Giải Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 4 sgk Đại số và Giải tích 11: Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx, cosx với x là các số sau:… 
a. 
b. Trên đường tròn lượng giác, với điểm gốc A, hãy xác định các điểm M mà số đo của cung AM bằng x (rad) tương ứng đã cho ở trên và xác định sinx, cosx (lấy π ≈ 3,14)
 

Phương pháp giải:

Nhập các giá trị tương ứng vào hàm sin, cos trên máy tính bỏ túi

Lời giải: 

a)

b)

Trả lời hoạt động 2 trang 6 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy so sánh các giá trị sinx và sin(-x), cosx và cos(-x).

Phương pháp giải:

B1: Vẽ hai góc $x$ và $-x$ trên đường tròn lượng giác.

B2: xác định $sin(x),sin(-x),cos(x)$ và $cos(-x)$ trên đường tròn lượng giác

B3: so sánh và rút ra KL.

Lời giải:

$sinx=-sin(-x)$

$cosx=cos(-x)$

Trả lời hoạt động 3 trang 6 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm những số T sao cho f(x + T) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số sau:…
a. 
b. 
Trả lời:
a. 
Phương pháp giải:
– Sử dụng công thức $\sin \left(\alpha +k2\pi \right)=\sin \alpha$ 
Lời giải:
$T=k2\pi (k\in Z)$ vì $f(x+T)=\sin (x+k2\pi )$ $=\sin x=f(x)$
b. 

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\tan \left(\alpha +k\pi \right)=\tan \alpha$ để chỉ ra T 

Lời giải:

$T=k\pi (k\in Z)$ vì $f(x+T)=\tan (x+k\pi )$ $=\tan x=f(x)$

Bài tập (trang 17, 18 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy xác định các giá trị của $x$ trên đoạn $\left[-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]$ để hàm số $y=\tan x$;
a. Nhận giá trị bằng 0;
b. Nhận giá trị bằng 1;
c. Nhận giá trị bằng dương;
d. Nhận giá trị bằng âm;
Trả lời:
a.
Phương pháp giải: 

B1: Vẽ đường thẳng y=0 (Ox)

B2: Quan sát xem đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=0 tại những điểm nào.

B3: Chỉ lấy những điểm thuộc đoạn đã cho và KL.

Lời giải: 

b.
Phương pháp giải: 

B1: Vẽ đường thẳng y=1 (Ox)

B2: Quan sát xem đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=1 tại những điểm nào.

B3: Chỉ lấy những điểm thuộc đoạn đã cho và KL.

Lời giải: 

Đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị $y=\tan x$ tại ba điểm có hoành độ $\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\pm \pi$.

Vậy $x=-\frac{3\pi }{4};x=\frac{\pi }{4};x=\frac{5\pi }{4}$.

c. 

Phương pháp giải: 

B1: Quan sát đồ thị hàm số, tìm các giá trị x sao cho đồ thị nằm phía trên trục hoành (hay tanx >0).

B2. Lấy các điểm thuộc đoạn đề bài yêu cầu và Kết luận.

Lời giải: 

Trong các khoảng $\left(-\pi ;-\frac{\pi }{2}\right)$; $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$; $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$, đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.

Vậy $x\in \left(-\pi ;-\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$

d.

Phương pháp giải: 

Quan sát đồ thị hàm số, tìm các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải: 

Trong các khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};0\right),\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$, đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành.

Vậy $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)\cup \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$.

Bài 2 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm tập xác định của các hàm số:
a. 
b. 
c. 
d. 
Trả lời: 
a.
Phương pháp giải: 

Lời giải:

b.

Phương pháp giải:

Lời giải:

c. 

Phương pháp giải:

Lời giải:

d. 

Phương pháp giải:

Lời giải:

Bài 3 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11: Dựa vào đồ thị hàm số $y=\sin x$, hãy vẽ đồ thị của hàm số $y=|\sin x|$
Phương pháp giải:

Lời giải:
Ta có

Bài 4 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng $sin2(x+k\pi )=sin2x$ với mọi số nguyên $k$. Từ đó vẽ đồ thị hàm số $y=sin2x$.
Phương pháp giải:

Dựa vào tính tuần hoàn và chu kì của hàm số $y=\sin x$: Hàm $y=\sin x$ là hàm tuần hoàn với chu kì $2\pi$.

Lời giải:

Hàm $y=\sin x$ là hàm tuần hoàn với chu kì $2\pi$ nên ta có: 

$\sin 2\left(x+k\pi \right)=\sin \left(2x+k2\pi \right)$$=\sin 2x\mathrm{\forall }k\in Z$

Ta có:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sin 2x\\ \Rightarrow f\left(x+\pi \right)=\sin 2\left(x+\pi \right)\\ =\sin \left(2x+k2\pi \right)=\sin 2x=f\left(x\right)\end{array}$

$\Rightarrow$ Hàm số $y=sin2x$ tuần là hàm tuần hoàn với chu kì $\pi$.

Xét hàm số $y=\sin 2x$ trên đoạn $\left[0;\pi \right]$.

Ta lấy các điểm đặc biệt như sau:

Bài 5 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11: Dựa vào đồ thị hàm số $y=\cos x$, tìm các giá trị của $x$ để $\cos x=\frac{1}{2}$.
Phương pháp giải:

Lời giải: 

Nghiệm của phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$  là các hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ và đồ thị $y=\cos x$.

Trong đó đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ là đường thẳng song song với trục hoành, đi qua điểm $A(0,\frac{1}{2})$, còn hàm số $y=cosx$ có đồ thị như hình dưới

Cách 1:

Ta xác định các giao điểm, lấy hoành độ (tức là gióng xuống trục Ox)

Suy ra $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$.

Cách 2: Xét trong đoạn $[-\pi ;\pi ]$ và sử dụng tính tuần hoàn để suy ra tất cả các giá trị của $x$

Dễ thấy: trong đoạn này chỉ có giao điểm ứng với $x=\pm \frac{\pi }{3}$ thỏa mãn  $\cos x=\frac{1}{2}$

Suy ra các giá trị của $x$ là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$.

Bài 6 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11: Dựa vào đồ thị hàm số $y=\sin x$, tìm các khoảng giá trị của $x$ để hàm số đó nhận giá trị dương.

Phương pháp giải:

B1: Tìm các khoảng chứa các điểm thuộc đồ thị hàm số $y=\sin x$ và nằm phía trên trục hoành trong khoảng $[-\pi ;\pi ]$

B2: dựa vào chu kì tuần hoàn của hàm số $y=\sin x$ suy ra tất cả các khoảng chứa các điểm thuộc đồ thị hàm số và nằm phía trên trục hoành.

Lời giải: 

Bài 7 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11: Dựa vào đồ thị hàm số $y=cosx$, tìm các khoảng giá trị của $x$ để hàm số đó nhận giá trị âm. 

Phương pháp giải:

B1: Tìm các khoảng chứa các điểm thuộc đồ thị hàm số $y=cosx$ và nằm phía dưới trục hoành trong khoảng $[0;2\pi ]$

B2: Dựa vào chu kì tuần hoàn của đồ thị hàm số $y=cosx$ suy ra tất cả các khoảng chứa các điểm thuộc đồ thị hàm số và nằm phía dưới trục hoành. 

Lời giải: 

Bài 8 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:
a. 
b. 
Trả lời: 
a.
Phương pháp giải:
Sử dụng tập giá trị của hàm sin và cos: $-1\le \sin x\le 1;-1\le \cos x\le 1$.

Lời giải: 

$y=2\sqrt{\cos x}+1$

Điều kiện: $\cos x\ge 0$.

Vì $-1\le \cos x\le 1$ nên kết hợp điều kiện ta có $0\le \cos x\le 1$$\Rightarrow 0\le \sqrt{\cos x}\le 1$

$\Rightarrow 0\le 2\sqrt{\cos x}\le 2$ $\Rightarrow 0+1\le 2\sqrt{\cos x}+1\le 2+1$ $\Rightarrow 1\le y\le 3$.

Do dó $maxy=3$ khi $\cos x=1\iff x=k2\pi$.

b.

Phương pháp giải:
Sử dụng tập giá trị của hàm sin và cos: $-1\le \sin x\le 1;-1\le \cos x\le 1$.

Lời giải: 

$y=3-2\sin x$

ta có: $-1\le \sin x\le 1$ $\Rightarrow 2\ge -2\sin x\ge -2$ $\Rightarrow 3+2\ge 3-2\sin x\ge 3-2$ $\Rightarrow 5\ge y\ge 1$.

Vậy $maxy=5$ khi $\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$.

Lý thuyết Bài 1. Hàm số lượng giác

 1. Hàm số $y=\sin x$

– Có TXĐ $D=R$, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì $2\pi$, nhận mọi giá trị thuộc đoạn $\left[-1;1\right]$. 

– Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right)$

– Có đồ thị là đường hình sin đi qua điểm $O\left(0;0\right)$

2. Hàm số$y=\cos x$

– Có TXĐ $D=R$, là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì $2\pi$, nhận mọi giá trị thuộc đoạn $\left[-1;1\right]$.

– Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\pi +k2\pi ;k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(k2\pi ;\pi +k2\pi \right)$

– Có đồ thị là đường hình sin đi qua điểm $\left(0;1\right)$

3. Hàm số $y=\tan x$

– Có TXĐ $D=R\mathrm{\setminus }\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\right\}$, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì $\pi$, nhận mọi giá trị thuộc $R$.

– Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$.

4. Hàm số $y=\cot x$

– Có TXĐ $D=R\mathrm{\setminus }\left\{k\pi ,k\in Z\right\}$, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì $\pi$, nhận mọi giá trị thuộc $R$.

– Nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(k\pi ;\pi +k\pi \right)$.