Chuyên đề Quy tắc đếm
Tài liệu gồm các phần sau:
Phần 1: Quy tắc nhân: tóm tắt lý thuyết và 9 ví dụ
Phần 2: Quy tắc cộng: tóm tắt lý thuyết và 5 ví dụ
Phần 3: Chỉnh hợp: tóm tắt lý thuyết và 21 ví dụ
1. Định nghĩa và công thức
2. Phương pháp chung để giải bài toán về chỉnh hợp
3. Các dạng toán
– Dạng 1: Tập A không chứa số 0
– Dạng 2: Tập A có chứa số 0
Một số bài toán về quy tắc đếm
TỔ HỢP – XÁC SUẤT. CÁC PHÉP ĐẾM
I. Quy tắc nhân
Một công việc H được thực hiện qua K giai đoạn H1, H2, H3 ….Hk ,trong đó:
Giai đoạn H1 có n1 cách thực hiện
Giai đoạn H2 có n2 cách thực hiện
Giai đoạn H3 có n3 cách thực hiện
………………………………….
Giai đoạn Hk có nk cách thực hiện
Khi đó để hoàn thành công việc H phải thực hiện đồng thời K giai đoạn thì suy ra có (n1.n2.n3….nk ) cách để hoàn thành công việc H
Ví dụ 1: Đề thi cuối khó môn toán khối 12 ở một trường trung học gồm hai loại đề tự luận và trắc nghiệm. Một học sinh dự thi phải thực hiện hai đề thi gồm 1 tự luận và một trắc nghiệm, trong đó tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề. Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu cách chọn đề thi?
Giải:
Số cách chọn 1 đề tự luận là 12 cách
Số cách chọn 1 đề trắc nghiệm là 15 cách
Vì một học sinh phải làm đồng thời 2 loại đề nên có tất cả 12.15 = 180 cách chọn đề thi.
Ví dụ 2: Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9}
a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau.
Giải:
a. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là: \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4} \]
Để có số n ta phải chọn đồng thời a1 ,a2,a3,a4 trong đó:
a1 có 6 cách chọn
a2 có 5 cách chọn
a3 có 4 cách chọn
a4 có 3 cách chọn
Vậy có 6.5.4.3 = 360 số n cần tìm
b. Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \] trong đó:
a5 chỉ có 1 cách chọn (bằng 2)
a1 có 5 cách chọn
a2 có 4 cách chọn
a3 có 3 cách chọn
a4 có 2 cách chọn
Vậy số n cần tìm là:1.2.3.4.5 = 120 số
Ví dụ 3: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập A
Giải:
Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \] trong đó:
a1 có 9 cách chọn (vì a1 ≠ 0 )
a2 có 9 cách chọn
a3 có 8 cách chọn
a4 có 7 cách chọn
a5 có 6 cách chọn
Vậy có tất cả 9.9.8.7.6 = 27216 cách
Ví dụ 4: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}
a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số này lẻ,chia hết cho 5
b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng cuối chia hết cho 4
Giải
Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \] trong đó: n là số lẻ, chia hết cho 5 nên a5 = 5
a1 có 5 cách chọn (vì a1 ≠ 0, ≠ 5 )
a2 có 5 cách chọn
a3 có 4 cách chọn
a4 có 3 cách chọn
Vậy có tất cả 5.5.4.3 = 300 số
b. Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}{a_6}} \] trong đó:
Vì chữ số cuối cùng chia hết cho 4 nên a6 = 8 hoặc a6 = 0 ta chia làm hai trường hợp
Trường hợp 1 a6 =8
a1 có 5 cách chọn (vì a1 ≠ 0, ≠ 8 )
a2 có 5 cách chọn
a3 có 4 cách chọn
a4 có 3 cách chọn
a5 có 2 cách chọn
Vậy có 5.5.4.3.2 = 600 số
Trường hợp 2 a6 = 0
a1 có 6 cách chọn
a2 có 5 cách chọn
a3 có 4 cách chọn
a4 có 3 cách chọn
a5 có 2 cách chọn
Vậy có 6.5.4.3.2 = 720 số
Vậy có tất cả 600 + 720 = 1320 số
Ví dụ 5: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,8,9}
a.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và > 50.000
b. Từ tập A có thể lậ được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng ở vị trí thứ 3 chia hết cho 5 và chữ số cuối lẻ.
Giải
Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \] vì n > 50.000 nên a1 có thể chọn trong các chữ số {5,6,8,9}
a1 có 4 cách chọn
a2 có 7 cách chọn
a3 có 6 cách chọn
a4 có 5 cách chọn
a5 có 4 cách chọn
Vậy có 4.7.6.5.4 = 3360 số cần tìm
b. Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}{a_6}} \] theo đề ta có:
a3 chia hết cho 5 nên a3 = 5, chữ số cần tìm là số lẻ
\[ \Rightarrow \]a6 = {1,3,9} có 3 cách chọn
a1 có 6 cách chọn
a2 có 5 cách chọn
a4 có 4 cách chọn
a5 có 3 cách chọn
Vậy có tất cả 3.6.5.4.3 = 1080 số cần tìm
Ví dụ 7: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ sô đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 luôn có mặt
Giải: Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \] để có được số n ta làm hai bước sau :
Chọn vị trí cho chữ số 2: có 5 vị trí 2.
Chọn 4 chữ số còn lại. Do vai trò 5 số này giống nhau nên ta giả sử a1 =2 ta có:
a1 có 1 cách chọn
a2 có 8 cách chọn
a3 có 7 cách chọn
a4 có 6 cách chọn
a5 có 5 cách chọn
Vậy có tất cả 5(8.7.6.5) = 8400 số cần tìm
Ví dụ 8: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}
a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này không bắt đầu bằng 246
b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 1 có mặt đúng một lần.
Giải
Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}{a_6}} \]
1. Chọn tùy ý
a1 có 6 cách chọn (vì a1 \[ \ne \]0)
a2 có 6 cách chọn
a3 có 5 cách chọn
a4 có 4 cách chọn
a5 có 3 cách chọn
a6 có 2 cách chọn
Þ có 6.6.5.4.3.2 = 4320 số có 6 chữ số đôi một khác nhau
2. Chọn số có 6 chữ số bắt đầu từ 246
a4 có 4 cách chọn
a5 có 3 cách chọn
a6 có 2 cách chọn
Þ 4.3.2 = 24 số bắt đầu bằng 246
Vậy ycbt = tùy ý – phần bù = 4320 – 24 = 4296 số cần tìm.
b. Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \] để có được số n ta làm hai bước sau :
Trường hợp 1: nếu a1 = 1 thì số cần tìm có dạng \[n = \overline {1{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \]
a2 có 6 cách chọn
a3 có 5 cách chọn
a4 có 4 cách chọn
a5 có 3 cách chọn
Þ có 6.5.4.3= 360 số
Trường hợp 2: Nếu a1 ≠ 1 ta có
a1 có 5 cách chọn (vì a1 ≠ 0)
có 4 vị trí cho số 1 giả sử a2 = 1
a3 có 5 cách chọn
a4 có 4 cách chọn
a5 có 3 cách chọn
Þ có 5.4.5.4.3 = 1200 số cần tìm
Þ vậy 1200 + 360 = 1560 kết quả
Ví dụ 9: Cho tập A= {0,1,2,3,4,5,6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhau.
Giải:
1. Tìm số có 5 chữ số khác nhau đôi một tùy ý là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \]
a1 có 6 cách chọn (vì a1 ≠ 0)
a2 có 6 cách chọn
a3 có 5 cách chọn
a4 có 4 cách chọn
a5 có 3 cách chọn
Þ có 6.6.5.4.3 = 2160 số
2. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một và 2,5 đứng cạnh nhau
Giả sử 2,5 là một chữ số a nào đó do vậy ta đi tìm số có 4 chữ số
Trường hợp 1:
a1 = a
a2 có 5 cách chọn
a3 có 4 cách
a4 có 3 cách
Þ có 5.4.3 = 60 số
Trường hợp 2:
a1 ≠ a nên a1 có 4 cách chọn ( a1 ≠ 0,2,5)
có 3 vị trí cho số a giả sử a2 = a
a3 có 4 cách
a4 có 3 cách
Þ có 4.3.4.3 = 204 mà 2,5 có thể đổi chỗ cho nhau nên ta đc 204.2 = 408 số
Vậy YCBT = 2160 – 408 = 1572 cách, có 4 vị trí cho a.
II. Qui tắc cộng:
Một công việc H bao gồm K công việc H1, H2, H3 ….Hk, trong đó:
Giai đoạn H1 có n1 cách thực hiện
Giai đoạn H2 có n2 cách thực hiện
Giai đoạn H3 có n3 cách thực hiện
………………………………….
Giai đoạn Hk có nk cách thực hiện Khi đó để hoàn thành công việc H chỉ phải thực hiện 1 trong các công việc trên thì suy ra có (n1+ n2 + n3 + nk ) cách để hoàn thành công việc H.
Ví dụ 1: Một nữ sinh trung học khi đến trường có thể chọn một trong hai bộ trang phục là quần trắng áo dài hoặc quần xanh áo sơ mi. Nữ sinh có 7 chiếc quần trắng, 5 áo dài, 4 quần xanh và 6 áo sơ mi thì có bao nhiêu cách chọn trang phục
Giải:
Nữ sinh được chọn một trong hai bộ trang phục
Trường hợp 1: Quần trắng + áo dài
có 7 cách chọn quần trắng
5 cách chọn áo dài
Þ có 5.7 cách chọn bộ trang phục thứ nhất.
Trường hợp 2: Quần xanh + áo sơ mi
có 4 cách chọn quần xanh
có 6 cách chọn áo sơ mi
Þ có 4.6 = 24 cách chọn bộ trang phục thứ 2.
Vậy theo quy tắc cộng thì nữ sinh có 35 + 24 = 59 cách
Ví dụ 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau
b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho các số này chia hết cho 5
Giải:
a.Tìm Số có 5 chữ số khác nhau đôi một là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \]
\[{a_5}\]= {1,3,5,7,9} có 5 cách chọn
…………………………..
Xem thêm