Giải Toán 11 Bài Ôn tập chương II

Giải bài tập Toán 11 Bài Ôn tập chương II

Bài tập (trang 76, 77, 78 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 76 sgk Đại số và Giải tích 11: Phát biểu quy tắc cộng, cho ví dụ áp dụng.
Phương pháp giải:
Phát biểu quy tắc cộng (SGK – 44).
Lời giải:

Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có $m$ cách thực hiện, hành động kia có $n$ cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có $m+n$ cách thực hiện.

Ví dụ:

Trên một bàn học có $4$ cây bút chì và $3$ cây bút mực. Có mấy cách chọn ra một cây bút?

+ Trường hợp chọn bút chì: có $4$ cách chọn

+ Trường hợp chọn bút mực: có $3$ cách chọn

Vậy theo quy tắc cộng có: $4+3=7$ cách chọn.

Bài 2 trang 76 sgk Đại số và Giải tích 11: Phát biểu quy tắc nhân, cho ví dụ áp dụng.
Phương pháp giải:
Phát biểu quy tắc nhân (SGK – 45).
Lời giải:

Quy tắc nhân: Nếu công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có $m$ cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có $n$ cách thực hiện hành động thứ hai thì có $m.n$ cách hoàn thành công việc.

– Ví dụ:

Một lớp có $3$ tổ, mỗi tổ có $6$ nam và $4$ nữ. Cần chọn từ mỗi tổ một người để thành lập đội thanh niên tình nguyện mùa hè xanh. Hỏi có bao nhiêu cách để lập được một đội?

Giải

Để lập đội, từ mỗi đội ta chọn một người:

+ Có $10$ cách chọn $1$ người từ tổ thứ nhất

+ Có $10$ cách chọn $1$ người từ tổ thứ hai

+ Có $10$ cách chọn $1$ người từ tổ thứ ba

Từ đó, theo quy tắc nhân ta có:

$10.10.10=1000$ (cách chọn)

Bài 3 trang 76 sgk Đại số và Giải tích 11: Phân biệt sự khác nhau giữa một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử và một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử.
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa của chỉnh hợp và tổ hợp.
Lời giải:

Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1)
Sắp xếp thứ tự các phần tử	Chỉnh hợp chập k của n phần tử	_ Sử dụng k phần tử trong số n phần tử của A (k ≤ n) và sắp xếp thứ tự k phần tử này (mỗi cách sắp xếp là một chỉnh hợp chập k của phần tử) _ Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$
Không chú ý đến thứ tự của các phần  tử	Tổ hợp chập k của n phần tử	_ Sử dụng k phần tử trong n phần tử A (k ≤ n) và không để ý đến thứ tự của các phần tử này. _Số tổ hợp chập k của n phần tử là:  $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Bài 4 trang 76 sgk Đại số và Giải tích 11: Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các số 0,1,2,3,4,5,6 sao cho:
a. Các chữ số có thể giống nhau 

b. Các chữ số khác nhau

Phương pháp giải:
Sử dụng linh hoạt các quy tắc đếm.
Lời giải:
a.

Tập hợp $A=\left\{0,1,2,3,4,5,6\right\}$

Gọi số có $4$ chữ số tạo thành là $\overline{abcd}$

Ta có: $\overline{abcd}$ chẵn nên:

Số $\overline{abcd}\{\begin{array}{c}a,b,c,d\in A\hfill \\ a\ne 0\hfill \\ d\in \left\{0,2,4,6\right\}\hfill \end{array}$

+) Có $4$ cách để chọn $d$

+) $a\ne 0$ ⇒ có $6$ cách chọn $a$

+) Có $7$ cách chọn $b$ và $7$ cách chọn $c$

Vậy : $\mathrm{4.6.7.7}=1176$ số chẵn $\overline{abcd}$ trong đó, các chữ số có thể giống nhau

b. 

