Giải Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 157 sgk Đại số và Giải tích 11: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = x^{3}$ tại điểm $x$ tùy ý. Dự đoán đạo hàm của hàm số $y = x^{100}$ tại điểm $x$ .
Phương pháp giải:

– Tính $Δ y$ .

– Tính $lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ suy ra đạo hàm.

Lời giải:

– Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số tại \(\x_0) bất kỳ. Ta có:

$\begin{aligned} Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) \\ = (x_{0} + Δ x)^{3} - {x_{0}}^{3} = 3 {x_{0}}^{2} Δ x + 3 x_{0} (Δ x)^{2} + (Δ x)^{3} \\ \Rightarrow y^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} (3 {x_{0}}^{2} + 3 x_{0} Δ x + (Δ x)^{2}) = 3 {x_{0}}^{2} \end{aligned}$

– Dự đoán đạo hàm của $y = x^{100}$ tại điểm $x$ là $y = 100 x^{99}$

Trả lời hoạt động 2 trang 158 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh khẳng định trong nhận xét trên.

a. Đạo hàm của hàm hằng bằng $0 : c^{'} = 0.$

b. Đạo hàm của hàm số $y = x$ bằng 1: x’ = 1

Lời giải:

Hàm hằng $\Rightarrow Δ y = 0$

$\Rightarrow lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = 0$

Theo định lí 1

$y = x$ hay $y = x^{1} \Rightarrow y^{'} = (x^{1})^{'} = 1. x^{1 - 1} = 1. x^{0} = 1.1 = 1$

Trả lời hoạt động 3 trang 158 sgk Đại số và Giải tích 11: Có thể trả lời ngay được không, nếu yêu cầu tính đạo hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{x}$ tại $x = - 3; x = 4 ?$
Lời giải:

$x = - 3 < 0$ nên $f (x)$ không có đạo hàm tại $x = - 3$

$x = 4$ , đạo hàm của $f (x)$ là:

$\frac{1}{2 \sqrt{4}} = \frac{1}{4}$

Trả lời hoạt động 4 trang 159 sgk Đại số và Giải tích 11: Áp dụng các công thức trong Định lí 3, hãy tính đạo hàm của các hàm số $y = 5 x^{3} - 2 x^{5}$ ; $y = - x^{3} \sqrt{x}$ .
Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm hàm $y = x^{n}$ và hàm $y = \sqrt{x}$

Lời giải:

$(1) y^{'} = (5 x^{3} - 2 x^{5})^{'} = (5 x^{3})^{'} - (2 x^{5})^{'}$

$= (5^{'} . x^{3} + 5 (x^{3})^{'}) - (2^{'} . x^{5} + 2. (x^{5})^{'})$

$= (0. x^{3} + 5.3 x^{2}) - (0. x^{5} + 2.5 x^{4})$

$= (0 + 15 x^{2}) - (0 + 10 x^{4})$

$= 15 x^{2} - 10 x^{4}$

$(2) y^{'} = (- x^{3} \sqrt{x})^{'}$

$= (- x^{3})^{'} . \sqrt{x} + (- x^{3}) . {(\sqrt{x})}^{'}$

$= - 3 x^{2} . \sqrt{x} - x^{3} . \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Trả lời hoạt động 5 trang 160 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy chứng minh các công thức trên và lấy ví dụ minh họa.
Lời giải:

– Nếu $k$ là một hằng số thì $(k u)^{'} = k u^{'}$

Thật vậy, ta có: $(k u)^{'} = k^{'} u + k u^{'} = 0. u + k u^{'} = k u^{'}$ (do đạo hàm của hàm hằng bằng $0$ )

Ví dụ: ${(3 x^{2})}^{'} = 3. {(x^{2})}^{'} = 3.2 x = 6 x$

${(\frac{1}{v})}^{'} = - \frac{v^{'}}{v^{2}} (v = v (x) \neq 0)$

Thật vậy, ta có:

${(\frac{1}{v})}^{'} = \frac{1^{'} v - 1. v^{'}}{v^{2}} = \frac{0. v - v^{'}}{v^{2}} = - \frac{v^{'}}{v^{2}}$

Ví dụ: ${(\frac{1}{2 x + 1})}^{'} = - \frac{{(2 x + 1)}^{'}}{{(2 x + 1)}^{2}} = - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Trả lời hoạt động 6 trang 161 sgk Đại số và Giải tích 11: Hàm số $y = \sqrt{x^{2} + x + 1}$ là hàm hợp của hàm số nào?
Lời giải:

Hàm số $y = \sqrt{x^{2} + x + 1}$ là hàm hợp của hàm số $y = \sqrt{u} (u = x^{2} + x + 1)$

Bài tập (trang 162, 163 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 162 sgk Đại số và Giải tích 11: Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a. $y = 7 + x - x^{2}$ tại $x_{0} = 1$

b. $y = x^{3} - 2 x + 1$ tại $x_{0} = 2$

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số tại $x_{0}$ , tính $Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$ .

Bước 2: Lập tỉ số $\frac{Δ y}{Δ x}$ .

Bước 3: Tìm $lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ .

Kết luận $f^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ .

Lời giải:

Giả sử $∆ x$ là số gia của đối số tại $x_{0} = 1$ . Ta có:

$\begin{array}{l} Δ y = f (1 + Δ x) - f (1) \\ Δ y = 7 + (1 + Δ x) - {(1 + Δ x)}^{2} - 7 \\ Δ y = 1 + Δ x - 1 - 2 Δ x - {(Δ x)}^{2} \\ Δ y = - {(Δ x)}^{2} - Δ x \\ \Rightarrow \frac{Δ y}{Δ x} = - Δ x - 1 \\ \Rightarrow lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} (- Δ x - 1) = - 1 \end{array}$

Vậy $f^{'} (1) = - 1$ .

Giả sử $∆ x$ là số gia của số đối tại $x_{0} = 2$ . Ta có:

$\begin{array}{l} Δ y = f (2 + Δ x) - f (2) \\ Δ y = {(2 + Δ x)}^{3} - 2 (2 + Δ x) + 1 - 5 \\ Δ y = 8 + 12 Δ x + 6 {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3} - 4 - 2 Δ x - 4 \\ Δ y = {(Δ x)}^{3} + 6 {(Δ x)}^{2} + 10 Δ x \\ \Rightarrow \frac{Δ y}{Δ x} = {(Δ x)}^{2} + 6 Δ x + 10 \\ \Rightarrow lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} ({(Δ x)}^{2} + 6 Δ x + 10) = 10 \end{array}$

Vậy $f^{'} (2) = 10$ .

Bài 2 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. $y = x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 3$

b. $y = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} x + x^{2} - 0, 5 x^{4}$

c. $y = \frac{x^{4}}{2}$ – $\frac{2 x^{3}}{3}$ + $\frac{4 x^{2}}{5} - 1$

d. $y = 3 x^{5} (8 - 3 x^{2})$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}$ .

Lời giải:

$\begin{array}{l} y^{'} = {(x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 3)}^{'} \\ = {(x^{5})}^{'} - {(4 x^{3})}^{'} + {(2 x)}^{'} - {(3)}^{'} \\ = {(x^{5})}^{'} - 4. {(x^{3})}^{'} + 2. {(x)}^{'} - 0 \\ = 5 x^{4} - 4.3 x^{2} + 2 \\ = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} y = 3 x^{5} (8 - 3 x^{2}) \\ = 24 x^{5} - 9 x^{7} \\ \Rightarrow y^{'} = {(24 x^{5} - 9 x^{7})}^{'} \\ = 24. {(x^{5})}^{'} - 9. {(x^{7})}^{'} \\ = 24.5 x^{4} - 9.7 x^{6} \\ = 120 x^{4} - 63 x^{6} \end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} y^{'} = {[3 x^{5} (8 - 3 x^{2})]}^{'} \\ = {(3 x^{5})}^{'} (8 - 3 x^{2}) + 3 x^{5} {(8 - 3 x^{2})}^{'} \\ = 3. {(x^{5})}^{'} (8 - 3 x^{2}) + 3 x^{5} [{(8)}^{'} - {(3 x^{2})}^{'}] \\ = 3.5 x^{4} (8 - 3 x^{2}) + 3 x^{5} (0 - 3.2 x) \\ = 120 x^{4} - 45 x^{6} - 18 x^{6} \\ = 120 x^{4} - 63 x^{6} \end{array}$

Bài 3 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a. $y = (x^{7} - 5 x^{2})^{3}$

b. $y = (x^{2} + 1) (5 - 3 x^{2})$

c. $y = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$

d. $y = \frac{3 - 5 x}{x^{2} - x + 1}$

e. $y = {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{3}$ ( $m, n$ là các hằng số)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}$ , đạo hàm của hàm hợp ${[f (u)]}^{'} = u^{'} . f^{'} (u)$ , các quy tắc tính đạo hàm của tích và thương:

$\begin{array}{l} {(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'} \\ {(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} \end{array}$

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp $y = u^{3}, u = x^{7} - 5 x^{2}$

$\begin{array}{l} y = {(x^{7} - 5 x^{2})}^{3} \\ \Rightarrow y^{'} = 3 {(x^{7} - 5 x^{2})}^{2} {(x^{7} - 5 x^{2})}^{'} \\ y^{'} = 3 {(x^{7} - 5 x^{2})}^{2} [{(x^{7})}^{'} - {(5 x^{2})}^{'}] \\ y^{'} = 3 {(x^{7} - 5 x^{2})}^{2} . (7 x^{6} - 5.2 x) \\ y^{'} = 3 {(x^{7} - 5 x^{2})}^{2} . (7 x^{6} - 10 x) \end{array}$

