Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 5: Phương trình lượng giác
Giải Toán 11 trang 34 Tập 1
Hoạt động khởi động trang 34 Toán 11 Tập 1: Trong hình bên, khi bàn đạp xe đạp quay, bóng M của đầu trục quay dao động trên mặt đất quanh điểm O theo phương trình s = 17cos5πt với s (cm) là tọa độ của điểm M trên trục Ox và t (giây) là thời gian bàn đạp quay. Làm cách nào để xác định được các thời điểm mà tại đó độ dài bóng OM bằng 10cm?
Lời giải:
Để xác định được các thời điểm mà tại đó độ dài bóng OM bằng 10cm thì s = 10
⇔ 17cos5πt = 10
Ta cần giải phương trình cos5πt =
Bài học này sẽ giúp chúng ta giải quyết phương trình trên.
Hoạt động khám phá 1 trang 34 Toán 11 Tập 1: Xác định và so sánh tập nghiệm của các phương trình sau:
a) x – 1 = 0;
b) x2 – 1 = 0;
c) .
Lời giải:
a) x – 1 = 0 ⇔ x = 1.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S1 = {1}.
b) x2 – 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = – 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S2 = { – 1; 1}.
c)
Thay x = 1 và x = – 1 vào phương trình ban đầu ta thấy x = 1 là thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S3 = {1}.
Ta có nhận xét:
S1 = S3 ⊂ S2.
Giải Toán 11 trang 35 Tập 1
Thực hành 1 trang 35 Toán 11 Tập 1: Chỉ ra lỗi sai trong phép biến đổi phương trình dưới đây
Lời giải:
Lỗi sai: Phương trình x2 = 2x và phương trình không tương đương vì:
Phương trình x2 = 2x có tập nghiệm S1 = {0; 2}.
Phương trình có tập nghiệm S2 = {2}.
Hoạt động khám phá 2 trang 35 Toán 11 Tập 1: a) Có giá trị nào của x để sinx = 1,5 không?
b) Trong Hình 1, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có sinx = 0,5? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.
Lời giải:
a) Vì – 1 ≤ x ≤ 1 mà 1,5 > 1 nên không tồn tại giá trị của x để sinx = 1,5.
b) Trên Hình 1, những điểm trên đường tròn biểu diễn góc lượng giác x có sinx = 0,5 là điểm M và N.
Điểm M biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là .
Điểm N biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là .
Giải Toán 11 trang 36 Tập 1
Thực hành 2 trang 36 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:
a) sinx = ;
b) sin(x + 30°) = sin(x + 60°).
Lời giải:
a) sinx =
Vì sin = nên phương trình sinx = = sin có các nghiệm là:
và , k ∈ ℤ.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = .
b) sin(x + 30°) = sin(x + 60°)
⇔ x + 30° = x + 60° + k360° hoặc x + 30° = 360° – x – 60° + k360° (k ∈ ℤ)
⇔ 30° = 60° + k360° (vô lí) hoặc x = 150° + k180° (k ∈ ℤ).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {150° + k180°, k ∈ ℤ}.
Hoạt động khám phá 3 trang 36 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 3, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn diễn góc lượng giác x có cosx = ? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.
Lời giải:
Trên đường tròn lượng giác điểm M và N biểu diễn diễn góc lượng giác x có cosx = .
Điểm M là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là: .
Điểm N là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là: .
Giải Toán 11 trang 37 Tập 1
Thực hành 3 trang 37 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau
a) cosx = – 3;
b) cosx = cos15°;
c) .
Lời giải:
a) Vì – 3 < – 1 nên phương trình cosx = – 3 vô nghiệm.
b) cosx = cos15°
⇔ x = 15° + k360° hoặc x = – 15° + k360° .
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {15° + k360°; – 15° + k360°, k ∈ ℤ}.
c)
hoặc
hoặc
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
Hoạt động khám phá 4 trang 37 Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho T là điểm trên trục tang có tọa độ là (1; ) (Hình 5). Những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có tanx = ? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.
Lời giải:
Ta thấy M và N là hai điểm biểu diễn các góc lượng giác thỏa mãn tanx = .
Điểm M là điểm biểu diễn các góc lượng giác có số đo .
Điểm N là điểm biểu diễn các góc lượng giác có số đo .
Giải Toán 11 trang 38 Tập 1
Thực hành 4 trang 38 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau
a) tanx = 0;
b) tan(30° – 3x) = tan75°.
Lời giải:
a) Điều kiện xác định là: .
Vì tan0 = 0 nên phương trình tanx = 0 có các nghiệm x = kπ, k ∈ ℤ.
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {kπ, k ∈ ℤ}.
b) tan(30° – 3x) = tan75°
⇔ tan(3x – 30°) = tan(– 75°)
⇔ 3x – 30° = – 75° + k360°, k ∈ ℤ
⇔ 3x = – 45° + k360°, k ∈ ℤ
⇔ x = – 15° + k120°, k ∈ ℤ
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = { – 15° + k120°, k ∈ ℤ}.
