Giải bài tập Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân
Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời hoạt động 1 trang 98 sgk Đại số và Giải tích 11: Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp ô thứ hai hai hạt, … cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô trước cho đến ô cuối cùng.
Hãy cho biết số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu của bàn cờ.
Lời giải:
Số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu là: 1; 2; 4; 8; 16; 32
Trả lời hoạt động 2 trang 99 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy đọc hoạt động 1 và cho biết ô thứ 11 có bao nhiêu hạt thóc?
Lời giải:
Từ câu hỏi 1 ta thấy:
Ô thứ 1 có hạt thóc.
Ô thứ 2 có hạt thóc.
Ô thứ 3 có hạt thóc.
Ô thứ 4 có hạt thóc.
Ô thứ 5 có hạt thóc.
…
Tổng quát: Ô thứ n có hạt thóc.
Ô thứ 11 có: hạt thóc
Trả lời hoạt động 3 trang 101 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho cấp số nhân (un) với u1 = -2 và q =
a. Viết năm số hạng đầu của nó
b. So sánh với tích và với tích . Nêu nhận xét tổng quát từ kết quả trên
Lời giải:
a.
b.
Trả lời hoạt động 4 trang 101 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính tổng số các hạt thóc ở 11 ô đầu của bàn cờ nêu ở hoạt động 1Phương pháp giải: Nhân cả tổng S cần tính với 2 rồi lấy 2S-S, thu gọn ta được kết quả.
Lời giải:
Ta có:
Cách tổng quát:
Ta có:
Lấy (1) trừ (2), ta được:
Do đó tổng số hạt thóc của 11 ô đầu là
Trả lời hoạt động 5 trang 102 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính tổng:
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân:
Lời giải:
Cấp số nhân có: ,
S là tổng của số hạng đầu tiên
Cách 2:
Ta có:
Bài tập (trang 103, 104 sgk Đại số và Giải tích 11)
Bài 1 trang 103 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh các dãy số là các cấp số nhân.
Phương pháp giải: Chứng minh là một số không đổi.
Lời giải:
+) Ta có:
Với mọi , ta có:
(không đổi)
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với và .
+) Ta có:
Với mọi , ta có:
(không đổi)
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với và
+) Ta có:
Với mọi , ta có:
(không đổi)
Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với và .
Bài 2 trang 103 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho cấp số nhân với công bội q
a. Biết u1 = 2, u6 = 486. Tìm q
b. Biết q = , u4 = .Tìm u1
c. Biết u1 = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?
Phương pháp giải: Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: un = u1.qn-1
Lời giải:
a.
b.
c.
Bài 3 trang 103 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm các số hạng của cấp số nhân (un) có năm số hạng, biết:
a. u3=3 và u5=27
b. u4-u2=25 và u3-u1=50
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: un=u1.qn-1.
Lời giải:
a. Trong cấp số nhân, ta có: Trong đó là số hạng thứ nhất, là số hạng thứ n và q là công bội.
Mà:
b. Ta có:
Theo bài ra:
Bài 4 trang 104 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSN: un=u1qn-1 và công thức tổng n số hạng đầu tiên của CSN: .
Lời giải:
Giả sử có cấp số nhân:
Theo giả thiết ta có:
. (1)
. (2)
Nhân hai vế của (1) với , ta được:
(3)
Từ (2) và (3) .
Ta có
Vậy ta có cấp số nhân là: .
Cách khác:
Vậy ta có cấp số nhân là: .
Bài 5 trang 104 sgk Đại số và Giải tích 11: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân, với .
Sử dụng công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân:
Lời giải:
Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là . Vì tỉ lệ tăng dân số là nên sau một năm, số dân tăng thêm là .
Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là
.
Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân.
Hiện tại:
Sau 1 năm:
Sau 2 năm: ;…
Vậy nếu triệu người
Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì:
Sau năm số dân của tỉnh là (triệu người)
Sau năm số dân của tỉnh là (triệu người).
Bài 6 trang 104 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 (hình bên). Từ hình vuông C2 lại tiếp tục như trên để được hình vuông C3… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C1, C2, C3, …,Cn
Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (an) là một cấp số nhân
Lời giải:
Xét dãy số , ta có .
Gọi là cạnh hình vuông .
Ta tính cạnh hình vuông như sau:
Xét tam giác vuông tại có ,
Do đó hay .
Vậy dãy số là cấp số nhân với số hạng đầu là và công bội
Lý thuyết Bài Cấp số nhân
1. Định nghĩa
là cấp số nhân , với
Công bội .
Ví dụ:
Cho cấp số nhân thỏa mãn . Tính .
Ta có: .
2. Số hạng tổng quát
Ví dụ:
Cho cấp số nhân thỏa mãn . Tính .
Ta có:
.
3. Tính chất
hay với
Ví dụ:
Cho bốn số theo thứ tự đó lập thành một CSN. Tìm .
Ta có:
Vậy .
4. Tổng n số hạng đầu
, .
Ví dụ:
Cho cấp số nhân thỏa mãn . Tính .
Ta có: