Giải Toán 11 Ôn tập chương 5

Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương 5

Bài tập (trang 177, 178 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 177 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính đạo hàm của các hàm số sau

a. $y=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-5$

b. $y=\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}+\frac{5}{x^3}-\frac{6}{7x^4}$

c. $y=\frac{3x^2-6x+7}{4x}$

d. $y=(\frac{2}{x}+3x)(\sqrt{x}-1)$

e. $y=\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$

f. $y=\frac{-x^2+7x+5}{x^2-3x}$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Lời giải:
a.

b. 

c. 

d.

e.

f.

Bài 2 trang 177 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính đạo hàm của các hàm số sau

a. $y=2\sqrt{x}\mathrm{sinx}-\frac{\cos x}{x}$

b. $y=\frac{3\cos x}{2x+1}$

c. $y=\frac{t^2+2\cos t}{\sin t}$

d. $y=\frac{2\cos \phi -\sin \phi }{3\sin \phi +\cos \phi }$

e. $y=\frac{\tan x}{\sin x+2}$

f. $y=\frac{\cot x}{2\sqrt{x}-1}$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Lời giải: 
a.

b.

c.

d.

e.

f.

Bài 3 trang 177 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hàm số $f(x)=\sqrt{1+x}$. Tính $f(3)+(x-3)f^{\prime }(3)$
Phương pháp giải:

Tính $f^{\prime }(x)$ theo công thức đạo hàm hàm số căn ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{rl}& f(3)=\sqrt{1+3}=2\\ & f^{\prime }(x)=\frac{{\left(1+x\right)}^{\prime }}{2\sqrt{1+x}}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\\ & \Rightarrow f^{\prime }(3)=\frac{1}{2\sqrt{1+3}}=\frac{1}{4}\end{array}$

Suy ra: $f(3)+(x-3)f^{\prime }(3)=2+\frac{x-3}{4}=\frac{5+x}{4}$.

Bài 4 trang 177 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hai hàm số $f(x)=\tan x$ và $g(x)=\frac{1}{1-x}$.

Tính $\frac{f^{\prime }(0)}{g^{\prime }(0)}$

Phương pháp giải:

Tính $f^{\prime }(0)$ và $g^{\prime }(0)$ sau đó thực hiện phép chia.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\Rightarrow f^{\prime }(0)=\frac{1}{{\cos }^{2}0}=1\\ & g^{\prime }(0)=-\frac{(1-x{)}^{\prime }}{{(1-x)}^2}=\frac{1}{{(1-x)}^2}\\ & \Rightarrow g^{\prime }(0)=\frac{1}{{(1-0)}^2}=1\\ & \Rightarrow \frac{f^{\prime }(0)}{g^{\prime }(0)}=1\end{array}$

Bài 5 trang 177 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải phương trình $f^{\prime }(x)=0$, biết rằng:

$f(x)=3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{x^3}+5$

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số $f(x)$ và giải phương trình $f^{\prime }(x)=0$.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)={\left(3x\right)}^{\prime }+{\left(\frac{60}{x}\right)}^{\prime }-{\left(\frac{64}{x^3}\right)}^{\prime }+{\left(5\right)}^{\prime }\\ & =3+\frac{-60.1}{x^2}-\frac{-64{\left(x^3\right)}^{\prime }}{x^6}\\ & =3-\frac{60}{x^2}+\frac{64.3x^2}{x^6}\\ & =3-\frac{60}{x^2}+\frac{192}{x^4}\\ & =\frac{3x^4-60x^2+192}{x^4}\end{array}$

Vậy:

$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)=0\iff 3x^4-60x^2+192=0(x\ne 0)\\ & \iff [\begin{array}{c}{x}^2=16\hfill \\ x^2=4\hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\pm 4\hfill \\ x=\pm 2\hfill \end{array}\text{ thỏa mãn }\end{array}$

Bài 6 trang 177 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho $f_1\left(x\right)=\frac{\cos x}{x};f_2\left(x\right)=x\sin x$

Tính $\frac{{f_1}^{\prime }(1)}{{f_2}^{\prime }(1)}$

Phương pháp giải:

Tính $f_1^{\prime }\left(1\right);f_2^{\prime }\left(1\right)$ sau đó tính thương.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{f_1}^{\prime }\left(x\right)=\frac{{\left(\cos x\right)}^{\prime }.x-x^{\prime }\cos x}{x^2}\\ =\frac{-x\sin x-\cos x}{x^2}\\ \Rightarrow {f_1}^{\prime }\left(1\right)=\frac{-1.\sin 1-\cos 1}{1}\\ =-\sin 1-\cos 1\\ {f_2}^{\prime }\left(x\right)=x^{\prime }\sin x+x{\left(\sin x\right)}^{\prime }\\ =\sin x+x\cos x\\ \Rightarrow {f_2}^{\prime }\left(1\right)=\sin 1+\cos 1\\ \Rightarrow \frac{{f_1}^{\prime }\left(1\right)}{{f_2}^{\prime }\left(1\right)}=\frac{-\sin 1-\cos 1}{\sin 1+\cos 1}\\ =\frac{-\left(\sin 1+\cos 1\right)}{\sin 1+\cos 1}=-1\end{array}$

Bài 7 trang 177 sgk Đại số và Giải tích 11: Viết phương trình tiếp tuyến:

a. Của hypebol $y=\frac{x+1}{x-1}$ tại $A(2,3)$

b. Của đường cong $y=x^3+4x^2–1$ tại điểm có hoành độ $x_0=-1$

c. Của parabol $y=x^2–4x+4$ tại điểm có tung độ $y_0=1$

a. 

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x_0$ là: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

Lời giải:

Ta có: $y^{\prime }=f^{\prime }(x)=\frac{-2}{{(x-1)}^2}\Rightarrow f^{\prime }(2)=\frac{-2}{{(2-1)}^2}=-2$

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

$y=-2\left(x-2\right)+3=-2x+7$

b. 

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x_0$ là: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

Lời giải:

Ta có: $y^{\prime }=f^{\prime }(x)=3x^2+8x\Rightarrow f^{\prime }(-1)=3–8=-5$

Mặt khác: $x_0=-1\Rightarrow y_0=-1+4–1=2$

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

$y–2=-5(x+1)\iff y=-5x–3$

c. 

Phương pháp giải:

Từ $y_0=1$ tính được các giá trị của hoành độ $x_0$ 

Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x_0$: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

Lời giải:

Ta có:

$y_0=1\Rightarrow 1=x_0^2-4x_0+4\Rightarrow x_0^2–4x_0+3=0$

$\iff [\begin{array}{l}{x}_0=1\\ x_0=3\end{array}$

$f^{\prime }(x)=2x–4\Rightarrow f^{\prime }(1)=-2$ và $f^{\prime }(3)=2$

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:

$y–1=-2(x–1)\iff y=-2x+3$

$y–1=2(x–3)\iff y=2x–5$

Bài 8 trang 178 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S=t^3-3t^2–9t$, trong đó $t$ được tính bằng giây và $S$ được tính bằng mét.

a. Tính vận tốc của chuyển động khi $t=2s$

b. Tính gia tốc của chuyển động khi t = 3s

c. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu

d. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu

Phương pháp giải: 

Sử dụng công thức $v(t)=S^{\prime }(t)$, $a(t)=v^{\prime }(t)$.

Lời giải:

a.

Vận tốc của chuyển động khi $t=2$ (s).

Ta có: $v=S^{\prime }=3t^2-6t-9$

Khi $t=2(s)\Rightarrow v(2)={3.2}^2–6.2–9=-9m/s$.

b. 

Gia tốc của chuyển động khi $t=3(s)$. Ta có: $a=v^{\prime }=6t-6$

Khi $t=3(s)\Rightarrow a(3)=6.3–6=12m/s^2$

c.

Ta có: $v=3t^2–6t–9$

Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu:

$\begin{array}{rl}& v=0\iff 3t^2-6t-9=0\iff t^2-2t-3=0\\ & \iff [\begin{array}{c}t=-1(l)\hfill \\ t=3(s)\hfill \end{array}\end{array}$ 

Khi $t=3\Rightarrow a\left(3\right)=6.3-6=12\left(m/s^2\right)$

d.

Gia tốc: $a=6t–6$

Khi $a=0\iff 6t–6=0\iff t=1(s)$

Khi $t=1(s)\Rightarrow v(1)={3.1}^2–6.1–9=-12m/s$

Bài 9 trang 178 sgk Đại số và Giải tích 11:  Cho hai hàm số: $y=\frac{1}{x\sqrt{2}};y=\frac{x^2}{\sqrt{2}}$. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.
Phương pháp giải:

+) Giải phương trình hoành độ giao điểm, xác định hoành độ giao điểm.

