Chuyên đề Quy nạp toán học 2023 hay, chọn lọc

Chuyên đề Quy nạp toán học

Phần 1: Phương pháp quy nạp toán học và cách giải bài tập

1. Lý thuyết

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ ℕ^∗ là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. 

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ 1) (gọi là giả thiết quy nạp). 

Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. 

Các bước làm bài toán như trên ta gọi là phương pháp quy nạp toán học, hay gọi tắt là phương pháp quy nạp.

Tổng quát:

Xét mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n. Để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi n ≥ n₀ (n₀ là số tự nhiên cho trước) thì ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = n₀. 

Bước 2: Giả sử n ≥ n₀ đúng khi n = k, (k ≥ n₀). 

Bước 3: Ta cần chứng minh P(n) đúng khi n = k + 1. 

Kết luận: Theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi n ≥ n₀. 

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải:

Làm theo 3 bước như phần lý thuyết đã nêu. 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 

Lời giải

Bước 1: Với n = 1, ta có:   (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k. Có nghĩa là ta có: 

Bước 3: Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. 

Có nghĩa ta phải chứng minh:

 

Thật vậy, ta có:

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n. 

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 

1. 4 + 2. 7 +… + n(3n + 1) = n(n + 1)² (1)

Lời giải

Bước 1: Với n = 1, ta có: 1. 4 = 1.(1 + 1)² (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1. 

Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k. Có nghĩa là ta có: 1. 4 + 2. 7 +… + k(3k + 1) = k(k + 1)² (2)

Bước 3: Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. 

Có nghĩa ta phải chứng minh: 1. 4 + 2. 7 +… + k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k + 2)²

Thật vậy 1. 4 + 2. 7 +… + k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4)

= k(k + 1)² + (k + 1)(3k + 4)

= (k + 1)[k(k + 1) + 3k + 4] = (k + 1)(k + 2)² (điều phải chứng minh). 

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n. 

Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề P(n) > Q(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n ≥ m (m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Chứng minh rằng khi n = m. P(m) > Q(m) luôn đúng

Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy ý, k ≥ m. Giả sử đúng với n = k, ta được P(k) > Q(k) đúng

Bước 3: Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng khi n = k + 1. 

Theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 3, ta có: 3ⁿ > n² + 4n + 5 (1) 

Lời giải

Bước 1: Với n = 3 ta có 3³ > 3² + 4.3 +5 ⇔ 27 > 26 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1. 

Bước 2: Giả sử với n = k, k ≥ 3 thì (1) đúng, có nghĩa ta có: 3^k > k² + 4k + 5 (2). 

Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k + 1

Có nghĩa ta phải chứng minh: 3^{k + 1} > (k + 1)² + 4(k + 1) + 5

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 3 ta được: 3.3^k > 3.k² + 12k + 15

3^{k + 1} > (k² + 2k + 1) + 4(k + 1) + 5 + (2k² + 6k + 5)

Vì (2k² + 6k + 5) > 0 ∀k ≥ 3. Vậy 3^{k + 1} > (k + 1)² + 4(k + 1) + 5 (đúng). 

Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3. 

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2 ta có:

Lời giải

Đặt 

Bước 1: Với n = 2 ta có  (đúng).

Bước 2: Giả sử với n = k thì (1) đúng, có nghĩa ta có:  

Bước 3: Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1

Có nghĩa ta phải chứng minh:  

Thật vậy ta có: 

  

Vậy  (đúng). Vậy (1) đúng với n = k + 1.

Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2. 

Dạng 3: Chứng minh sự chia hết

Phương pháp giải:

Làm theo 3 bước như phần lý thuyết đã nêu. 

Chú ý một số dấu hiệu chia hết

– Dấu hiệu chia hết cho 2: các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. 

– Dấu hiệu chia hết cho 5: các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. 

– Dấu hiệu chia hết cho 3: các số có tổng các chữ số chia hết cho 3. 

– Dấu hiệu chia hết cho 9: các số có tổng các chữ số chia hết cho 9. 

– Dấu hiệu chia hết cho 4: hai chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 4. 
– Dấu hiệu chia hết cho 6: các số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3. 

– Dấu hiệu chia hết cho 8: ba chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 8. 

– Dấu hiệu chia hết cho 10: chữ số tận cùng bằng 0. 

– Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2. 

– Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6. 

– Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3, 4, 6 và 8. 

– Tính chất của sự chia hết:

+ Nếu hai số a và b đều chia hết cho m, thì tổng (a + b) và hiệu (a – b) chia hết cho m. 

+ Nếu mỗi số a_i ⋮ m_i, (i = 1,2,…,n) thì tích (a₁a_2…a_n)⋮(m₁m₂…m_n)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ^∗ thì n³ + 2n chia hết cho 3. 

Lời giải

Đặt P(n) = n³ + 2n. 

Bước 1: Với n = 1, ta có P(1) = 1³ + 2.1 = 3⋮3. Suy ra P(n) đúng với n = 1. 

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng khi n = k ≥ 1, tức là: P(k) = ( k³ + 2k)⋮3

Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k + 1

Tức là chứng minh: 

Thật vậy:

P(k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + 2k + 2

= k³ + 3k² + 5k + 3

= (k³ + 2k) + 3(k² + k + 1)

= P(k) + 3(k² + k + 1). 

Mà P(k)⋮3 và 3(k² + k + 1)⋮3 nên  mệnh đề đúng khi n = k + 1. 

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi n ∈ ℕ^∗. 

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ^∗ thì 4. 6ⁿ + 5ⁿ – 4 chia hết cho 5. 

Lời giải

Đặt P(n) = 4. 6ⁿ + 5ⁿ – 4. 

Bước 1: Với n = 1, ta có P(1) = 4. 6¹ + 5¹ – 4 = 25⋮5. Suy ra mệnh đề đúng với n = 1. 

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng khi n = k ≥ 1, tức là: P(k) = (4. 6^k + 5^k – 4)⋮5. 

Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k + 1 

Tức là chứng minh: P(k+1) = (4. 6^k+1 + 5^k+1 – 4)⋮5. 

Thật vậy: 

P(k + 1) = 4. 6^k+1 + 5^k+1 – 4 

= 4.6^k.6 + 5^k.5 – 4 

= 24.6^k + 5.5^k – 4 

= 6(4.6^k + 5^k – 4) – 5^k + 20 

= 6P(k) – 5^k + 20 

Mà  nên P(k+1)⋮5 ⇒ mệnh đề đúng khi n = k + 1.

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi n ∈ ℕ^∗. 

Dạng 4: Quy nạp trong hình học

Phương pháp giải:

Làm theo 3 bước như phần lý thuyết đã nêu. 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng tổng các góc trong của một đa giác lồi n cạnh (n ≥ 3) là: 

(n – 2)180⁰. 

Lời giải

Đặt S(n) = (n – 2)180⁰. 

Bước 1: Với n = 3, ta có S(3) = 180⁰. Suy ra mệnh đề đúng với n = 1. 

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng khi n = k ≥ 3, tức là: S(k) = (k – 2)180⁰. 

Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k + 1

Tức là chứng minh: S(k + 1) = (k – 1)180⁰. 

Thật vậy: ta tách đa giác (k + 1) cạnh thành đa giác k cạnh và tam giác A₁A_kA_k+1 bằng cách nối đoạn A₁A_k. Khi đó tổng các góc trong của đa giác lồi (k + 1) cạnh bằng tổng các góc trong của đa giác lồi k cạnh cộng với tổng ba góc trong của tam giác A₁A_kA_k+1. 

Tức là: S(k + 1) = S(k) + 180⁰ = (k – 2)180⁰ + 180⁰ = (k – 1)180⁰ 

Do đó mệnh đề đúng khi n = k + 1. 

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi n ∈ ℕ^∗; n ≥ 3

Ví dụ 2: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh (n ≥ 4) là: . 

Lời giải

Đặt  .

Bước 1: Khi n = 4, ta có S(4) = 2. Suy ra mệnh đề đúng với n = 4. 

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng khi n = k ≥ 4, tức là:  

Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k + 1

Tức là chứng minh:  

Thật vậy: ta tách đa giác (k + 1) cạnh thành đa giác k cạnh và tam giác A₁A_kA_k+1 bằng cách nối đoạn A₁A_k. 

Khi đó trừ đi đỉnh đỉnh A_{k + 1} và 2 đỉnh kề với nó là A₁A_k thì ta còn lại (k + 1) – 3 = k – 2 đỉnh, tương ứng với (k – 2) đường chéo kẻ từ đỉnh A_k+1 cộng với đường chéo A₁A_k thì ta có số đường chéo của đa giác (k + 1) cạnh là: 

 

Do đó mệnh đề đúng khi n = k + 1. 

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi  n ∈ ℕ^∗; n ≥ 4. 

3. Bài tập tự luyện

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Một học sinh chứng minh mệnh đề “8ⁿ + 1 chia hết cho 7, với mọi số tự nhiên n khác 0” (*) như sau:

– Giả sử (1) đúng với n = k, tức là 8^k + 1 chia hết cho 7. 

– Ta có: 8^{k + 1} + 1 = 8(8^k + 1) – 7, kết hợp với giả thiết 8^k + 1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8^{k + 1} + 1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n ∈ ℕ^∗ 

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Học sinh trên chứng minh đúng. 

B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp. 

C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp. 

D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp. 

Câu 2. Cho  với n ∈ ℕ^∗ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 3. Cho  với n ∈ ℕ^∗ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 4. Với mọi n ∈ ℕ^∗, hệ thức nào sau đây là sai?

Câu 5. Cho  với n ≥ 2 và n ∈ ℕ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đáp án

1	2	3	4	5
D	B	B	D	D

 

Bài tập tự luận

Câu 6. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

. 

Câu 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

1.2 + 2.5 + 3.8 + …+ n(3n – 1) = n²(n+1).

Câu 8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 

Câu 9. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2, ta có:

 

Câu 10. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 

Câu 11. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 5, ta có: 2ⁿ > n²_.

Câu 12. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 3, ta có: 2ⁿ > 2n +1.

Câu 13. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 4 ta có: 3^n-1 > n(n +2).

Câu 14. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì n³ + 11n chia hết cho 6.

Câu 15. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9.

Phần 2: Các dạng toán về Dãy số và cách giải

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa dãy số

– Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên ℕ^∗ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). 

Kí hiệu: u : ℕ^∗ → 

      n ↦ u(n)

Dạng khai triển: u₁; u₂; u₃;… ; u_n;… 

Trong đó ta gọi: u₁ là số hạng đầu, u_n= u(n) là số thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số. 

– Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3;… ;m} với được gọi là một dãy số hữu hạn. 

Dạng khai triển của nó là u₁; u₂; u₃;… ; u_m , trong đó u₁ là số hạng đầu và u_m là số hạng cuối.

– Ba cách cho một dãy số:

+ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.

+ Cho dãy số bằng phương pháp mô tả.

+ Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.

b) Dãy số tăng, dãy số giảm 

– Dãy số (u_n) được gọi là tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n ∈ ℕ^∗. 

– Dãy số (u_n) được gọi là giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n ∈ ℕ^∗. 

c) Dãy số bị chặn

– Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u_n  ≤ M, ∀n ∈ ℕ^∗

– Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u_n  ≤ M, ∀n ∈ ℕ^∗. 

– Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m  ≤ u_n  ≤ M, ∀n ∈ ℕ^∗. 

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tìm số hạng của dãy số

Phương pháp giải:

Bài toán 1: Cho dãy số (u_n): u_n = f(n) (trong đó f(n) là một biểu thức của n). Hãy tìm số hạng u_k. 

→ Thay trực tiếp n = k vào u_k để tìm.

Bài toán 2: Cho dãy số (u_n) cho bởi  (với f(u_n) là một biểu thức của u_n). Hãy tìm số hạng u_k. 

→ Tính lần lượt u₂; u₃;… ; u_k bằng cách thế u₁ vào u₂, thế u₂ vào u₃, …, thế u_k-1 vào u_k. 

Bài toán 3: Cho dãy số (u_n) cho bởi . Hãy tìm số hạng u_k. 

→ Tính lần lượt u₃; u₄;… ; u_k bằng cách thế u₁; u₂vào u₃; thế u₂;u₃vào u₄; … ; thế u_{k -2}; u_k-1 vào u_k. 

Bài toán 4: Cho dãy số (u_n) cho bởi . Trong đó f({n; u_n)}) là kí hiệu của biểu thức u_{n + 1}tính theo u_n và n. Hãy tìm số hạng u_k. 

→ Tính lần lượt u₂; u₃;… ; u_k bằng cách thế {1;u₁} vào u₂; thế {2;u₂} vào u₃; … ; thế {k-1;u_k-1} vào u_k. 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi  . Viết năm số hạng đầu của dãy.

Lời giải

Ta có năm số hạng đầu của dãy

 

Vậy năm số hạng đầu của dãy là: 

Ví dụ 2: Cho dãy số (u_n) được xác định như sau: . Tìm số hạng u₁₁. 

Lời giải

Chọn D. 

Ta có:

 

 Ví dụ 3: Cho dãy số (u_n) được xác định như sau: . Tìm số hạng u₈. 

A. u₈ = 3050.            B. u₈ = 5003.             C. u₈ = 3500.            D. u₈ = 3005. 

Lời giải

Chọn D. 

Ta có:

u₃ = 2u₂ + 3u₁ + 5 = 12            

u₄ = 2u₃ + 3u₂ + 5 = 35             

u₅ = 2u₄ + 3u₃ + 5 = 111

u₆ = 2u₅ + 3u₄ + 5 = 332          

u₇ = 2u₆ + 3u₅ + 5 = 1002        

u₈ = 2u₇ + 3u₆ + 5 = 3005

Dạng 2: Xét tính tăng giảm của dãy số

Phương pháp giải 

Cách 1: Xét hiệu u_n+1 – u_n

– Nếu u_n+1 – u_n  > 0 ∀n ∈ ℕ^∗ thì (u_n) là dãy số tăng. 

– Nếu u_n+1 – u_n  < 0 ∀n ∈ ℕ^∗ thì (u_n) là dãy số giảm. 

Cách 2: Khi u_n  > 0 ∀n ∈ ℕ^∗, ta xét tỉ số  

– Nếu >1 thì (u_n) là dãy số tăng. 

– Nếu < 1 thì (u_n) là dãy số giảm. 

Cách 3: Nếu dãy số (u_n) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh u_n+1 > u_n ∀n ∈ ℕ^∗ (hoặc u_n+1 < u_n ∀n ∈ ℕ^∗)

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số 

– Dãy số (u_n) có u_n = an + b tăng khi a > 0 và giảm khi a < 0

– Dãy số (u_n) có u_n = qⁿ

+ Không tăng, không giảm khi q < 0

+ Giảm khi 0 < q < 1

+ Tăng khi q > 1

– Dãy số (u_n) có  với điều kiện cn + d > 0 ∀n ∈ ℕ^∗

+ Tăng khi ad – bc > 0

+ Giảm khi ad – bc < 0

– Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

– Nếu dãy số (u_n) tăng hoặc giảm thì dãy số (qⁿ. u_n) (với q < 0) không tăng, không giảm

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau(∀n ∈ ℕ^∗):

a) u_n = 3n + 6

b)  

c)  

Lời giải

a) Ta có u_n = 3n + 6 ⇒  u_n+1 = 3(n + 1) + 6 = 3n +9

Xét hiệu u_n+1 – u_n= (3n + 9) – (3n + 6) = 3 > 0 ∀n ∈ ℕ^∗

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

b) Ta có 

Xét hiệu 

 (do n là số tự nhiên)

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

c) Ta có  

 

Vậy (u_n) là dãy số giảm. 

Ví dụ 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau (∀n ∈ ℕ^∗):

Lời giải

a) Ta có  

Xét tỉ số  

 

Vậy (u_n) là dãy số tăng. 

 

Ta có:  

Vậy (u_n) là dãy số giảm. 

Vậy (u_n) là dãy số tăng. 

Dạng 3: Xét tính bị chặn của hàm số

Phương pháp giải:

– Cách 1: Dãy số (u_n) có u_n = f(n) là hàm số đơn giản. 

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức u_n = f(n) ≤ M, ∀n ∈ ℕ^∗ hoặc u_n = f(n) ≥ M, ∀n ∈ ℕ^∗

– Cách 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. 

Nếu dãy số (u_n) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh

Chú ý: Nếu dãy số (u_n) giảm thì bị chặn trên, dãy số (u_n) tăng thì bị chặn dưới

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn

Dãy số (u_n) có u_n = qⁿ (|q| ≤ 1) bị chặn

Dãy số (u_n) có u_n = qⁿ (|q| < -1) không bị chặn

Dãy số (u_n) có u_n = qⁿ với q > 1 bị chặn dưới

Dãy số (u_n) có u_n = an + b bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0

Dãy số (u_n) có u_n = an² + bn + c bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0

Dãy số (u_n có u_n = a_mn^m + a_m-1n^m-1 +… + a₁n + a₀ bị chặn dưới nếu a_m > 0 và bị chặn trên nếu a_m < 0

Dãy số (u_n) có  trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P(n) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Q(n)

Dãy số (u_n) có  trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của P(n) lớn hơn bậc của Q(n).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính bị chặn của dãy số sau (với ∀n ∈ ℕ^∗):

Lời giải

a)  

Ta có  

Mặt khác  

Suy ra  

Vậy dãy số (u_n) bị chặn

b) u_n = 3n – 1

Ta có: n ≥ 1 ⇔ 3n ≥ 3 ⇔ 3n – 1 ≥ 2 ⇔ u_n ≥ 2 ∀n ∈ ℕ^∗

Vậy (u_n) bị chặn dưới; không bị chặn trên. 

c)  

Ta có  

Vậy (u_n) bị chặn dưới, không bị chặn trên do bậc của tử cao hơn bậc mẫu.

Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của dãy số sau:

Lời giải

a)  

Ta dự đoán dãy số này bị chặn (dùng máy Casio để tính một vài số hạng). Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp: –2 ≤ u_n ≤ 1, ∀n ∈ ℕ^∗

Với n = 1 ta có –2 ≤ u₁ = 1 ≤1 (đúng)`          

Giả sử mệnh đề trên đúng với : n = k ≥ 1; –2 ≤ u_k ≤1

Ta cần chứng minh mệnh đề trên đúng với n = k + 1

Ta có:  

Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được –2 ≤ u_n ≤1, ∀n ∈ ℕ^∗

Vậy (u_n) bị chặn. 

b)  

Xét  

Suy ra   

Vậy (u_n) bị chặn

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho dãy số (u_n) biết . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

Câu 2. Cho dãy số (u_n) biết  . Viết năm số hạng đầu của dãy số.

Câu 3. Cho dãy số (u_n) xác định bởi  khi đó u₅ bằng:

A. 317                       B. 157                       C. 77                         D. 112

Câu 4. Cho dãy số (u_n) xác định bởi   . Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng

A. 0                           B. 93                         C. 9                           D. 34

Câu 5. Cho dãy số (u_n) xác định bởi: . Tìm số hạng u₈. 

A. u₈ = – 1803            B. u₈ = – 5793           C. u₈ = – 18147         D. u₈ = – 537

Câu 6. Cho dãy số (u_n) biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng                                             B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm             D. Cả A, B, C đều sai

Câu 7. Cho dãy số (u_n) biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?

 

Câu 8. Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào giảm?

 

Câu 9. Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào không tăng, không giảm?

Câu 10. Cho dãy số (u_n) biết. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng                                             B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm             D. Có u₁₀ = 2

Câu 11. Trong các dãy số (u_n) sau, dãy số nào bị chặn?

Câu 12. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết:  

A. Tăng, bị chặn trên                                   B. Tăng, bị chặn dưới

C. Giảm, bị chặn                                         D. Cả A, B, C đều sai 

Câu 13. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết: 

A. Tăng, bị chặn trên                                   B. Tăng, bị chặn dưới

C. Giảm, bị chặn                                         D. Cả A, B, C đều sai

Câu 14. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:             

A. Bị chặn                 B. Không bị chặn      C. Bị chặn trên          D. Bị chặn dưới 

Câu 15. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết: 

A. Dãy số tăng, bị chặn                               B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số giảm, bị chặn trên                       D. Cả A, B, C đều sai     

Đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
A	B	B	D	A	A	B	C	D	B	C	C	C	A	A

Phần 3: Các dạng toán về Cấp số cộng và cách giải

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa: 

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. 

– Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng. 

– Nếu (u_n) là một cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi 

u_n+1 = u_n + d, n ∈ ℕ^∗

Nhận xét:

– Cấp số cộng (u_n) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0. 

– Cấp số cộng (u_n) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0. 

– Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau). 

b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức: 

u_n = u₁ + (n – 1)d với n ≥ 1, n ∈ ℕ.

c) Tính chất:

Ba số hạng u_k-1, u_k, u_k+1 (k ≥ 2) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi  

d) Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức:

 

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng

Phương pháp giải:

– Dãy số (u_n) là một cấp số cộng khi và chỉ khi u_{n + 1} – u_n = d không phụ thuộc vào n và d là công sai của cấp số cộng đó. 

– Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u­₁ và d. Tìm u­₁ và d. 

– Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: u_n = u₁ + (n – 1)d hoặc công thức truy hồi u_n = u_{n – 1} + d. 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng. Nếu là cấp số cộng hãy xác định số hạng đầu tiên và công sai:

a) – 2; 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19. 

b) 2; 4; 6; 10; 12; 14; 16; 18; 20. 

c) Dãy số (a_n), với a_n = 4n – 3. 

Lời giải

a) Ta thấy 1 – (– 2) = 4 – 1 = 7 – 4 = 10 – 7 = 13 – 10 = 16 – 13 = 19 – 16 = 3 

Nên dãy số – 2; 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19 là cấp số cộng.

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là u₁ = – 2, công sai là d = 3.

b) Ta thấy: 4 – 2 = 2 nhưng 10 – 6 = 4 

Nên dãy số 2; 4; 6; 10; 12; 14; 16; 18; 20 không là cấp số cộng.

c) Ta có: a_n = 4n – 3 thì a_n+1 = 4(n + 1) – 3.

Xét a_n+1 – a_n = 4(n + 1) – 3 – (4n – 3) = 4 (không đổi)

Vậy dãy số (a_n) với a_n = 4n – 3 là cấp số cộng.

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là a₁ = 4.1 – 3 = 1, công sai là d = 4.

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn:  

a) Xác định công sai và hạng đầu tiên của cấp số cộng trên. 

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số cộng trên. 

c) Tìm số hạng thứ 15 của cấp số cộng trên. 

d) Số 6061 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng. 

Lời giải

Gọi cấp số cộng có số hạng đầu tiên là u₁ và công sai d

Số hạng tổng quát của (u_n) là u_n = u₁ + (n – 1)d

Ta có:  

Vậy u₁ = 1 và d = 3.

b) Số hạng tổng quát là: u_n = 1 + (n – 1).3 hay u_n = 3n – 2 với n ∈ ℕ^∗.

c) Số hạng thứ 15 của cấp số cộng: u₁₅ = 3.15 – 2 = 43.

d) Giả sử số hạng thứ k của cấp số cộng là u_k = 6061, ta có: u_k = 3k – 2 = 6061, suy ra k = 2021.

Vậy số 6061 là số hạng thứ 2021 của cấp số cộng.

Dạng 2. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng. Chứng minh cấp số cộng

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Ba số hạng u_k-1; u_k; u_k+1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi .

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: 

a) Tìm x biết: x² + 1, x – 2, 1 – 3x lập thành cấp số cộng. 

b) Cho cấp số cộng – 2, x, 6, y. Tính giá trị của biểu thức P = x² + y². 

Lời giải

a) Ta có: x² + 1, x – 2, 1 – 3x lập thành cấp số cộng 

Vậy x = 2, x = 3 là những giá trị cần tìm. 

b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có  .

