Giải bài tập Toán 11 Bài Ôn tập Chương 3
Bài tập (trang 107, 108, 109 sgk Đại số và Giải tích 11)
Bài 1 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?
Phương pháp giải:
Nhắc lại định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm.
Lời giải:
Xét cấp số cộng với , ta có:
+) nếu
+) nếu
Vậy cấp số cộng
+) Tăng nếu
+) Giảm nếu .
Bài 2 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11:Cho cấp số nhân có u1 < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:
a. q > 0
b. q < 0
Phương pháp giải:
SHTQ của cấp số nhân: un = u1qn-1 với u1 là số hạng đầu của CSN và q là công bội của CSN.
Lời giải:
a. Ta có:
(vì )
b. Do nên:
+ Nếu chẵn lẻ
+ Nếu lẻ chẵn
Vậy nếu thì các số hạng thứ chẵn dương và các số hạng thứ lẻ âm.
Bài 3 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng, Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa.
Phương pháp giải:
Cho u1 là số hạng đầu của CSC và d là công sai của CSC đó, ta có un+1 – un = d = const
Lời giải:
Giả sử có hai cấp số cộng với công sai và với công sai .
Suy ra
Xét dãy với
Ta có:
Vậy là cấp số cộng có số hạng đầu là và công sai là
Ví dụ:
là cấp số cộng có và
là cấp số cộng có và
là cấp số cộng có và .
Bài 4 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tính các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.
Phương pháp giải:
Định nghĩa CSN: (un) là CSN công bội q thì un+1 = qun
Lời giải:
Gọi là cấp số nhân công bội và là cấp số nhân công bội tương ứng.
Xét với
Ta có:
Vậy dãy số là một cấp số nhân có công bội :
Ví dụ:
là cấp số nhân có công bội
là cấp số nhân có công bội
Suy ra: là cấp số nhân có công bội: .
Bài 5 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗, ta có:
a. 13n – 1 chia hết cho 6
b. 3n3 + 15n chia hết cho 9
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.
Lời giải:
a. Với , ta có:
Giả sử: với mọi
Ta chứng minh: chia hết cho
Thật vậy:
Vì : và (theo giả thiết quy nạp)
Nên :
Vậy chia hết cho với mọi .
b. Với , ta có:
Giả sử: .
Ta chứng minh:
Thật vậy:
Vì (theo giả thiết quy nạp) và
Nên:
Vậy: chia hết cho với mọi
Bài 6 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11:Cho dãy số (un), biết u1 = 2, un+1 = 2un-1 (với n 1)
a. Viết năm số hạng đầu của dãy
b. Chứng minh: un = 2n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.
a.
Phương pháp giải:
Viết các số hạng còn lại theo quy luật bài cho.
Lời giải:
Ta có:
b.
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Lời giải:
Với , ta có: công thức đúng
Giả sử công thức đúng với mọi . Nghĩa là:
Ta chứng minh công thức cũng đúng với , nghĩa là ta phải chứng minh:
Ta có: (đpcm)
Vậy với mọi .
Bài 7 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:
a.
b.
c.
Phương pháp giải:
*) Xét hiệu .
Nếu hiệu trên dương thì dãy số là dãy số tăng.
Nếu hiệu trên âm thì dãy số là dãy số giảm.
Nếu hiệu trên bằng 0 thì dãy số là dãy không đổi.
*) Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số sao cho .
Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số sao cho .
Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số sao cho .
Lời giải:
a.
Xét hiệu:
Do và n(n+1) > 0 với
Suy ra: là dãy số tăng.
Mặt khác: là dãy số bị chặn dưới.
Khi càng lớn thì càng lớn nên là dãy số không bị chặn trên.
Vậy là dãy số tăng và bị chặn dưới.
b.
Ta có:
và
Vậy là dãy số không tăng không giảm.
Ta lại có:
Vậy là dãy số bị chặn.
Cách khác:
Với thì
Suy ra: Với chẵn lẻ
Với lẻ chẵn
không tăng không giảm.
c.
Ta có:
Xét hiệu:
Ta có:
là dãy số giảm.
Mặt khác: là dãy số bị chặn dưới.
Ta lại có: với thì
Suy ra: là dãy số bị chặn trên.
Vậy là dãy số giảm và bị chặn.
Bài 8 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11:Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của các cấp số cộng (un) biết:
a.
b.
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức
Lời giải:
a.
Ta có:
Vậy số hạng đầu , công sai
b.
Ta có:
thế vào
Vậy hoặc
Bài 9 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11:Tìm số hạng đầu u1 và công bội của các cấp số nhân (un), biết:
a.
b.
c.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSN: un = u1qn-1
Lời giải:
a.
Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: thế vào (1) ta có:
Vậy và .
b. Ta có:
Vậy và
c. Ta có:
Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: thế vào (1)
(1)
Vậy và .