+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x_0$ là: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

+) Nhận xét về các hệ số góc của hai tiếp tuyến trên.

Lời giải:

$C_1:y=f(x)=\frac{1}{x\sqrt{2}}\Rightarrow f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2\sqrt{2}}$

$C_2:y=g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2}}\Rightarrow g^{\prime }(x)=\frac{2x}{\sqrt{2}}=x\sqrt{2}$

Phương trình hoành độ giao điểm của $C_1$ và $C_2$ là:

$\frac{1}{x\sqrt{2}}=\frac{x^2}{\sqrt{2}}\iff \{\begin{array}{c}x\ne 0\hfill \\ x^3=1\hfill \end{array}\iff x=1\Rightarrow y=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy giao điểm của $C_1$ và $C_2$ là $A(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$

+) Phương trình tiếp tuyến của $C_1$ tại điểm A là:

$\begin{array}{rl}& y-\frac{\sqrt{2}}{2}=f^{\prime }(1)(x-1)\\ & \iff y-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}(x-1)\\ & \iff y=-\frac{x}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\end{array}$

Tiếp tuyến này có hệ số góc $k_1=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

+) Phương trình tiếp tuyến của $C_2$ tại điểm $A$ là:

$\begin{array}{rl}& y-\frac{\sqrt{2}}{2}=g^{\prime }(1)(x-1)\iff y-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}(x-1)\\ & \iff y=x\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Tiếp tuyến này có hệ số góc $k_2=\sqrt{2}$

+) Ta có: $k_1.k_2=(-\frac{1}{\sqrt{2}})(\sqrt{2})=-1$

⇒ Hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với nhau

⇒ góc giữa hai tiếp tuyến bằng ${90}^0$.

Bài 10 trang 178 sgk Đại số và Giải tích 11: Với $g\left(x\right)=\frac{x^2–2x+5}{x–1}$; g′(2) bằng:

A. 1                                    B. −3

C. −5                                 D. 0

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và quy tắc tính đạo hàm của thương.

Lời giải

Chọn đáp án B.

Bài 11 trang 178 sgk Đại số và Giải tích 11: Nếu $f(x)=si{n}^{3}x+x^2$ thì $f^{″}(\frac{-\pi }{2})$ bằng:

A. $0$                       B. $1$

C. $-2$                    D. 5

Phương pháp giải:
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x)$ sau đó tính $f^{″}\left(\frac{\pi }{2}\right)$
Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)=3{\sin }^{2}x\cos x+2x\\ \Rightarrow f^{″}(x)=3[2\sin x.\cos x.\cos x+{\sin }^{2}x.(-\sin x)]+2\\ =3(2\sin x.{\cos }^{2}x+{\sin }^{3}x)\\ \Rightarrow f^{\prime }\left(-\frac{\pi }{2}\right)=3.\left[2\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right).{\cos }^2\left(-\frac{\pi }{2}\right)+{\sin }^3\left(-\frac{\pi }{2}\right)\right]+2\\ =3.1+2=5.\end{array}$

Chọn đáp án D

Bài 12 trang 178 sgk Đại số và Giải tích 11: Giả sử $h(x)=5(x+1{)}^3+4(x+1)$

Tập nghiệm của phương trình $h^{″}(x)=0$ là:

A. $[-1,2]$                            B. $(-\infty ,0]$

C. $\{-1\}$                             D. $Ø$

Phương pháp giải:

Tính $h^{″}(x)$ và giải phương trình $h^{″}(x)=0$.

Lời giải:

Ta có:

$h^{\prime }(x)=15(x+1{)}^2+4$

$\Rightarrow h^{″}(x)=30(x+1)$

Vậy $h^{″}(x)=0\iff x+1=0\iff x=-1$

Chọn đáp án C.

Bài 13 trang 178 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho $f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x$

Tập nghiệm của bất phương trình $f^{\prime }(x)\le 0$

A. $Ø$                                   B. $(0,+\infty )$

C. $[-2,2]$                          D. $(-\infty ,+\infty )$

Phương pháp giải:

Tính $f^{\prime }(x)$ và giải bất phương trình $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$, sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)=x^2+x+1\\ & f^{\prime }(x)=x^2+x+1\le 0\\ & \iff (x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}\le 0(\ast )\end{array}$

Bất phương trình (*) vô nghiệm vì vế trái dương $\forall x\in \mathbb{R}$.

Chọn đáp án A.