Gọi $\overline{abcd}$  là số cần tìm 

Trường hợp 1: $\overline{abc0}(d=0)$

Vì $a,b,c$ đôi một khác nhau và khác $d$ nên có $A_6^3$ số $\overline{abc0}$

Vậy có $A_6^3$ số $\overline{abc0}$

Trường hợp 2: $\overline{abcd}$ (với $d\ne 0$)

+) $d\in \left\{2,4,6\right\}$ $\Rightarrow$ có $3$ cách chọn $d$

+) $a\ne 0,a\ne d$ nên có $5$ cách chọn $a$

+) $b\ne a,b\ne d$ nên có $5$ cách chọn $b$

+) $c\ne a,b,d$ nên có $4$ cách chọn $c$

$\Rightarrow$ Có $3.5.5.4=300$ số  $\overline{abcd}$ loại 2

Vậy có: $A_6^3+300=420$ số  $\overline{abcd}$ thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Cách khác:

Ở TH1, ta có thể đếm từng chữ số như sau:

TH1: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị bằng 0

⇒ Có 6 cách chọn chữ số hàng nghìn

          5 cách chọn chữ số hàng trăm

          4 cách chọn chữ số hàng chục

⇒ Theo quy tắc nhân: có 6.5.4 = 120 (số)

TH2: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị khác 0.

⇒ Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị

    Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (khác 0 và khác hàng đơn vị)

    Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm

    Có 4 cách chọn chữ số hàng chục

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.5.5.4 = 300 (số)

⇒ Theo quy tắc cộng: Có tất cả 120 + 300 = 420 số chẵn thỏa mãn.

Bài 5 trang 76 sgk Đại số và Giải tích 11: Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho:
a. Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau
b. Ba bạn nam ngồi cạnh nhau
a. 
Phương pháp giải:
Đánh số thứ tự ghế và chọn ghế sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ nhau.
Lời giải:

Số cách xếp $3$ nam và $3$ nữ vào $6$ ghế là $6!$ Cách.

Suy ra: $n(\mathrm{\Omega })=6!=720$

a) Ta gọi $A$ là biến cố : “Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau”

Ta đánh số ghế như sau:

1

2

3

4

5

6

 

Trường hợp 1:

+ Nam ngồi ghế số $1,3,5$ suy ra có $3!$ cách xếp

+ Nữ ngồi ghế số $2,4,6$ suy ra có $3!$ cách xếp

Suy ra trường hợp 1 có $3!.3!=36$ cách xếp

Trường hợp 2:

+ Nữ ngồi ghế số $1,3,5$ suy ra có $3!$ cách xếp

+ Nam ngồi ghế số $2,4,6$ suy ra có $3!$ cách xếp

Suy ra trường hợp 1 có $3!.3!=36$ cách xếp

Suy ra:

$N(A)=3!.3!+3!.3!=36+36=72$ cách xếp.

Vậy $P(A)=\frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{72}{720}=\frac{1}{10}=0,1$

b. 
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc buộc, buộc ba bạn nam lại và coi đó là 1 phần tử.
Lời giải:

Gọi biến cố $B$: “Ba bạn nam ngồi cạnh nhau”

Xem $3$ bạn nam như một phần tử $N$ và $N$ cùng $3$ bạn nữ được xem như ngồi vào $4$ ghế được đánh số như sau:

1

2

3

4

 

 

Số cách xếp $N$ và $3$ nữ vào $4$ ghế là $4!$

Mỗi cách hoán vị $3$ nam cho nhau trong cùng một vị trí ta có thêm $3!$ cách xếp khác nhau.

Suy ra $n(B)=4!.3!=144$

Vậy : $P(B)=\frac{n(B)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{144}{720}=\frac{1}{5}=0,2$

Bài 6 trang 76 sgk Đại số và Giải tích 11: Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính xác suất sao cho:
a. Bốn quả lấy ra cùng màu
b. Có ít nhất một quả màu trắng
a. 
Phương pháp giải:

Chia làm 2 TH:

TH1: Chọn 4 quả cùng màu trắng.

TH2: Chọn 4 quả cùng màu đen.

Lời giải:

Phép thử: “Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp 10 quả cầu”.

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\mathrm{\Omega })=C_{10}^4=210$

Có $C_6^4$ cách chọn bốn quả lấy ra cùng màu trắng và có $C_4^4$ cách chọn bốn quả lấy ra cùng màu đen.

Kí hiệu $A$ là biến cố “Bốn quả lấy ra cùng màu”.

