Giải Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu – Tơn

Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu – Tơn

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 55 sgk Đại số và Giải tích 11: Khai triển biểu thức ${\left(a+b\right)}^4$ thành tổng các đơn thức.
Lời giải:

Trả lời hoạt động 2 trang 57 sgk Đại số và Giải tích 11: Dùng tam giác Pa-xcan, chứng tỏ rằng:

a.

b.

Lời giải: 

a.  Dựa vào tam giác Pa-xcan:

$\begin{array}{l}{C^1}_4=4;{C^2}_4=6\\ {C^2}_5={C^1}_4+{C^2}_4=4+6=10\\ \text{Mà }1+2+3+4=10\\ \Rightarrow 1+2+3+4={C^2}_5\end{array}$

b. Dựa vào tam giác Pa-xcan:

$\begin{array}{l}{C^1}_7=7;{C^2}_7=21\\ {C^2}_8={C^1}_7+{C^2}_7=7+21=28\\ 1+2+\cdots +7=\frac{\left(\left(1+7\right).7\right)}{2}=28\\ \Rightarrow 1+2+\cdots +7={C^2}_8\end{array}$

Bài tập (trang 57, 58 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 57 sgk Đại số và Giải tích 11: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu – Tơn:

a.

b.

c.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

$\begin{array}{l}{\left(a+b\right)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...\\ ...+C_n^k{a}^{n-k}{b}^k+...+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n\end{array}$

Trong trường hợp số mũ $n$ khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.

Lời giải: 
a. Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

$(a+2b{)}^5=a^5+5a^4.2b+10a^3.(2b{)}^2+10a^2(2b{)}^3$

$+5a.(2b{)}^4+(2b{)}^5$$=a^5+10a^{4}b+40a^3{b}^2+80a^2{b}^3+80a{b}^4+32b^5$

$\begin{array}{l}C2:{\left(a+2b\right)}^5\\ =C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^4{\left(2b\right)}^1+C_5^2{a}^3{\left(2b\right)}^2\\ +C_5^3{a}^2{\left(2b\right)}^3+C_5^4{a}^1{\left(2b\right)}^4+C_5^5{\left(2b\right)}^5\\ =a^5+10a^{4}b+40a^3{b}^2+80a^2{b}^3+80a{b}^4+32b^5\end{array}$

b. Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có: ${\left(a-\sqrt{2}\right)}^6=a^6+6a^5\left(-\sqrt{2}\right)+15a^4{\left(-\sqrt{2}\right)}^2$

$+20a^3{\left(-\sqrt{2}\right)}^3+15a^{{}^2}{\left(-\sqrt{2}\right)}^4+6a{\left(-\sqrt{2}\right)}^5$

$+{\left(-\sqrt{2}\right)}^6$$=a^6-6\sqrt{2}{a}^5+30a^4-40\sqrt{2}{a}^3$

$+60a^2-24\sqrt{2}a+8$

$\begin{array}{l}C2:{\left(a-\sqrt{2}\right)}^6\\ =C_6^0{a}^6+C_6^1{a}^5{\left(-\sqrt{2}\right)}^1+C_6^2{a}^4{\left(-\sqrt{2}\right)}^2\\ +C_6^3{a}^3{\left(-\sqrt{2}\right)}^3+C_6^4{a}^2{\left(-\sqrt{2}\right)}^4\\ +C_6^5{a}^1{\left(-\sqrt{2}\right)}^5+C_6^6{\left(-\sqrt{2}\right)}^6\\ =a^6-6\sqrt{2}{a}^5+30a^4-40\sqrt{2}{a}^3+60a^2\\ -24\sqrt{2}a+8\end{array}$

c. Ta có:

$\begin{array}{l}{\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{13}\\ =C_{13}^0{x}^{13}+C_{13}^1{x}^{12}.\left(-\frac{1}{x}\right)+C_{13}^2{x}^{11}.{\left(-\frac{1}{x}\right)}^2\\ +C_{13}^3{x}^{10}.{\left(-\frac{1}{x}\right)}^3+C_{13}^4{x}^9.{\left(-\frac{1}{x}\right)}^4\\ +C_{13}^5{x}^8.{\left(-\frac{1}{x}\right)}^5+C_{13}^6{x}^7.{\left(-\frac{1}{x}\right)}^6\\ +C_{13}^7{x}^6.{\left(-\frac{1}{x}\right)}^7+C_{13}^8{x}^5.{\left(-\frac{1}{x}\right)}^8\\ +C_{13}^9{x}^4.{\left(-\frac{1}{x}\right)}^9+C_{13}^{10}{x}^3.{\left(-\frac{1}{x}\right)}^{10}\\ +C_{13}^{11}{x}^2.{\left(-\frac{1}{x}\right)}^{11}+C_{13}^{12}x.{\left(-\frac{1}{x}\right)}^{12}+C_{13}^{13}.{\left(-\frac{1}{x}\right)}^{13}\\ =C_{13}^0{x}^{13}+C_{13}^1{x}^{12}.\frac{{\left(-1\right)}^1}{x}+C_{13}^2{x}^{11}.\frac{{\left(-1\right)}^2}{x^2}\\ +C_{13}^3{x}^{10}.\frac{{\left(-1\right)}^3}{x^3}+C_{13}^4{x}^9.\frac{{\left(-1\right)}^4}{x^4}\\ +C_{13}^5{x}^8.\frac{{\left(-1\right)}^5}{x^5}+C_{13}^6{x}^7.\frac{{\left(-1\right)}^6}{x^6}\\ +C_{13}^7{x}^6.\frac{{\left(-1\right)}^7}{x^7}+C_{13}^8{x}^5.\frac{{\left(-1\right)}^8}{x^8}\\ +C_{13}^9{x}^4.\frac{{\left(-1\right)}^9}{x^9}+C_{13}^{10}{x}^3.\frac{{\left(-1\right)}^{10}}{x^{10}}\\ +C_{13}^{11}{x}^2.\frac{{\left(-1\right)}^{11}}{x^{11}}+C_{13}^{12}x.\frac{{\left(-1\right)}^{12}}{x^{12}}+C_{13}^{13}.\frac{{\left(-1\right)}^{13}}{x^{13}}\\ =C_{13}^0{x}^{13}-C_{13}^1{x}^{11}+C_{13}^2{x}^9-C_{13}^3{x}^7+C_{13}^4{x}^5\\ -C_{13}^5{x}^3+C_{13}^{6}x-C_{13}^7.\frac{1}{x}+C_{13}^8.\frac{1}{x^3}-C_{13}^9.\frac{1}{x^5}\\ +C_{13}^{10}.\frac{1}{x^7}-C_{13}^{11}.\frac{1}{x^9}+C_{13}^{12}.\frac{1}{x^{11}}-C_{13}^{13}.\frac{1}{x^{13}}\end{array}$

Bài 2 trang 58 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển của biểu thức: ${\left(x+\frac{2}{x^2}\right)}^6$.

Phương pháp giải: 

B1: Khai triển ${\left(x+\frac{2}{x^2}\right)}^6$ về dạng $\sum _{k=1}^6{A}_k.x^{i_k}$

B2: Tìm k để $i_k=3$ từ đó suy ra $A_k$

KL: Hệ số của $x^3$ là $A_k$

Lời giải:

Số hạng tổng quát:

$\begin{array}{l}{\left(x+\frac{2}{x^2}\right)}^6=\sum _{k=1}^6{C}_6^k.x^{6-k}.{\left(\frac{2}{x^2}\right)}^k=\sum _{k=1}^6{C}_6^k.x^{6-k}.\frac{2^k}{{\left(x^2\right)}^k}\\ =\sum _{k=1}^6{C}_6^k.x^{6-k}.\frac{2^k}{x^{2k}}=\sum _{k=1}^6{C}_6^k{x}^{6-k-2k}{.2}^k\\ =\sum _{k=1}^6{C}_6^k{.2}^k.x^{6-3k}\end{array}$

Số hạng chứa $x^3$ ứng với $6-3k=3\iff k=1$

Do đó hệ số của $x^3$ trong khai triển của biểu thức đã cho là: $C_6^1{.2}^1=2.6=12$

Bài 3 trang 58 sgk Đại số và Giải tích 11: Biết hệ số của $x^2$ trong khai triển của $(1-3x{)}^n$ là $90$. Tìm $n$.

Phương pháp giải: 

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của nhị thức Newton:

$$T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$$

Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: $x^m.x^n=x^{m+n};\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$.

Để tìm hệ số của $x^2$ ta cho số mũ của x bằng 2, giải phương trình tìm n.

Lời giải: 

Số hạng tổng quát:

$\begin{array}{l}{T}_{k+1}=C_n^k{.1}^{n-k}.{\left(-3x\right)}^k\\ =C_n^k.{\left(-3\right)}^k.x^k\end{array}$

Hệ số của $x^2$ ứng với $k=2$ hay hệ số của $x^2$ là $C_n^2.{\left(-3\right)}^2=9C_n^2$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}9C_n^2=90\iff C_n^2=10\\ \iff \frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}=10\\ \iff \frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)!}{2!\left(n-2\right)!}=10\\ \iff \frac{n\left(n-1\right)}{2}=10\\ \iff n\left(n-1\right)=20\\ \iff n^2-n-20=0\\ \iff [\begin{array}{l}n=5\left(\text{Thỏa mãn}\right)\\ n=-4\left(\text{loại}\right)\end{array}\end{array}$

Vậy $n=5$.

Bài 4 trang 58 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển của ${\left(x^3+\frac{1}{x}\right)}^8$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton:

$$T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$$

Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: $x^m.x^n=x^{m+n};\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$.

Để tìm hệ số của số hạng không chứa $x$ ta cho số mũ của x bằng 0, giải phương trình tìm $k$

Lời giải: 

Số hạng tổng quát:

$\begin{array}{l}{T}_{k+1}=C_8^k.{\left(x^3\right)}^{8-k}.{\left(\frac{1}{x}\right)}^k\\ =C_8^k.x^{24-3k}.\frac{1}{x^k}\\ =C_8^k{x}^{24-3k-k}\\ =C_8^k{x}^{24-4k}\end{array}$  

Số hạng không chứa $x$ ứng với $24-4k=0\iff 4k=24\iff k=6$

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left(x^3+\frac{1}{x}\right)}^8$ là $C_8^6=28$.

Bài 5 trang 58 sgk Đại số và Giải tích 11: Từ khai triển biểu thức $(3x–4{)}^{17}$ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Phương pháp giải: 

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

$\begin{array}{l}{\left(a+b\right)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...\\ ...+C_n^k{a}^{n-k}{b}^k+...+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n\end{array}$

Để tính tổng các hệ số của khai triến trên ta cho $x=1$.

Lời giải: 

Sử dụng khai triển của nhị thức Newton ta có: 

$\begin{array}{l}{\left(3x-4\right)}^{17}\\ =C_{17}^0{\left(3x\right)}^{17}+C_{17}^1{\left(3x\right)}^{16}\left(-4\right)+...+C_{17}^{17}{\left(-4\right)}^{17}\end{array}$

Ta thấy, tổng các hệ số trong khai triển $(3x–4{)}^{17}$ là:

$C_{17}^0{3}^{17}+C_{17}^1{3}^{16}\left(-4\right)+...+C_{17}^{17}{\left(-4\right)}^{17}$

Cho $x=1$ ta có:

${\left(3.1-4\right)}^{17}=C_{17}^0{3}^{17}+C_{17}^1{3}^{16}\left(-4\right)+...+C_{17}^{17}{\left(-4\right)}^{17}$

hay $(-1{)}^{17}=C_{17}^0{3}^{17}+C_{17}^1{3}^{16}\left(-4\right)+...+C_{17}^{17}{\left(-4\right)}^{17}$

Do đó:

$C_{17}^0{3}^{17}+C_{17}^1{3}^{16}\left(-4\right)+...+C_{17}^{17}{\left(-4\right)}^{17}=-1$

Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được bằng $-1$.

Bài 6 trang 58 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng: 

a. 1110–1 chia hết cho 100

b. ${101}^{100}–1$ chia hết cho 1000

c. $\sqrt{10}[{(1+\sqrt{10})}^{100}–{(1-\sqrt{10})}^{100}]$ là một số nguyên

a.

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Phân tích ${11}^{10}={\left(1+10\right)}^{10}$.

Lời giải:

${11}^{10}-1={\left(1+10\right)}^{10}-1$

$\begin{array}{l}=(C_{10}^0{1}^{10}{.10}^0+C_{10}^1{.1}^9{.10}^1+...\\ +...+C_{10}^9{.1}^1{.10}^9+C_{10}^{10}{1}^0{.10}^{10})-1\end{array}$

$=(1+C_{10}^1.10+C_{10}^2{.10}^2$ $+...+C_{10}^9{.10}^9+{10}^{10})-1$

$=10.10+C_{10}^2{10}^2+\dots +C_{10}^9{10}^9+{10}^{10}$

$=100\left(1+C_{10}^2+C_{10}^3.10+...+{10}^8\right)$

Tổng sau cùng chia hết cho $100$ suy ra ${11}^{10}–1$ chia hết cho $100$.

b.

Phương pháp giải: 

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Phân tích ${101}^{100}={\left(1+100\right)}^{100}$.

Lời giải: 

Ta có

${101}^{100}-1={\left(1+100\right)}^{100}-1$

$\begin{array}{l}=(C_{100}^0{.1}^{100}{.100}^0+C_{100}^1{.1}^{99}{.100}^1+...\\ +...+C_{100}^{99}{.1}^1{.100}^{99}+C_{100}^{100}{.100}^{100})-1\end{array}$

$=(1+C_{100}^1.100+C_{100}^2{100}^2+...$ $+C_{100}^{99}{100}^{99}+{100}^{99})-1$

$={100}^2+C_{100}^2{.100}^2+...+C_{100}^{99}{.100}^{99}+{100}^{100}$

$={100}^2\left(1+C_{100}^2+C_{100}^3.100+...+{100}^{98}\right)$

Tổng sau cùng chia hết cho ${100}^2=10000$ nên ${101}^{100}–1$ chia hết cho $10000$.

c.

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Khai triển ${\left(1+\sqrt{10}\right)}^{100}$ và ${\left(1-\sqrt{10}\right)}^{100}$.

Lời giải:

Ta có:

$(1+\sqrt{10}{)}^{100}=C_{100}^0+C_{100}^1\sqrt{10}+C_{100}^2{\left(\sqrt{10}\right)}^2+...$

$+C_{100}^{99}{\left(\sqrt{10}\right)}^{99}+C_{100}^{100}{\left(\sqrt{10}\right)}^{100}$

$(1-\sqrt{10}{)}^{100}=C_{100}^0-C_{100}^1\sqrt{10}+C_{100}^2{\left(\sqrt{10}\right)}^2-...$

$-C_{100}^{99}{\left(\sqrt{10}\right)}^{99}+C_{100}^{100}{\left(\sqrt{10}\right)}^{100}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\left(1+\sqrt{10}\right)}^{100}-{\left(1-\sqrt{10}\right)}^{100}=\left[C_{100}^0+C_{100}^1\sqrt{10}+...+C_{100}^k{\left(\sqrt{10}\right)}^k+...+C_{100}^{99}{\left(\sqrt{10}\right)}^{99}+C_{100}^{100}{\left(\sqrt{10}\right)}^{100}\right]\\ -\left[C_{100}^0-C_{100}^1\sqrt{10}+...+C_{100}^k{\left(-1\right)}^k{\left(\sqrt{10}\right)}^k+...-C_{100}^{99}{\left(\sqrt{10}\right)}^{99}+C_{100}^{100}{\left(\sqrt{10}\right)}^{100}\right]\\ =2.\left[C_{100}^1\sqrt{10}+C_{100}^3{\left(\sqrt{10}\right)}^3+...+C_{100}^k{\left(\sqrt{10}\right)}^k+...+C_{100}^{99}{\left(\sqrt{10}\right)}^{99}\right]\end{array}$

Đặt $k=2n+1$

$\begin{array}{l}=2\sqrt{10}.\left(C_{100}^1+C_{100}^3.10+...+C_{100}^{2n+1}{.10}^n+...+C_{100}^{99}{.10}^{49}\right)\\ =2\sqrt{10}.A\\ \Rightarrow \sqrt{10}.\left[{\left(1+\sqrt{10}\right)}^{100}-{\left(1-\sqrt{10}\right)}^{100}\right]=\sqrt{10}.2\sqrt{10}.A=20A\end{array}$

Vậy $\sqrt{10}[{(1+10)}^{100}–{(1-\sqrt{10})}^{100}]$ là một số nguyên.

Lý thuyết Bài Nhị thức Niu – Tơn

I. Công thức nhị thức Niu – Tơn

1. Công thức nhị thức Niu – Tơn

Với $a,b$ là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên $n\ge 1$, ta có:

$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...+$

$C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n(1)$

Ví dụ:

Viết khai triển ${\left(a+b\right)}^5$.

Hướng dẫn:

Ta có:

${\left(a+b\right)}^5$

$=C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2$ $+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$

$=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2$ $+10a^2{b}^3+5a{b}^5+b^5$

2. Quy ước

Với $a$ là số thực khác $0$ và $n$ là số tự nhiên khác $0$, ta quy ước:

                $a^0=1$; $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

3. Chú ý

Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện $a$ và $b$ đều khác $0$, có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:

${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k=\sum _{k=0}^n{a}^k{b}^{n-k}$

Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.

II. Tam giác Pa-xcan

1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng 

2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan

– Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng $1$.

– Xét hai số ở cột $k$ và cột $k+1$, đồng thời cùng thuộc dòng $n$, ($k\ge 0;n\ge 1$), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột $k+1$ và dòng $n+1$.

3. Tính chất của tam giác Pa-xcan

Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:

a) Giao của dòng $n$ và cột $k$ là $C_n^k$

b) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:

$C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$

c) Các số ở dòng $n$ là các hệ số trong khai triển của nhị thức ${(a+b)}^n$ (theo công thức nhị thức Niu – Tơn), với $a,b$ là hai số thực tùy ý.

Chẳng hạn, các số ở dòng $4$ là các hệ số trong khai triển của $(a+b{)}^4$ (theo công thức nhị thức Niu – Tơn) dưới đây:

${\left(a+b\right)}^4$ $=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$