Hoạt động khám phá 5 trang 38 Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho C là điểm trên trục côtang có tọa độ là (– 1; 1) (Hình 7). Những điểm nào biểu diễn góc lượng giác x có cotx = – 1? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.
Lời giải:
Trên đường tròn lượng giác hai điểm M và N biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc x thỏa mãn cotx = – 1.
Điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc .
Điểm N biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc .
Giải Toán 11 trang 39 Tập 1
Thực hành 5 trang 39 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:
a) cotx = 1;
b) cot(3x + 30°) = cot75°.
Lời giải:
a) Vì cot= 1 nên phương trình cotx = 1 có các nghiệm là .
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = .
b) cot(3x + 30°) = cot75°
⇔ 3x + 30° = 75° + k180°, k ∈ ℤ
⇔ 3x = 45° + k180°, k ∈ ℤ
⇔ x = 15° + k60°, k ∈ ℤ
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {15° + k60°, k ∈ ℤ}.
Giải Toán 11 trang 40 Tập 1
Thực hành 6 trang 40 Toán 11 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay để giải các phương trình sau:
a) cosx = 0,4;
b) tanx = .
Lời giải:
a) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: cos1,16 ≈ 0,4 nên cosx = cos1,16 do đó các nghiệm của phương trình là x = 1,16 + k2π và x = – 1,16 + k2π với k ∈ ℤ.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1,16 + k2π; – 1,16 + k2π, k ∈ ℤ}.
b) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: tan = nên tanx = tan do đó các nghiệm của phương trình là x = + k với k ∈ ℤ.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
Vận dụng trang 40 Toán 11 Tập 1: Quay lại bài toán khởi động, phương trình chuyển động của bóng đầu trục bàn đạp là x = 17cos5πt (cm) với t được đo bằng giây. Xác định các thời điểm t mà tại đó độ dài bóng |x| bằng 10 cm. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Lời giải:
Xét phương trình |17cos5πt| = 10
Độ dài bóng |x| bằng 10 cm tại các thời điểm t = 0,06 +k, t = 0,14 + k (kZ).
Bài tập
Bài 1 trang 40 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sin2x = ;
b) sin = sin;
c) sin4x – cos = 0.
Lời giải:
a) Vì sin = nên ta có phương trình sin2x = sin
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = .
b) sin= sin
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = .
c) sin4x – cos = 0
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = .
Bài 2 trang 40 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) cos;
b) cos4x = cos;
c) cos2x = 1.
Lời giải:
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = .
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = .
c) cos2x = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {k, kZ}.
Giải Toán 11 trang 41 Tập 1
Bài 3 trang 41 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) tanx = tan55°;
b) tan=0.
Lời giải:
a) tanx = tan55° (điều kiện xác định x ≠ 90° + k180°).
⇔ x = 55° + k180°, k ∈ ℤ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình S = {55° + k180°, k ∈ ℤ}.
b) tan=0 (điều kiện xác định )
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
Bài 4 trang 41 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) cot= -1;
b) cot3x = .
Lời giải:
a) cot = -1 (điểu kiện xác định x # + k2, kZ)
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
b) cot3x = (điểu kiện xác định x # k, kZ)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
Bài 5 trang 41 Toán 11 Tập 1: Tại các giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = cosx và y = sinx giao nhau?
Lời giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: sinx = cosx
⇔ cosx = cos
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = .
Bài 6 trang 41 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 9, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật A gắn ở đầu của lò xo dao động quanh O. Tọa độ s (cm) của A trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức s = 10sin. Vào các thời điểm nào thì s = -5 cm?
(Theo https://www.britannica.com/science/simple-harmonic-motion )
Lời giải:
Xét phương trình: 10sin = -5
Vậy vào các thời điểm và thì s = -5 cm.
Bài 7 trang 41 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 10, ngọn đèn hải đăng H cách bờ biển yy’ một khoảng HO = 1km. Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về hai phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển động dọc theo bờ.
(Theo https://www.mnhs.org/splitrock/learn/technology)
a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng HO. Viết hàm số biểu thị tọa độ yM của điểm M trên trục Oy theo thời gian t.
b) Ngôi nhà N nằm trên bờ biển với tọa độ yS = – 1 (km). Xác định các thời điểm t mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.
Lời giải:
a) Sau t giây điểm M quét được một góc lượng giác có số đo là: rad.
Xét tam giác HOM vuông tại O có:
MO = tanα.1 = tan.
Vậy tọa độ yM = tan.
b) Xét tan = -1
tan = tan
= + k, kZ
t = -2,5 + 10k, kZ
Vì t ≥ 0 nên tại các thời điểm t = -2,5 + 10k, kZ, k1 thì đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.
Video bài giảng Toán 11 Bài 5: Phương trình lượng giác – Chân trời sáng tạo
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị
Bài 5: Phương trình lượng giác
Bài tập cuối chương 1
Bài 1: Dãy số
Bài 2: Cấp số cộng