Ta có: $n(A)$ = $C_6^4+C_4^4$=$16$

Vậy: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{16}{210}=\frac{8}{105}$

b. 
Phương pháp giải:
Sử dụng biến cố đối.
Lời giải:

Kí hiệu $B$ là biến cố: “ Bốn quả lấy ra có ít nhất một quả màu trắng”.

Biến cố đối: $\overline{B}$:”Bốn quả lấy ra không có quả màu trắng nào (toàn màu đen)”

Ta có: $n\left(\overline{B}\right)=C_4^4=1$

$\Rightarrow n\left(B\right)=C_{10}^4-1=209$

Vậy: $P(B)=\frac{n(B)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{209}{210}$

Bài 7 trang 77 sgk Đại số và Giải tích 11: Gieo một con xúc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần.
Phương pháp giải:
Sử dụng biến cố đối: “Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm”.
Lời giải:

Phép thử: “Gieo một con xúc sắc ba lần.”

Không gian mẫu:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Omega }=\left\{\{\mathrm{j},\mathrm{j},\mathrm{k}\}|1\le i,j,k\le 6\right\}\\ & \Rightarrow n(\mathrm{\Omega })=6^3=216\end{array}$

Gọi $A$ là biến cố: “Mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần”

Suy ra biến cố đối là $\overline{A}$: “Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm”.

Lần gieo thứ nhất không ra mặt 6 chấm nên có 5 kết quả có thể xảy ra (1, 2, 3, 4, 5 chấm)

Lần gieo thứ hai và thứ ba: tương tự có 5 kết quả có thể xảy ra.

Theo quy tắc nhân: $n(\overline{A})=5^3=125$

$\Rightarrow P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{125}{216}$

Do đó: $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}\approx 0,4213$.

Bài 8 trang 77 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho một lục giác đều $ABCDEF$. Viết các chữ cái $ABCDEF$ vào $6$ cái thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ đó là:
a. Các cạnh của lục giác
b. Đường chéo của lục giác
c. Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác
a. 
Phương pháp giải:

Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

Tính số phần tử của biến cố A: $n\left(A\right)$.

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$.

Lời giải:

a. Phép thử: “Lấy ngẫu nhiên hai thẻ”

Số phần tử không gian mẫu là số các tổ hợp chập $2$ của $6$ (đỉnh)

Do đó: $n(\mathrm{\Omega })=C_6^2=15$

Gọi $A:$“Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh tạo thành cạnh của lục giác”

Vì số cạnh của đa giác là $6$ nên $n(A)=6$

$\Rightarrow P(A)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$

b. Gọi B: “Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh tạo thành đường chéo”

Vì số đường chéo của lục giác là số đoạn thẳng nối $2$ đỉnh của lục giác trừ đi số cạnh của lục giác

$\Rightarrow n(B)=15–6=9$

Vậy: $P(B)=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$

c. Gọi C: “Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh đối diện”

Lục giác có $3$ cặp đỉnh đối diện là A-D, B-E, C-F nên $n(C)=3$

Vậy $P(C)=\frac{n(C)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$

Bài 9 trang 77 sgk Đại số và Giải tích 11: Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:
a. Hai con xúc sắc đều xuất hiện mặt chẵn
b. Tích các số chấn trên hai con xúc sắc là số lẻ
Phương pháp giải:

Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$

Tính số phần tử của biến cố A: $n\left(A\right)$.

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$.

Lời giải:
a. Không gian mẫu là: $\mathrm{\Omega }=\left\{(i,j)|1\le i,j\le 6\right\}$ $\Rightarrow n(\mathrm{\Omega })=6^2=36$

$A$ là biến cố “Hai con xúc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”

Suy ra:

Vậy $P(A)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$

b. Gọi $B$ là biến cố: “Tích các số chấm trên hai con xúc sắc là số lẻ”.

Tích của hai số là số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. Khi đó ta có:

Vậy $P(B)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$

Chú ý: Do bài cho là hai con xúc sắc nên không gian mẫu luôn có $36$ phần tử, hai con xúc sắc khác nhau nên các trường hợp đảo vị trí của hai kết quả đều được tính (chỉ đối với hai kết quả ra mặt khác nhau).

Bài 10 trang 77 sgk Đại số và Giải tích 11: Lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ $52$ con. Số cách lấy là:

A. 104                        B. 1326

C. 450                        D. 2652

Phương pháp giải:
Mỗi cách lấy là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.
Lời giải:
Mỗi cách lấy ra 2 con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 quân là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử

Vậy có $C_{52}^2=1326$ (cách)

Chọn đáp án B.

Bài 11 trang 77 sgk Đại số và Giải tích 11: Năm người được xếp ngồi vào quanh một bàn tròn với năm ghế. Số cách xếp là:

A. 50                       B. 100                    C. 120                 D. 24

Phương pháp giải:
Cố định vị trí của 1 người bất kì, hoán vị vị trí của 4 người còn lại.
Lời giải:

Giải thích chi tiết như sau:

Với 5 người A, B, C, D, E xếp hàng ngang (hay dọc) thì có 5! = 120 cách xếp.

Nếu hoán vị theo hàng ngang thì ABCDE, BCDEA, CDEAB, DEABC, EABCD là khác nhau nhưng xếp quanh bàn tròn thì chỉ là một cách xếp.

Vậy số cách xếp 5 người ngồi quanh bàn tròn là:

n = 5!/5= 4! = 24 (cách)

Chọn đáp án D.

Bài 12 trang 77 sgk Đại số và Giải tích 11: Gieo một con xúc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là:

A. $\frac{12}{36}$             B. $\frac{11}{36}$           C. $\frac{6}{36}$              D. $\frac{8}{36}$

Phương pháp giải:

Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

Tính số phần tử củ biến cố A: $n\left(A\right)$.

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$.

Lời giải:

Ta có: $n(\mathrm{\Omega })=6^2=36$

Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất.

$\Rightarrow \overline{A}$ là biến cố: “ Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm”

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow n(\overline{A})=5^2=25\\ & \Rightarrow P(\overline{A})=\frac{25}{36}\Rightarrow P(A)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\end{array}$

Chọn đáp án B.

Bài 13 trang 77 sgk Đại số và Giải tích 11: Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là:

A. $\frac{9}{30}$            B. $-\frac{9}{30}$          C. $\frac{10}{30}$            D. $\frac{6}{30}$

Phương pháp giải:

Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

Tính số phần tử củ biến cố A: $n\left(A\right)$.

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$.

Lời giải:

Phép thử: “Lấy ngẫu nhiên hai quả cầu từ hộp có 3 quả trắng, 2 quả đen”

Số phần tử không gian mẫu là số cách chọn 2 trong 5 quả cầu nên: $n(\mathrm{\Omega })=C_5^2=10$

Gọi $A$ là biến cố: “Lấy được cả hai quả trắng”

$\Rightarrow n(A)=C_3^2=3$

$\Rightarrow P(A)=\frac{3}{10}=\frac{9}{30}$

Chọn đáp án A.

Bài 14 trang 77 sgk Đại số và Giải tích 11: Gieo ba con xúc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con như nhau là:

A. $\frac{12}{216}$                       B. $\frac{1}{216}$

C. $\frac{6}{216}$                       D. $\frac{3}{216}$

Phương pháp giải:

Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

Tính số phần tử củ biến cố A: $n\left(A\right)$.

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$.

Lời giải:

Ta có:  $n(\mathrm{\Omega })=\mathrm{6.6.6}=216$

Gọi $A$ là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên ba con là như nhau”

Suy ra:  $n(A)=6\Rightarrow P(A)=\frac{6}{216}$

Chọn đáp án C.

Bài 15 trang 78 sgk Đại số và Giải tích 11: Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là:

A. $\frac{4}{16}$                B. $\frac{2}{16}$                C. $\frac{1}{16}$                      D. $\frac{6}{16}$

Phương pháp giải:

Tính số phần tử của không gian mẫu $n\left(\mathrm{\Omega }\right)$.

Tính số phần tử củ biến cố A: $n\left(A\right)$.

Tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}$

Lời giải:

Mỗi đồng tiền có 2 khả năng (hoặc ngửa (N) hoặc sấp (S)). Do đó ta có: $n(\mathrm{\Omega })=\mathrm{2.2.2.2}=16$

Gọi $A$ là biến cố: “Cả bốn lần xuất hiện mặt sấp” $\Rightarrow A=\left\{SSSS\right\}$

$\Rightarrow n(A)=1\Rightarrow P(A)=\frac{1}{16}$

Chọn đáp án C.