$\begin{array}{l} y = (x^{2} + 1) (5 - 3 x^{2}) \\ \Rightarrow y = 5 x^{2} - 3 x^{4} + 5 - 3 x^{2} \\ = - 3 x^{4} + 2 x^{2} + 5 \\ \Rightarrow y^{'} = {(- 3 x^{4})}^{'} + {(2 x^{2})}^{'} + {(5)}^{'} \\ \Rightarrow y^{'} = - 3.4 x^{3} + 2.2 x + 0 \\ \Rightarrow y^{'} = - 12 x^{3} + 4 x \end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} y^{'} = {(x^{2} + 1)}^{'} (5 - 3 x^{2}) + (x^{2} + 1) {(5 - 3 x^{2})}^{'} \\ = [{(x^{2})}^{'} + {(1)}^{'}] (5 - 3 x^{2}) + (x^{2} + 1) [{(5)}^{'} - {(3 x^{2})}^{'}] \\ = (2 x + 0) (5 - 3 x^{2}) + (x^{2} + 1) (0 - 3.2 x) \\ = 10 x - 6 x^{3} - 6 x^{3} - 6 x \\ = 4 x - 12 x^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} y^{'} = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{'} \\ = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} [{(m)}^{'} + {(\frac{n}{x^{2}})}^{'}] \\ = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} [0 + \frac{{(n)}^{'} . x^{2} - n . {(x^{2})}^{'}}{x^{4}}] \\ = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} . \frac{0 x^{2} - n .2 x}{x^{4}} \\ = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} . \frac{- 2 n}{x^{3}} \\ = - 6 n {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} . \frac{1}{x^{3}} \end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} y = {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{3} \\ \Rightarrow y^{'} = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{'} \\ y^{'} = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} . {(m + n . x^{- 2})}^{'} \\ y^{'} = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} . n . (- 2) . x^{- 3} \\ y^{'} = - 6 n {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} . \frac{1}{x^{3}} \end{array}$

Bài 4 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a. $y = x^{2} - x \sqrt{x} + 1$

b. $y = \sqrt{(2 - 5 x - x^{2})}$

c. $y = \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ ( $a$ là hằng số)

d. $y = \frac{1 + x}{\sqrt{1 - x}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm: ${(x^{n})}^{'} = n . x^{n - 1}; {(\sqrt{x})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Lời giải:

$\begin{array}{l} y = x^{2} - x \sqrt{x} + 1 \\ y^{'} = {(x^{2})}^{'} - {(x \sqrt{x})}^{'} + {(1)}^{'} \\ y^{'} = 2 x - [{(x)}^{'} \sqrt{x} + x {(\sqrt{x})}^{'}] + 0 \\ y^{'} = 2 x - (\sqrt{x} + x . \frac{1}{2 \sqrt{x}}) \\ y^{'} = 2 x - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{2} \\ y^{'} = 2 x - \frac{3 \sqrt{x}}{2} \end{array}$

Bài 5 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ . Tìm $x$ để :

a. $y^{'} > 0$

b. y’ < 3

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số và giải các bất phương trình.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} y^{'} = {(x^{3} - 3 x^{2} + 2)}^{'} \\ = {(x^{3})}^{'} - {(3 x^{2})}^{'} + {(2)}^{'} \\ = 3 x^{2} - 3.2 x + 0 \\ = 3 x^{2} - 6 x \end{array}$

$\begin{array}{l} y^{'} > 0 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x > 0 \\ \Leftrightarrow 3 x (x - 2) > 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 0 \end{array} \\ \Rightarrow S = (- \infty; 0) \cup (2; + \infty) \end{array}$

$\begin{array}{l} y^{'} < 3 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x < 3 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x - 3 < 0 \\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2} \\ \Rightarrow S = (1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}) \end{array}$

Lý thuyết Bài Quy tắc tính đạo hàm

1. Công thức

$(c)^{'} = 0$ ( $c$ là hằng số);

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ ( $n \in N^{*}, x \in R$ );

$(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ ( $x > 0$ ).

2. Phép toán

$(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ ;

$(u - v)^{'} = u^{'} - v^{'}$ ;

$(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ;

$(k u)^{'} = k u^{'}$ ( $k$ là hằng số);

${(\frac{u}{v})}^{^{^{'}}}$ = $\frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ , ( $v = v (x) \neq 0$ );

${(\frac{1}{v})}^{^{'}}$ = $\frac{- v^{'}}{v^{2}}$ , ( $v = v (x) \neq 0$ ).

3. Đạo hàm của hàm hợp

$y_{x}^{'} = y_{u}^{'} . u_{x}^{'}$

Hệ quả: +) ${(u^{n})}^{'} = n . u^{n - 1} . u^{'}$ ;

+) $(\sqrt{u})^{'} = \frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}$ .

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy