Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 80 sgk Đại số và Giải tích 11: Xét hai mệnh đề chứa biến $P\left(n\right):3^n<n+100$ và $Q\left(n\right):2^n>n$ với $n\in N\ast$

a. Với $n=1,2,3,4,5$ thì $P(n),Q(n)$ đúng hay sai?

b. Với mọi $n\in N\ast$ thì $P(n),Q(n)$ đúng hay sai?

a. 

Phương pháp giải:
Thay $n$ vào các mệnh đề chứa biến và kiểm tra tính đúng sai của chúng
Lời giải:

Với $n=1$thì $P\left(1\right){:}^{″}{3}^1<1+{100}^{″}$ đúng, $Q\left(1\right){:}^{″}{2}^1>1^{″}$ đúng.

Với $n=2$ thì $P\left(2\right){:}^{″}{3}^2<2+{100}^{″}$ đúng, $Q\left(2\right){:}^{″}{2}^2>2^{″}$ đúng.

Với $n=3$ thì $P\left(3\right){:}^{″}{3}^3<3+{100}^{″}$ đúng, $Q\left(3\right){:}^{″}{2}^3>3^{″}$ đúng.

Với $n=4$ thì $P\left(4\right){:}^{″}{3}^4<4+{100}^{″}$ đúng, $Q\left(4\right){:}^{″}{2}^4>4^{″}$ đúng.

Với $n=5$ thì $P\left(5\right){:}^{″}{3}^5<5+{100}^{″}$ sai, $Q\left(5\right){:}^{″}{2}^5>5^{″}$ đúng.

b. 

Phương pháp giải:
Nhận xét tính đúng sai của các mệnh đề khi n bất kì thuộc N*.
Lời giải:

Với $P\left(n\right)$: Do với $n=5$ thì $P\left(n\right)$ sai nên $P\left(n\right)$ không đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Với $Q\left(n\right)$: Quan sát $2^n$ ta thấy $2^n$ tăng rất nhanh so với $n$ nên $2^n>n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ hay $Q\left(n\right)$ đúng với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 

Trả lời hoạt động 2 trang 81 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng với $n\in N\ast$ thì

$1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

Phương pháp giải:

– Xét với $n=1$, chứng minh đẳng thức đúng với $n=1$.

– Giả sử đẳng thức đúng với $n=k\ge 1$, chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$.

Lời giải:

– Khi $n=1,VT=1$

$VP=\frac{1(1+1)}{2}=1$

– Giả sử đẳng thức đúng với $n=k\ge 1$, nghĩa là:

$S_k=1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với $n=k+1$, tức là:

$S_{k+1}=1+2+3+...+k+(k+1)$ $=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

$S_{k+1}=S_k+(k+1)$ $=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)$

$=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}$ $=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

Vậy đẳng thức đúng với mọi  $n\in N\ast$

Trả lời hoạt động 3 trang 82 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hai số $3^n\text{và}8n\text{với }n\in N\ast .$

a. So sánh  $3^n\text{và}8n$ khi $n=1,2,3,4,5.$

b. Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

a.

Phương pháp giải:
Thay lần lượt các giá trị của $n$ và so sánh.

Lời giải:

So sánh  $3^n\text{và}8n$ với $n=1,2,3,4,5$.

$\begin{array}{l}n=1\Rightarrow 3^1=3<8=8.1\\ n=2\Rightarrow 3^2=9<16=8.2\\ n=3\Rightarrow 3^3=27>24=8.3\\ n=4\Rightarrow 3^4=81>32=8.4\\ n=5\Rightarrow 3^5=243>40=8.5\end{array}$

b.

Phương pháp giải:
Từ các kết quả ở ý a) dự đoán kết quả tổng quát $3^n>8n$ với mọi $n\ge 3$
Lời giải:

Dự đoán kết quả tổng quát:  $3^n>8n$  với mọi $n\ge 3$

– $n=3$, bất đẳng thức đúng

– Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\ge 3$, nghĩa là:

 $3^k>8k$

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với $n=k+1$, tức là:

 $3^{k+1}>8(k+1)$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

 $3^{k+1}=3^k.3>8k.3=24k=8k+16k$

$k\ge 3\Rightarrow 16k\ge 16.3=48>8$

Suy ra:

$3^{k+1}>8k+8=8(k+1)$ 

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi $n\ge 3$

Bài tập (trang 82, 83 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 82 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có đẳng thức:
a. 
b. 
c. 
Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với $n=1$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k\ge 1$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi $n\in N^{\ast }$.

Lời giải:
a. Với $n=1$, vế trái chỉ có một số hạng là $2$, vế phải bằng $\frac{1.(3.1+1)}{2}=2$.

Do đó hệ thức a) đúng với $n=1$.

Đặt vế trái bằng $S_n$

Giả sử đẳng thức a) đúng với $n=k\ge 1$, tức là

$S_k=2+5+8+\dots +3k–1$ $=\frac{k(3k+1)}{2}$

Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với $n=k+1$, nghĩa là phải chứng minh

$S_{k+1}=2+5+8+\dots .+3k-1+(3(k+1)–1)$ $=\frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$S_{k+1}=[2+5+8+\dots .+3k-1]+(3(k+1)–1)$

$=S_k+3k+2$

$=\frac{k(3k+1)}{2}+3k+2$

$=\frac{3k^2+k+6k+4}{2}$

$=\frac{3k^2+7k+4}{2}$ $=\frac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{2}$ $=\frac{\left(k+1\right)\left(3k+3+1\right)}{2}$ $=\frac{\left(k+1\right)\left[3\left(k+1\right)+1\right]}{2}$

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

b. Với $n=1$, vế trái bằng $\frac{1}{2}$, vế phải bằng $\frac{1}{2}$, do đó hệ thức đúng với $n=1$.

Đặt vế trái bằng $S_n$_.

Giả sử hệ thức b) đúng với $n=k\ge 1$, tức là

$S_k=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k}$ $=\frac{2^k-1}{2^k}$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$.

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$S_{k+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}$

$=S_k+\frac{1}{2^{k+1}}$

$=\frac{2^k-1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}$ $=\frac{2\left(2^k-1\right)+1}{2^{k+1}}$ $=\frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

c. Với $n=1$, vế trái bằng $1$, vế phải bằng $\frac{1(1+1)(2+1)}{6}=1$ nên hệ thức c) đúng với $n=1$.

Đặt vế trái bằng $S_n$_.

Giả sử hệ thức c) đúng với $n=k\ge 1$, tức là

$S_k=1^2+2^2+3^2+...+k^2$ $=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 

$S_{k+1}=1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1{)}^2$

$=S_k+{\left(k+1\right)}^2$

$=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1{)}^2$

$\begin{array}{l}=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)+6{\left(k+1\right)}^2}{6}\\ =\frac{\left(k+1\right)\left[k\left(2k+1\right)+6\left(k+1\right)\right]}{6}\\ =\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{6}\\ =\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}\\ =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\\ =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+2+1\right)}{6}\\ =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[2\left(k+1\right)+1\right]}{6}\end{array}$

(đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi  $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Bài 2 trang 82 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ta luôn có:
a. $n^3+3n^2+5n$ chia hết cho $3$;

b. $4^n+15n-1$ chia hết cho 9

c. $n^3+11n$ chia hết cho $6$.

Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với $n=1$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k\ge 1$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi $n\in N^{\ast }$.

Lời giải:

a. Đặt $S_n=n^3+3n^2+5n$

Với $n=1$ thì $S_1=1^3+{3.1}^2+5.1=9$ chia hết cho $3$

Giả sử với $n=k\ge 1$, $S_k=(k^3+3k^2+5k)⋮$ $3$

Ta phải chứng minh rằng $S_{k+1}$$⋮$ $3$

Thật vậy :

$S_{k+1}={\left(k+1\right)}^3+3{\left(k+1\right)}^2+5\left(k+1\right)$

$=k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3+5k+5$

$=(k^3+3k^2+5k)+3k^2+9k+9$

$=S_k+3(k^2+3k+3)$

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k$ $⋮$ $3$

Mà $3(k^2+3k+3)⋮$ $3$ nên $S_{k+1}⋮$ $3$.

Vậy $n^3+3n^2+5n$ chia hết cho $3$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Cách khác:

Chứng minh trực tiếp.

Ta có:

$\begin{array}{l}{n}^3+3n^2+5n\\ =n.(n^2+3n+5)\\ =n.(n^2+3n+2+3)\\ =n.(n^2+3n+2)+3n\\ =n.\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3n.\end{array}$

Mà: $n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3$ (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

và $3n⋮3$

$\Rightarrow n^3+3n^2+5n=n(n+1)(n+2)+3n⋮3.$

Vậy $n^3+3n^2+5n$ chia hết cho $3$ với mọi $\mathrm{\forall }n\in N\ast$

b. Đặt $S_n=4^n+15n-1$

Với $n=1,S_1=4^1+15.1-1=18$ nên $S_1⋮$ $9$

Giả sử với $n=k\ge 1$ thì $S_k=4^k+15k-1$ chia hết cho $9$.

Ta phải chứng minh $S_{k+1}⋮$ $9$.

Thật vậy, ta có:

$S_{k+1}=4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1$ 

$={4.4}^k+15k+15-1$

$={4.4}^k+15k+14$

$={4.4}^k+60k-45k+18-4$

$=\left({4.4}^k+60k-4\right)-45k+18$

$=4(4^k+15k-1)-45k+18$

$=4S_k-9\left(5k-2\right)$

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k⋮$ $9$  nên $4S_k⋮9$

Mặt khác $9(5k-2)⋮$ $9$, nên $S_{k+1}⋮9$

Vậy $(4^n+15n-1)⋮$ $9$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

c. Đặt $S_n=n^3+11n$

Với $n=1$, ta có $S_1=1^3+11.1=12$ nên $S_1$ $⋮$ $6$

Giả sử với $n=k\ge 1$ , $S_k=k^3+11k$ chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh $S_{k+1}$$⋮$ 6

Thật vậy, ta có 

$S_{k+1}={\left(k+1\right)}^3+11\left(k+1\right)$

$=k^3+3k^2+3k+1+11k+11$

$=\left(k^3+11k\right)+\left(3k^2+3k+12\right)$

$=(k^3+11k)+3(k^2+k+4)$

$=S_k+3(k^2+k+4)$

Theo giả thiết quy nạp thì  $S_k$$⋮$ $6$, mặt khác $k^2+k+4=k(k+1)+4$ là số chẵn nên $3(k^2+k+4)$ $⋮$ $6$, do đó $S_{k+1}$$⋮$ $6$

Vậy $n^3+11n$ chia hết cho $6$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Cách khác:

Chứng minh trực tiếp.

Ta có: 

$\begin{array}{l}{n}^3+11n\\ =n^3--n+12n\\ =n(n^2--1)+12n\\ =n\left(n--1\right)\left(n+1\right)+12n.\end{array}$

Vì $n\left(n--1\right)\left(n+1\right)$ là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho $2$ và 1 thừa số chia hết cho $3$

$n(n-1)(n+1)⋮6$

Lại có: $12n⋮6$

$\Rightarrow n^3+11n=n\left(n--1\right)\left(n+1\right)+12n⋮6.$

Bài 3 trang 82 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, ta có các bất đẳng thức:
a. $3^n>3n + 1$
b. $2^{n+1}>2n + 3$
Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với $n=2$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k\ge 2$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi $n\in N^{\ast }$.

Lời giải:
a. Với $n=2$ ta có: $3^2=9>7=3.2+1$ (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\ge 2$, tức là

$3^k>3k+1$         (1).

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với $n=k+1$, tức là cần chứng minh: $3^{k+1}>3(k+1)+1=3k+4$

Nhân hai vế của (1) với $3$, ta được:

$3^{k+1}>9k+3$

$\iff 3^{k+1}>3k+4+6k-1$

Vì $k\ge 2\Rightarrow 6k-1\ge 11>0$ nên $3^{k+1}>3k+4+11>3k+4=3(k+1)+1).$

Tức là bất đẳng thức đúng với $n=k+1$.

Vậy $3^n>3n+1$  với mọi số tự nhiên $n\ge 2$.

b. Với $n=2$ thì $2^{2+1}=8>7=2.2+3$ (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\ge 2$, tức là

$2^{k+1}>2k+3$          (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với $n=k+1$, nghĩa là phải chứng minh

$2^{k+2}>2\left(k+1\right)+3$

$\iff 2^{k+2}>2k+5$

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với $2$, ta được:

$2^{k+2}>4k+6$

$\iff 2^{k+2}>2k+5+2k+1$

Vì $k\ge 2\Rightarrow 2k+1>0$ nên $2^{k+2}>2k+5$.

Tức là bất đẳng thức đúng với $n=k+1$.

Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức $2^{n+1}>2n+3$ đúng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$.

Cách khác:

+ Với $n=2$ thì bất đẳng thức $\iff 8>7$ (luôn đúng).

+ Giả sử bđt đúng khi $n=k\ge 2$, nghĩa là $2^{k+1}>2k+3.$

Ta chứng minh đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh: $2^{k+2}>2(k+1)+3.$

Thật vậy, ta có:

$\begin{array}{l}{2}^{k+2}={2.2}^{k+1}\\ >2.\left(2k+3\right)=4k+6=2k+2+2k+4.\\ >2k+2+3=2.\left(k+1\right)+3\end{array}$

(Vì $2k+4>3$ với mọi $k\ge 2$)

$\Rightarrow \left(2\right)$ đúng với $n=k+1$.

Vậy $2^{n+1}>2n+3$ với mọi $n\ge 2$.

Bài 4 trang 83 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho tổng $S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
a. Tính $S_1,S_2,S_3$
b. Dự đoán công thức tính tổng $S_n$ và chứng minh bằng quy nạp.
a.
Phương pháp giải:
Tính các giá trị $S_1;S_2;S_3$ bằng cách thay lần lượt $n=1;n=2;n=3$.
Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{rl}& S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}\\ & S_2=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3}\\ & S_3=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}\end{array}$

b.
Phương pháp giải:

Dựa vào các giá trị $S_1;S_2;S_3$ tính được ở trên, dự đoán tổng $S_n$.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

Từ câu a) ta dự đoán $S_n=\frac{n}{n+1}(1)$, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi $n=1$, vế trái là $S_1=\frac{1}{2}$ vế phải bằng $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$.

Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với $n\ge 1$, tức là 

$S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$, nghĩa là phải chứng minh: $S_{k+1}=\frac{k+1}{k+2}$

Ta có :

$S_{k+1}=S_k+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$$=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{k\left(k+2\right)+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$ $=\frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{{\left(k+1\right)}^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$ $=\frac{k+1}{k+2}$

tức là đẳng thức (1) đúng với $n=k+1$.

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.

Chú ý:

Một cách dự đoán khác các em có thể tham khảo thêm như sau:

$\begin{array}{l}{S}_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}\\ S_2=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=1-\frac{1}{3}\\ S_3=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=1-\frac{1}{4}\end{array}$

Dự đoán: $S_n=1-\frac{1}{n+1}$ (1)

Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng quy nạp

+ Với $n=1$ thì (1) đúng.

+ Giả sử (1) đúng với $n=k$, tức là

$$S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k\left(k+1\right)}=1-\frac{1}{k+1}$$

Khi đó,

$\Rightarrow \left(1\right)\text{đúng với }n=k+1,\text{do đó đúng }\mathrm{\forall }n\in N\ast .$

Bài 5 trang 83 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi $n$ cạnh là $\frac{n(n-3)}{2}$
Phương pháp giải:

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $n\ge 4$.

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải:

Kí hiệu số đường chéo của đa giác $n$ cạnh là $C_n$.

Ta chứng minh $C_n=\frac{n(n-3)}{2}$ (1) với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $n\ge 4$.

*) Với $n=4$, ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo.

Mặt khác $\frac{4(4-3)}{2}=2$ nên (1) đúng với $n=4$.

Vậy khẳng định đúng với $n=4$.

*) Giả sử (1) đúng với $n=k\ge 4$, tức là $C_k=\frac{k(k-3)}{2}$

*) Ta phải chứng minh (1) đúng với $n=k+1$.
Tức là $C_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)-3)}{2}$
Xét đa giác lồi $k+1$ cạnh

Đa giác $k$ cạnh $A_1{A}_2...A_k$ có $\frac{k(k-3)}{2}$ đường chéo (giả thiết quy nạp).
Nối $A_{k+1}$ với các đỉnh $A_2,...,A_{k-1}$, ta được thêm $k-2$ đường chéo.
Ngoài ra $A_1{A}_k$ cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác $k+1$ cạnh là

$\frac{k(k-3)}{2}+k-2+1$

$=\frac{k^2-3k}{2}+k-1$

$=\frac{k^2-3k+2k-2}{2}$

$=\frac{k^2-k-2}{2}$

$=\frac{\left(k+1\right)\left(k-2\right)}{2}$

$=\frac{(k+1)((k+1)-3)}{2}$

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác $k+1$ cạnh

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Chú ý:

Trên đây là cách chứng minh bằng quy nạp, các em có thể dễ dàng chứng minhcông thức đó bằng kiến thức chương 2 như sau:

Cách 2: Đa giác lồi $n$ cạnh có $n$ đỉnh.

Chọn 2 điểm bất kì trong số các đỉnh của một đa giác ta được 1 cạnh hoặc 1 đường chéo của đa giác.

⇒ Tổng số cạnh và đường chéo của đa giác bằng:

$C_n^2=\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}$$=\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)!}{2\left(n-2\right)!}=\frac{n\left(n-1\right)}{2}$

⇒ Số đường chéo của đa giác lồi có $n$ cạnh là:

$\frac{n\left(n-1\right)}{2}-n=\frac{n^2-n-2n}{2}$$=\frac{n^2-3n}{2}=\frac{n\left(n-3\right)}{2}$

Vậy ta có đpcm.

Lý thuyết Bài Phương pháp quy nạp toán học

1. Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n ε N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau

Bài toán

Phương pháp quy nạp toán học

– Bước 1: Chứng minh $P\left(n\right)$ đúng với $n=1$.

– Bước 2: Với $k$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P\left(n\right)$ đúng với $n=k\ge 1$, chứng minh $P\left(n\right)$ cũng đúng khi $n=k+1$.

Chú ý:

Đối với bài toán chứng minh $P\left(n\right)$ đúng với mọi $n\ge p$ với $p$ là số tự nhiên cho trước thì:

– Bước 1: Chứng minh $P\left(n\right)$ đúng với $n=p$.

– Bước 2: Với $k\ge p$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P\left(n\right)$ đúng với $n=k$, chứng minh $P\left(n\right)$ cũng đúng khi $n=k+1$.

Ví dụ: Chứng minh $n^7-n$ chia hết cho $7$ với mọi $n\in N^{\ast }$.

Giải:

Đặt $P\left(n\right)=n^7-n$.

– Với $n=1$ thì $P\left(1\right)=1^7-1=0⋮7$ nên $P\left(1\right)$ đúng.

– Giả sử mệnh đề đúng với $n=k\in N^{\ast }$, tức là $P\left(k\right)=\left(k^7-k\right)⋮7$.

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$, tức là: $P\left(k+1\right)={\left(k+1\right)}^7-\left(k+1\right)⋮7$

Ta có: ${\left(k+1\right)}^7-\left(k+1\right)$ $=C_7^0.k^7+C_7^1.k^6+C_7^2.k^5+C_7^3.k^4$ $+C_7^4.k^3+C_7^5.k^2+C_7^6.k+C_7^7-\left(k+1\right)$

$=k^7+7k^6+21k^5+35k^4+35k^3$ $+21k^2+7k+1-k-1$ $=\left(k^7-k\right)+7\left(k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+k\right)$

Do $(k^7-k)⋮7$ và $7\left(k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+k\right)⋮7$ nên $P\left(k+1\right)={\left(k+1\right)}^7-\left(k+1\right)⋮7$.

Vậy mệnh đề đã cho đúng.