Giải SGK Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Giải Toán 11 trang 5

Câu hỏi khởi động trang 5 Toán 11 Tập 1: Trên mặt chiếc đồng hồ, kim giây đang ở vị trí ban đầu chỉ vào số 3 (Hình 1). Kim giây quay ba vòng và một phần tư 1 vòng (tức là $3\frac{1}{4}$vòng) đến vị trí cuối chỉ vào số 6. Khi quay như thế, kim giây đã quét một góc với tia đầu chỉ vào số 3, tia cuối chỉ vào số 6.

Góc đó gợi nên khái niệm gì trong toán học? Những góc như thế có tính chất gì?

Lời giải:

Kim giây đã quét một góc với tia đầu Ou chỉ vào số 3, tia cuối Ov chỉ vào số 6 (hình vẽ trên), góc này là một góc lượng giác.

Những góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì có số đo hơn kém nhau k360° (hay k2π).

I. Góc lượng giác

Hoạt động 1 trang 5 Toán 11 Tập 1: Nêu định nghĩa góc trong hình học phẳng

Lời giải:

Góc (còn được gọi là góc hình học) là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc (hình học) là độ. Số đo của một góc (hình học) không vượt quá 180°.

Chẳng hạn: Góc xOy gồm hai tia Ox và Oy chung gốc O có số đo là 60° (hình vẽ).

Giải Toán 11 trang 6

Luyện tập 1 trang 6 Toán 11 Tập 1: Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau.

Lời giải:

Ta có: $18°=18.\frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{10}$; $72°=72.\frac{\pi }{180}=\frac{2\pi }{5}$;

$\frac{2\pi }{9}={\left(\frac{2\pi }{9}.\frac{180}{\pi }\right)}^o=40°$ ; $\frac{5\pi }{6}={\left(\frac{5\pi }{6}.\frac{180}{\pi }\right)}^o=150°$

Ta có bảng chuyển đổi như sau:

Hoạt động 2 trang 6 Toán 11 Tập 1: So sánh chiều quay của kim đồng hồ với:

a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a.

b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.

Lời giải:

a) Chiều quay của kim đồng hồ ngược chiều với chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a.

b) Chiều quay của kim đồng hồ cùng chiều với chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.

Giải Toán 11 trang 5

Luyện tập 2 trang 7 Toán 11 Tập 1: Đọc tên góc lượng giác,tia đầu và tia cuối của góc lượng giác đó trong Hình 4b.

Lời giải:

Trong Hình 4b, góc lượng giác là (Oz, Ot) với tia đầu Oz và tia cuối Ot.

Hoạt động 3 trang 7 Toán 11 Tập 1: a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng (tức là $3\frac{1}{4}$ vòng). Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

c) Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

Lời giải:

a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng thì tia đó quét nên một góc 360°.

b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng (tức là $3\frac{1}{4}$ vòng) thì tia đó quét nên một góc là $3\frac{1}{4}.360°=1170°$ .

c) Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm đúng một vòng thì tia đó quét nên một góc là ‒360°.

Giải Toán 11 trang 8

Luyện tập 3 trang 8 Toán 11 Tập 1: Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo $-\frac{5\pi }{4}$

Lời giải:

Ta có: $-\frac{5\pi }{4}=-\pi +\left(-\frac{\pi }{4}\right)$ .

Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo$-\frac{5\pi }{4}$ được biểu diễn ở hình vẽ dưới đây:

Hoạt động 4 trang 8 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 7, hai góc lượng giác (Ou, Ov), (O’u’, O’v’) có tia đầu trùng nhau Ou ≡ O’u’, tia cuối trùng nhau Ov ≡ O’v’. Nêu dự đoán về mối liên hệ giữa số đo của hai góc lượng giác trên.

Lời giải:

Quan sát Hình 7 ta thấy:

• Tia Om quay (chẳng hạn theo chiều dương) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov rồi quay tiếp một số vòng đến trùng với tia cuối Ov;

• Tia Om quay (chẳng hạn theo chiều dương) xuất phát từ tia O’u’ ≡ Ou đến trùng với tia O’v’ ≡ Ov rồi quay tiếp một số vòng đến trùng với tia cuối O’v’ ≡ Ov.

Như vậy, sự khác biệt giữa hai góc lượng giác (Ou, Ov), (O’u’, O’v’) chính là số vòng quay quanh điểm O.

Vì vậy, sự khác biệt giữa số đo của hai góc lượng giác đó chính là bội nguyên của 360° khi hai góc đó tính theo đơn vị độ (hay bội nguyên của 2π rad khi hai góc đó tính theo đơn vị radian).

Giải Toán 11 trang 9

Luyện tập 4 trang 9 Toán 11 Tập 1: Viết công thức biểu thị số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng $-\frac{4\pi }{3}$.

Lời giải:

Gọi α là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng $-\frac{4\pi }{3}$.

Khi đó, ta có: α = $-\frac{4\pi }{3}+k2\pi$, với k là số nguyên.

Hoạt động 5 trang 9 Toán 11 Tập 1: Cho góc (hình học) xOz, tia Oy nằm trong góc xOz (Hình 8). Nêu mối liên hệ giữa số đo của góc xOz và tổng số đo của hai góc xOy và yOz.

Lời giải:

Do tia Oy nằm trong góc xOz nên $\widehat{xOz}=\widehat{xOy}+\widehat{yOz}$ .

Luyện tập 5 trang 9 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là $-\frac{11\pi }{4}$, góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là $\frac{3\pi }{4}.$Tìm số đo của góc lượng giác (Ov, Ow).

Lời giải:

Theo hệ thức Chasles, ta có:

(Ov, Ow) = (Ou, Ow) – (Ou, Ov) + k2π

$=\frac{3\pi }{4}-\left(-\frac{11\pi }{4}\right)+k2\pi =\frac{7\pi }{2}+k2\pi$ (k ∈ ℤ).

II. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Giải Toán 11 trang 10

Hoạt động 6 trang 10 Toán 11 Tập 1: a) Trong mặt phẳng toạ độ (định hướng) Oxy, hãy vẽ đường tròn tâm O với bán kính bằng 1.

b) Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1.

Lời giải:

a) Đường tròn tâm O có bán kính bằng 1 (hình vẽ):

b) Chiều dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ; chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.

Luyện tập 6 trang 10 Toán 11 Tập 1: Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON) = $-\frac{\pi }{3}$.

Lời giải:

Ta có (OA, ON) = $-\frac{\pi }{3}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều âm (chiều quay của kim đồng hồ) một góc $\frac{\pi }{3}$ .

Điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON) = $-\frac{\pi }{3}$ được biểu diễn như hình dưới đây:

Hoạt động 7 trang 10 Toán 11 Tập 1: a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = 60°.

b) So sánh: hoành độ của điểm M với cos60°; tung độ của điểm M với sin60°.

Lời giải:

a) Ta có (OA, OM) = 60° là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc 60°.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = 60° được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

b) Ta có $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ và cos60⁰=$\frac{1}{2}$;sin 60⁰=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Do đó x_M = cos60° và y_M = sin60°.

Giải Toán 11 trang 11

Luyện tập 7 trang 11 Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lượng giác của góc lượng giác $\beta =-\frac{\pi }{4}$ .

Lời giải:

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = β = $-\frac{\pi }{4}=-\text{45}°$ (hình vẽ).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó, ta có: $\widehat{AOM}=\text{45}°$ , suy ra $\widehat{HOM}=\widehat{AOM}=\text{45}°$ .

Theo hệ thức trong tam giác vuông HOM, ta có:

$OH=OM.cos\widehat{HOM}=1.c\text{os45}°=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$OK=MH=OM.\sin \widehat{HOM}=1.\sin \text{45}°=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Do đó $M\left(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Vậy $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2};cos\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2};$ $\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1;\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1$ .

Hoạt động 8 trang 11 Toán 11 Tập 1: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác α = ‒30°.

Lời giải:

Giả sử M là một điểm trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α = ‒30°.

Điểm M được biểu diễn như hình vẽ sau:

Khi đó ta có x_M > 0 và y_M < 0

Suy ra cosα > 0 và sinα < 0

Do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }<0$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }<0$ .

Luyện tập 8 trang 11 Toán 11 Tập 1: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác$\alpha =\frac{5\pi }{6}$.

Lời giải:

Giả sử điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho$\alpha =\frac{5\pi }{6}$.

Do $\frac{\pi }{2}<\frac{5\pi }{6}<\pi$ nên điểm M nằm trong góc phần tư thứ II

Do đó $\sin \frac{5\pi }{6}>0;cos\frac{5\pi }{6}<0;\tan \frac{5\pi }{6}<0;\cot \frac{5\pi }{6}<0$ .

Hoạt động 9 trang 11 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác α. So sánh:

a) cos²α + sin²α và 1;

b) tanα . cotα và 1 (với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0);

c) $1+{\tan }^2\alpha$ và $\frac{1}{co{s}^2\alpha }$ với cosα ≠ 0;

d) $1+{\cot }^2\alpha$ và với $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$sinα ≠ 0.

Lời giải:

a)

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α (hình vẽ).

Gọi H, K lầm lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó ta có:$\widehat{AOM}=\alpha$.

Xét DOMH vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

OM² = OH² + MH²

Suy ra $\widehat{AOM}=\alpha$ hay$1={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha$.

Vậy cos²α + sin²α= 1.

b) Ta có $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ ‘$\cot \alpha =\frac{cos\alpha }{\sin \alpha }$, (với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0)

Suy ra $\tan \alpha .\cot \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=1$

c) Với cosα ≠ 0, ta có:

$1+{\tan }^2\alpha =1+{\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (do cos²α + sin²α= 1).

d) Với sinα ≠ 0, ta có:

$1+{\cot }^2\alpha =1+{\left(\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\right)}^2=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ (do cos²α + sin²α= 1).

Giải Toán 11 trang 12

Luyện tập 9 trang 12 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác α sao cho $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ và $\sin \alpha =-\frac{4}{5}$. Tìm cosα.

Lời giải:

Do $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên cosα < 0.

Áp dụng công thức cos²α + sin²α= 1, ta có: $co{s}^2\alpha +{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2=1$

Suy ra $co{s}^2\alpha =1-{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$

Do đó $cos\alpha =-\frac{3}{5}$(do cosα < 0).

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$ và $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$.

Hoạt động 10 trang 12 Toán 11 Tập 1: Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác α = 45°.

Lời giải:

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α = 45° (hình vẽ).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó, ta có: $\widehat{AOM}=\text{45}°$.

Theo hệ thức trong tam giác vuông HOM, ta có:

$x_M=OH=OM.cos\widehat{HOM}=1.c\text{os45}°=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$y_M=OK=MH=OM.\sin \widehat{HOM}=1.\sin \text{45}°=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Do đó $M\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Vậy $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2};cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2};$$\tan 45°=1;\cot 45°=1$.

Luyện tập 10 trang 12 Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức: $Q={\tan }^2\frac{\pi }{3}+{\sin }^2\frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{4}+cos\frac{\pi }{2}$.

Lời giải:

Ta có:$Q={\tan }^2\frac{\pi }{3}+{\sin }^2\frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{4}+cos\frac{\pi }{2}$

$={\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+1+0=3+\frac{1}{2}+1=\frac{9}{2}$.

Giải Toán 11 trang 13

Hoạt động 11 trang 13 Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác (OA, OM) = α, góc lượng giác (OA, OM’) = – α (Hình 13).

a) Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.

b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác α và – α.

Lời giải:

a) Nhận xét: x_M = x_M’ và y_M = ‒y_M’.

b) Do x_M = x_M’ nên cosα = cos(‒α)

Do y_M = ‒y_M’ nên sinα = ‒sin(‒α).

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\sin \left(-\alpha \right)}{\cos \left(-\alpha \right)}=-\tan \left(-\alpha \right)$; $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\tan \left(-\alpha \right)}=-\cot \left(-\alpha \right)$.

Giải Toán 11 trang 14

Luyện tập 11 trang 14 Toán 11 Tập 1: Tính:

a)$co{s}^2\frac{\pi }{8}+co{s}^2\frac{3\pi }{8}$ ;

b) tan1° . tan2° . tan45° . tan88° . tan89°.

Lời giải:

Ta có:

a) $co{s}^2\frac{\pi }{8}+co{s}^2\frac{3\pi }{8}=co{s}^2\frac{\pi }{8}+{\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-\frac{3\pi }{8}\right)$

$=co{s}^2\frac{\pi }{8}+{\sin }^2\frac{\pi }{8}=1$ .

b) tan1° . tan2° . tan45° . tan88° . tan89°

= (tan1° . tan89°) . (tan2° . tan88°) . tan45°

= (tan1° . cot1°) . (tan2° . cot2°) . tan45°

= 1 . 1 . 1 = 1.

Luyện tập 12 trang 14 Toán 11 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay để tính:

a) tan(‒75°);

b) $\cot \left(-\frac{\pi }{5}\right)$.

Lời giải:

a)

b) Ta có: $\cot \left(-\frac{\pi }{5}\right)=\frac{1}{\tan \left(-\frac{\pi }{5}\right)}$

Vậy$\cot \left(-\frac{\pi }{5}\right)=-91,18540984$.

Bài tập

Giải Toán 11 trang 15

Bài 1 trang 15 Toán 11 Tập 1: Xác định vị trí các điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác (OA, OM), (OA, ON), (OA, OP) lần lượt bằng$\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};-\frac{\pi }{6}$ .

Lời giải:

• Ta có $\left(OA,OM\right)=\alpha =\frac{\pi }{2}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc $\frac{\pi }{2}$, khi đó tia OM trùng với tia OB.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\left(OA,OM\right)=\alpha =\frac{\pi }{2}$ được biểu diễn trùng với điểm B.

• Ta có (OA,ON)=$\beta =\frac{7\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{6}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều dương một góc $\frac{7\pi }{6}$.

• Ta có (OA,OP) = $\gamma =-\frac{\pi }{6}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OP và quay theo chiều âm một góc $\frac{\pi }{6}$.

Ba điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác được biểu diễn nhu hình vẽ dưới đây:

Bài 2 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: 225°; ‒225°; ‒1 035°; $\frac{5\pi }{3};\frac{19\pi }{2};-\frac{159\pi }{4}$.

Lời giải:

‒ Các giá trị lượng giác của góc 225°:

Ta có: cos225° = cos(45° + 180°)= ‒cos45° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

sin225° = sin(45° + 180°) = ‒sin45° =$=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

tan225° = tan(45° + 180°) = tan45° = 1;

cot225° = cot(45° + 180°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒225°:

Ta có: cos(‒225°) = cos225° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

sin(‒225°) = ‒sin225° = $-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

tan(‒225°) = ‒tan225° = ‒1;

cot(‒225°) = ‒cot225° = ‒1;

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒1 035°:

Ta có: cos(‒1 035°) = cos(‒3 . 360° + 45°) = cos45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

sin(‒1 035°) = sin(‒3 . 360° + 45°) = sin45° =$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

tan(‒1 035°) = tan(‒3 . 360° + 45°) = tan45° = 1;

cot(‒1 035°) = cot(‒3 . 360° + 45°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc $\frac{5\pi }{3}$:

Ta có: $cos\frac{5\pi }{3}=cos\left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=-cos\frac{2\pi }{3}=-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$;

$\sin \frac{5\pi }{3}=\sin \left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=-\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

$\tan \frac{5\pi }{3}=\tan \left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=\tan \frac{2\pi }{3}=-\sqrt{3}$ ;

$\cot \frac{5\pi }{3}=\cot \left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=\cot \frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

‒ Các giá trị lượng giác của góc $\frac{19\pi }{2}$ :

Ta có: $cos\frac{19\pi }{2}=cos\left(9\pi +\frac{\pi }{2}\right)=c\text{os}\left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-cos\frac{\pi }{2}=0$ ;

$\sin \frac{19\pi }{2}=\sin \left(9\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \frac{\pi }{2}=-1$ ;

Do $cos\frac{19\pi }{2}=0$ nên $\tan \frac{19\pi }{2}$ không xác định;

$\cot \frac{19\pi }{2}=\cot \left(9\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\cot \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\cot \frac{\pi }{2}=0$ .

‒ Các giá trị lượng giác của góc $-\frac{159\pi }{4}$ :

Ta có: $cos\left(-\frac{159\pi }{4}\right)=cos\left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=c\text{os}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\sin \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\sin \left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\text{sin}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$\tan \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\tan \left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\tan \frac{\pi }{4}=1$;

$\cot \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\cot \left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\cot \frac{\pi }{4}=1$ .

Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

a) $\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$;

b) kπ (k ∈ ℤ);

c) $\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$;

d) $\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Lời giải:

a) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$:

•$cos\left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ ;

• $\sin \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

• $\tan \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$;

• $\cot \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\cot \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác kπ (k ∈ ℤ):

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

• cos(kπ) = cos(2nπ) = cos0 = 1;

• sin(kπ) = sin(2nπ) = sin0 = 0;

• tan(kπ) = tan(2nπ) = tan0 = 0;

• Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

• cos(kπ) = cos(2nπ + π) = cosπ = ‒1.

• sin(kπ) = sin(2nπ + π) = sinπ = 0.

• tan(kπ) = tan(2nπ + π) = tanπ = 0.

• Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

Vậy với k ∈ ℤ thì sin(kπ) = 0; tan(kπ) = 0; cot(kπ) không xác định;

cos(kπ) = 1 khi k là số nguyên chẵn và cos(kπ) = ‒1 khi k là số nguyên lẻ.

c) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$:

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

• $cos\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=cos\frac{\pi }{2}=0$;

•$\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=\sin \frac{\pi }{2}=1$;

• Do $cos\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0$ nên $\tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ không xác định;

• $\cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=\cot \frac{\pi }{2}=0$.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

•$cos\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{2}+2n\pi +\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=-cos\frac{\pi }{2}=0$ ;

• $\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi +\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=-\sin \frac{\pi }{2}=-1$;

• Do $cos\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0$ nên $\tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ không xác định;

•$\cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi +\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=\cot \frac{\pi }{2}=0$.

Vậy với k ∈ ℤ thì $cos\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0$;$\cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0;$

$\tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ không xác định;

$\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=1$ khi k là số chẵn và $\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=-1$ khi k là số lẻ.

d) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ :

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

•$cos\left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=cos\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

• $\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

• $\tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\tan \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\tan \frac{\pi }{4}=1$;

• $\cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\cot \frac{\pi }{4}=1$.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

• $cos\left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=-cos\frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

• $\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

• $\tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\tan \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\tan \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=\tan \frac{\pi }{4}=1$;

• $\cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=\cot \frac{\pi }{4}=1$.

Vậy với k ∈ ℤ thì:

$cos\left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên chẵn, $cos\left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên lẻ;

$\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên chẵn, $\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên lẻ;

$\tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1$; $\cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1$.

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

b) $cos\alpha =-\frac{2}{3}$ với $-\pi <\alpha <0$ ;

c) tanα = 3 với ‒π < α < 0;

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Lời giải:

a) Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên cosα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

${\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2+co{s}^2\alpha =1$

$\Rightarrow co{s}^2\alpha =1-{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2=1-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$

$\Rightarrow cos\alpha =-\frac{1}{4}$ (do cosα < 0).

Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}}=-\sqrt{15}$ ;

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\sqrt{15}}=-\frac{\sqrt{15}}{15}$ .

Vậy $cos\alpha =-\frac{1}{4}$ ; $\tan \alpha =-\sqrt{15}$ và $\cot \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{15}$.

b) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

${\sin }^2\alpha +{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.

$\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ (do sinα < 0).

Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$;

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{15}}{15}$.

Vậy $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ ; $\tan \alpha =\frac{\sqrt{15}}{2}$ và $\cot \alpha =\frac{2\sqrt{15}}{15}$.

c) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0 và cosα > 0.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$.

Áp dụng công thức $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$, ta có

$1+3^2=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ hay$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=10$

$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$ (do cosα > 0).

Áp dụng công thức $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ , ta có:

$1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$hay $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{10}{9}$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{9}{10}\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$ (do sinα < 0).

Vậy $\sin \alpha -\frac{3\sqrt{10}}{10}$ ; $\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$; $\cot \alpha =\frac{1}{3}$.

Bài 5 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính:

a) A = sin²5° + sin²10° + sin²15° + … + sin²85° (17 số hạng).

b) B = cos5° + cos10° + cos15° + … + cos175° (35 số hạng).

Lời giải:

a) Ta có:

A = sin²5° + sin²10° + sin²15° + … + sin²80°+ sin²85° (17 số hạng).

= (sin²5° + sin²85°) + (sin²10° + sin²80°) + … + (sin²40° + sin²50°) + sin²45°

= (sin²5° + cos²5°) + (sin²10° + cos²10°) + … + (sin²40° + cos²40°) + sin²45°

$=\underset{8so1}{\underbrace{1+1+\mathrm{\dots }+1}}+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$

$=8+\frac{1}{2}=\frac{17}{2}$.

b) Ta có:

B = cos5° + cos10° + cos15° + … + cos170° + cos175° (35 số hạng).

= (cos5° + cos175°) + (cos10° + cos170°) + … + (cos85° + cos95°) + cos90°

= (cos5° ‒ cos5°) + (cos10° ‒ cos10°) + … + (cos85° ‒ cos85°) + cos90°

$=\underset{17so0}{\underbrace{0+0+\mathrm{\dots }+0}}+0=0$ .

Bài 6 trang 15 Toán 11 Tập 1: Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2 h.

a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau: 1 h; 3 h; 5 h.

b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Giả sử vệ tinh được định tại vị trí A, chuyển động quanh Trái Đất được mô tả như hình vẽ dưới đây:

a) Vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo tức là vệ tinh chuyển động được quãng đường bằng chu vi của quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km.

Do đó quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 2 h là:

2π . 9 000 = 18π (km).

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 1 h là: $\frac{18\pi }{2}.1=9\pi \left(km\right)$.

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 3 h là: $\frac{18\pi }{2}.3=27\pi \left(km\right)$.

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 5 h là: $\frac{18\pi }{2}.5=45\pi \left(km\right)$.

b) Ta thấy vệ tinh chuyển động được quãng đường là 9π (km) trong 1h.

Vậy vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km trong thời gian là: $\frac{200000}{9\pi }\approx 7074$(giờ).

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1