thức hạ bậc:
III. Công thức biến đổi tích thành tổng
IV. Công thức biến đổi tổng thành tích
B. Bài tập Các phép biến đổi lượng giác
Bài 1. Tính α + β biết .
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta được:
Vậy .
Bài 2. Cho , với . Tính sina, cosa, , sin2a, .
Hướng dẫn giải
Vì nên sina > 0, cosa > 0.
• Áp dụng công thức hạ bậc, ta được:
Suy ra (do sina > 0)
• Áp dụng công thức hạ bậc, ta được: .
Suy ra .
• Áp dụng công thức cộng đối với sin, ta được:
.
• Áp dụng công thức nhân đôi, ta được:
.
• Áp dụng công thức cộng đối với côsin, ta được:
Bài 3. Chứng minh rằng:
a) ;
Hướng dẫn giải
a) VT = cos3x.sinx – sin3x.cosx
= cosx.sinx.(cos2x – sin2x)
= VP.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 4. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:
a) ;
b) ;
c) , với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và S là diện tích ∆ABC.
Hướng dẫn giải
∆ABC, có: , suy ra
Do đó .
b)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
c) VT = sin2A + sin2B + sin2C
= 2sin(A + B).cos(A – B) + 2sinC.cosC
= 2sin(180° – C).cos(A – B) + 2sinC.cosC
= 2sinC.cos(A – B) + 2sinC.cosC
= 2sinC.[cos(A – B) + cosC]
= 2sinC.[cos(A – B) + cos(180° – A – B)]
= 2sinC.[cos(A – B) – cos(A + B)]
= –4sinC.sinA.sin(–B)
= 4sinA.sinB.sinC
.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Lý thuyết Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác
Lý thuyết Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị
Lý thuyết Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản
Lý thuyết Bài 1: Dãy số
Lý thuyết Bài 2: Cấp số cộng
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song