Bài 10 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11:Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp năm lần góc A. Tính các góc của tứ giác.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức SHTQ: un=u1+(n−1)d
Lời giải:
Theo giả thiết ta có: là một cấp số cộng và
Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: . Theo tính chất của cấp số cộng ta có:
, ,
(1)
Mà tổng bốn góc của tứ giác bằng nên:
(2)
Lấy ta được:
Bài 11 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11:Biết rằng ba số x,y,z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức SHTQ và tính chất của CSC và CSN.
Lời giải:
Giả sử ba số lập thành một cấp số nhân với công bội ta có: và .
Ba số lập thành một cấp số cộng nên:
hoặc
Nếu thì , không xác định (loại)
Nếu thì
Cách khác:
Gọi công bội của CSN là .
Lại có : lập thành CSC
+ Nếu
không xác định (loại).
+ Nếu hoặc
Vậy CSN có công bội hoặc
Bài 12 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11: Người ta thiết kế một tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12288 m2. Tính diện tích mặt trên cùng.
Phương pháp giải: Diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân. Sử dụng công thức SHTQ của CSN: un = u1.qn-1 .
Lời giải:
Gọi diện tích đáy tháp là S0; diện tích mặt trên của tầng 1; tầng 2; tầng 3; … lần lượt là
Ta có:
Diện tích đế tháp:
Diện tích tầng 1:
Theo giả thiết diện tích của bề mặt trên mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới.
Do đó là CSN có số hạng đầu công bội .
Diện tích tầng 11 là
Bài 13 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng nếu các số a2, b2, c2 lập thành một cấp số cộng (abc # 0) thì các số cũng lập thành một cấp số cộng.
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất của CSC: Nếu ba số x, y, z là ba số liên tiếp của CSC thì: x + z = 2y.
Lời giải:
Ta phải chứng minh:
Thật vậy,
(đúng do lập thành CSC)
Vậy (1) đúng nên là cấp số cộng.
Bài 14 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11:Cho dãy số (un), biết un=3n. Hãy chọn phương án đúng:
a. Số hạng bằng:
A. B.
C. D.
b. Số hạng bằng:
A. B.
C. D.
c. Số hạng bằng :
A. B.
C. D.
d. Số hạng bằng:
A. B.
C. D.
a.
Phương pháp giải:
Thay n bằng n+1
Lời giải:
Ta có:
Chọn đáp án C.
b.
Phương pháp giải:
Thay n bằng 2n
Lời giải:
Ta có: ,
Chọn đáp án B.
c.
Phương pháp giải:
Thay n bằng n-1
Lời giải:
Ta có:
Chọn đáp án B.
d.
Phương pháp giải:
Thay n bằng 2n-1
Lời giải:
Ta có:
Chọn đáp án B
Bài 15 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy cho biết dãy số nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát của nó là:
A. B.
C. D.
Phương pháp giải:
Dãy số (un) là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi nN*
Lời giải:
Xét từng phương án ta có:
_ Phương án A không được vì dãy số có chứa nhân tử nên các số hạng sẽ đan dấu, do đó, không thể là dãy số tăng.
_ Phương án C:
không là dãy số tăng loại đáp án C
_ Phương án D:
không là dãy số tăng loại phương án D
Chọn đáp án B.
Thật vậy:
(vì chẵn nên )
Ta có:
Suy ra: là dãy số tăng.
Cách tổng quát:
Đáp án A:
(un): có:
dương
âm
⇒ dãy số không tăng không giảm.
Đáp án B:
với mọi n ∈ N.
là dãy số tăng.
Đáp án C:
là dãy số giảm.
Đáp án D:
là dãy giảm.
Bài 16 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho cấp số cộng . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A. B.
C. D.
Phương pháp giải:
Tính chất CSC: Nếu ba số x, y, z là ba số hạng liên tiếp của CSC thì x+z=2y.
Lời giải:
Theo giả thiết: là cấp số cộng
Chọn đáp án D.
Bài 17 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho cấp số nhân . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
Phương pháp giải: Tính chất CSN: Nếu ba số x, y, z là ba số liên tiếp của CSN thì xz=y2.
Lời giải:
Ta có: là ba số hạng của một cấp số nhân nên:
hoặc .
Chọn đáp án C.
Bài 18 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho cấp số cộng . Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A.
B.
C.
D.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức SHTQ của CSC: un=u1+(n-1)d
Lời giải:
Chọn đáp án B.
Bài 19 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11: Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:
A.
B.
C.
D.
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa CSN.
Lời giải:
Ta có:
không phải CSN.
là CSN với công bội q = 3 ; u1 = -1.
Đây là cấp số cộng với ; công sai .
+
Chọn đáp án B.