Vậy P = x² + y² = 2² + 10² = 104. 

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

a) Nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng, với: x = a² – bc, y = b² – ca, z = c² – ab. 

b) Nếu phương trình x³ – ax² + bx – c = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì 9ab = 2a³ + 27c.

Lời giải

a) a, b, c là cấp số cộng nên a + c = 2b

Cần chứng minh x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng tức là x + z = 2y.

Ta có 2y = 2b² – 2ca

Và x + z = a² + c² – b(a + c)

= (a + c)² – 2ac – 2b² 

= 4b² – 2ac – 2b² 

= 2b² – 2ac = 2y 

Khi đó ta được: 

Vậy ta có điều phải chứng minh. 

b) Giả sử phương trình có ba nghiệm x₁, x₂, x₃ lập thành cấp số cộng khi đó: x₁ + x₃ = 2x₂ (1)

Mặt khác: x³ – ax² + bx – c = (x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)

= x³ – (x₁ + x₂ + x₃)x² + (x₁ x₂ + x₂ x₃ + x₃ x₁)x – x₁ x₂ x₃

Suy ra x₁ + x₂ + x₃ = a (2)

Từ (1) và (2), ta được 

Vì phương trình đã cho có nghiệm , tức là:

Vậy ta có điều phải chứng minh. 

Dạng 3. Tính tổng của một cấp số cộng. 

Phương pháp giải:

Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (u_n)

a) (u­_n) có số hạng tổng quát là: u_n = 7n – 3. Tính S₁₀₀. 

b) (u­_n) có u₂ + u₂₂ = 40. Tính S_23. 

c) (u­_n) có u₄ + u₈ + u₁₂ + u₁₆ = 224. Tính S₁₉. 

Lời giải

a) Từ công thức số hạng tổng quát 

Ta có: 

Số hạng đầu: u₁ = 7 . 1 – 3 = 4;

Số hạng thứ hai là : u₂ = 7 . 2 – 3 = 11; 

Công sai: d = 11 – 4 = 7

Khi đó ta có:

b) Ta có: u₂ + u₂₂ = 40 ⇔ u₁ + d + u₁ +21d = 40 ⇔ 2u₁ + 22d = 40

Vậy  

c) Ta có: u₄ + u₈ + u₁₂ + u₁₆ = 224 

⇔ u₁ + 3d + u₁ +7d + u₁ +15d = 224

⇔ 4u₁ + 36d = 224

⇔ u₁ + 9d = 56

Vậy 

Ví dụ 2: Tính các tổng sau:

a) S = 1 + 3 + 5 +… + (2n – 1) + (2n + 1) 

b) S = 1 + 4 + 7 +… + (3n – 2) + (3n + 1) + (3n + 4) 

c) S = 100² – 99² + 98² – 97² +… + 2² – 1² 

Lời giải

a) Ta có dãy số 1;3;5;…;(2n – 1);(2n + 1) là cấp số cộng với công sai d = 2 và u₁ = 1, số hạng tổng quát u_k = u₁ + (k – 1)d. 

Ta kiểm tra 2n + 1 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy: 2n + 1 = u₁ + (k – 1)d 

⇔ 2n + 1 = 1 + (k – 1).2 ⇒ k = n + 1 . Do đó dãy số có n + 1 số hạng. 

Vậy 

b) Ta có dãy số 1; 4; 7; … (3n – 2);(3n + 1);(3n + 4) là cấp số cộng với công sai d = 3 và u₁ = 1, số hạng tổng quát u_k = u₁ + (k – 1)d. 

Ta kiểm tra 2n + 1 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy: 3n + 4 = u₁ + (k – 1)d

⇔ 3n + 4 = 1 + (k – 1).3 ⇒ k = n + 2. Do đó dãy số có n + 2 số hạng. 

Vậy  

c) S = 100² – 99² + 98² – 97² +… + 2² – 1²

= (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) +… + (2 – 1)(2 + 1)

= 199 + 195 +… + 3 

= 3 + 7 +… + 195 + 199

Ta có dãy số 3; 7; …195; 199 là cấp số cộng với công sai d = 4, số hạng đầu tiên u₁ = 3 và số hạng thứ n là u_n = 199. 

Do đó có 199 = 3 + (n – 1).4 ⇒ n + 50. 

Vậy  .

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? 

A. Dãy số (a_n), với a_n = 2ⁿ ,∀n ∈ ℕ^∗.            

B. Dãy số (b_n), với b₁ = 1, b_n+1 = 2b₁ + 1,∀n ∈ ℕ^∗.                           

C. Dãy số (c_n), với c_n = (2n – 3)² – 4n² ,∀n ∈ ℕ^∗.                           

D. Dãy số (d_n), với 

Câu 2. Trong các dãy số (u_n) sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. 1; – 3; – 7; – 11; – 15                                                              

B. 1; – 3; – 6; – 9; – 12

C. 1; – 2; – 4; – 6; – 8                                                                  

D. 1; – 3; – 5; – 7; – 9

Câu 3. Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào không phải là một cấp số cộng?

Câu 4. Cho cấp số cộng (u_n), biết u₁ = – 5,d = 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. u₁₅ = 34.               B. u₁₅ = 45.               C. u₁₃ = 31.               D. u₁₀ = 35. 

Câu 5. Cho cấp số cộng (u_n), biết u₁ = – 5; d = 3. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?

A. Số thứ 15.             B. Số thứ 20.             C. Số thứ 35.             D. Số thứ 36. 

Câu 6. Cho cấp số cộng (u_n) biết:. Số hạng đầu tiên là

A. u₁ = 16.                B. u₁ = 6.                   C. u₁ = 7.                  D. u₁ = 14. 

Câu 7. Cho cấp số cộng (u_n) thỏa: . Tính số hạng thứ 100 của cấp số.

A. u₁₀₀ = – 243          B. u₁₀₀ = – 295          C. u₁₀₀ = – 231          D. u₁₀₀ = – 294

Câu 8. Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 123 và u₃ – u₁₅ = 84. Tìm số hạng u₁₇. 

A. u₁₇ = 242              B. u₁₇ = 235              C. u₁₇ = 11                D. u₁₇ = 4

Câu 9. Xác định x để 3 số 1 – x; x²; 1 + x lập thành một cấp số cộng. 

A. x = 1 hoặc x = – 1                                                                    

B. x = 2 hoặc x = – 2

C. Không có giá trị nào của x.                     

D. x = 0

Câu 10. Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. a² + c² = 2ab + 2bc.                                B. a² – c² = 2ab – 2bc.    

C. a² + c² = 2ab – 2bc.                                 D. a² – c² = ab – bc. 

Câu 11. Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 5 và d = – 4. Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên.

A. – 19500                B. – 19300                C. – 19750                D. – 19550

Câu 12. Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 321 và u_{n + 1} = u_n – 3 với mọi n ∈ ℕ^∗. Tính tổng S của 125 số hạng đầu tiên của dãy số đó. 

A. S = 16875.           B. S = 63375.            C. S = 63562,5.        D. S = 16687,5. 

Câu 13. Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là u_n = 3n + 4 với n ∈ ℕ^∗. Gọi S_n là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

 

Câu 14. Cho cấp số cộng 3; 8; 13;… Tính tổng S = 3 + 8 + 13 +… + 2018. 

A. S = 408422.         B. S = 408242.          C. S = 407231,5.      D. S = 409252,5. 

Câu 15. Phương trình x³ – 3x² – 9x + m = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 

A. m = 16                  B. m = 11                  C. m = 13                  D. m = 12 

Đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	A	B	C	C	A	B	C	A	B	B	A	D	B	B

Phần 4: Các dạng toán về Cấp số nhân và cách giải

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa: 

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. 

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. 

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n = u_n-1 . q với n ∈ ℕ^∗

Đặc biệt:

– Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁; 0; 0; … 0; …

– Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁; u₁; … u₁;…

– Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; … 

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ . q^{n – 1} với n ≥ 2

c) Tính chất

Ba số hạng u_{k – 1}, u_k, u_{k + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi  với k ≥ 2

(Hay  ).

d) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

 .

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁;.. khi đó S_n = n.u₁. 

2. Các dạng toán

Dạng 1. Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số nhân. 

Phương pháp giải:

– Dãy số (u_n) là một cấp số nhân khi và chỉ khi   không phụ thuộc vào n và q là công bội của cấp số nhân đó. 

– Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u­₁ và q. Tìm u­₁ và q. 

– Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: u_n = u₁ . qn^-1 hoặc công thức truy hồi u_n = u_{n – 1} . q. 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân. Nếu là cấp số nhân hãy xác định số hạng đầu tiên và công bội:

a) 1; – 2; 4; – 8; 16; – 32; 64

b) Dãy (u_n): u_n = n.6ⁿ⁺¹ 

c) Dãy (v_n): v_n = (– 1)ⁿ.3²ⁿ. 

Lời giải

a) Ta thấy  

Nên dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u₁ = 1 và công bội q = – 2.

b) Ta có: u_n = n. 6ⁿ⁺¹ thì u_n+1 = (n + 1).6ⁿ⁺² 

Xét  phụ thuộc vào n

Nên dãy số trên không là cấp số nhân.

c) Ta có: v_n = (– 1)ⁿ. 3²ⁿ thì v_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹. 3²⁽ⁿ⁺¹⁾

Xét  không đổi.

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu tiên u₁ = (– 1)¹.3^2.1 = – 9 và công bội q = – 9.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: 

a) Xác định công bội và hạng đầu tiên của cấp số nhân trên. 

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân trên. 

c) Tìm số hạng thứ 15 của cấp số cộng trên. 

d) Số 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân. 

Lời giải

a) Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có

Lấy hai vế của phương trình dưới chia cho hai vế của phương trình trên ta được q = 2.

Suy ra  

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu tiên là u₁ = 3 và công bội q = 2.

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là u_n = u₁. q^n–1 nên u_n = 3.2^n–1.

c) Số hạng thứ 15 của cấp số nhân là: u₁₅ = 3.2¹⁴ = 49152. 

d) Giả sử số 12288 là số hạng thứ n của cấp số nhân, ta có:

u_n = 12288 ⇔ 3.2^n–1 = 12288 ⇔ 2^n–1 = 2¹² ⇔ n = 13

Vậy số 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

Dạng 2. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân. Chứng minh cấp số nhân. 

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Ba số hạng u_{k – 1} ; u_k ; u_{k + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi  

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Tìm x sao cho các số 1; x²; 6 – x² lập thành cấp số nhân. 

Lời giải

Ta có: 1; x²; 6 – x² lập thành cấp số nhân 

Vậy  thì các số trên lập thành cấp số nhân.

Ví dụ 2: Các số 5x – y; 2x + 3y; x + 2y lập thành cấp số cộng; các số (y + 1)² ; xy + 1 ; (x – 1)² lập thành cấp số nhân. Tìm x và y.

Lời giải

Ta có các số 5x – y, 2x + 3y, x + 2y lập thành cấp số cộng

⇔ 2(2x + 3y) = 5x – y + x +2y 

⇔4x + 6y = 6x +y ⇔ 2x = 5y. 

Các số (y + 1)² ; xy + 1 ; (x – 1)² lập thành cấp số nhân

 

Thay (1) vào (2) ta được: (4 + 2y – 5y)(10y² + 5y – 2y) = 0

 

Dạng 3. Tính tổng của một cấp số nhân. 

Phương pháp giải:

Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức: 

Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁; … khi đó S_n = n.u₁. 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n)

a) (u­_n) có số hạng tổng quát là: u_n = 2.( –3)^k. Tính S₁₅. 

b) (u­_n) có số hạng đầu là 18, số hạng thứ hai kia là 54, số hạng cuối bằng 39366. Tính tổng của tất cả các số hạng của cấp số nhân.

Lời giải

a) (u­_n) có số hạng tổng quát là: u_n = 2. (– 3)^k thì u₁ = 2 và q = – 3

Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là

b) Số hạng đầu tiên u₁ = 18

Số hạng thứ hai u₂ = 54 ⇒ q = 3

Số hạng cuối. u_n = 39366 ⇔ n₁.q^n-1 = 39366 ⇔ 18.3^n-1 = 39366 ⇔ q^n-1 = q⁷ ⇔ n = 8

Vậy  

Ví dụ 2: Tính tổng

 

Lời giải

 

 

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

 

Câu 2. Cho cấp số nhân (u_n) có  ,u₇ = –32. Khi đó q là ?

Câu 3. Cho cấp số nhân (u_n) có . Số  là số hạng thứ bao nhiêu?

A. Số hạng thứ 103                                     B. Số hạng thứ 104   

C. Số hạng thứ 105                                     D. Đáp án khác

Câu 4. Cho cấp số nhân (u_n) có . Tìm q và số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Câu 5. Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3; q = – 2. Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu?

A. Số hạng thứ 6       B. Số hạng thứ 5       C. Số hạng thứ 7       D. Đáp án khác

Câu 6. Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn  Chọn khẳng định đúng?

 

Câu 7. Cho dãy số (u_n) là một cấp số nhân với u_n ≠ 0, n ∈ ℕ^∗. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

   

 

Câu 8. Tìm x để ba số 1 + x; 9 + x; 33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. 

A. x = 1.                    B. x = 3.                    C. x = 7.                    D. x = 3; x = 7. 

Câu 9. Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm q?

Câu 10. Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. 

Tính x² + y².

A. x² + y² = 40          B. x² + y² = 25          C. x² + y² = 100        D. x² + y² = 10

Câu 11. Cho cấp số nhân (u_n) có  . Công bội của cấp số nhân là

A. q = 2                     B. q = – 4                  C. q = 4                     D. q = – 2

Câu 12. Cho cấp số nhân (u_n) có  . Tính S₂₁. 

 

Câu 13. Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = – 3 và q = – 2. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho. 

A. S₁₀ = – 511.          B. S₁₀ = – 1025.        C. S₁₀ = 1025.           D. S₁₀ = 1023. 

Câu 14. Cho cấp số nhân (u_n) có u₂ = – 2 và u₅ = 54. Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho. 

 

Câu 15. Gọi S = 1 + 11 + 111 +… + 111…1 (n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây?

Đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
D	A	A	A	C	B	D	B	A	A	A	A	D	D	D

Phần 5: Lý thuyết, bài tập Phương pháp quy nạp toán học hay, chi tiết

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n) = Q(n) (hoặc P(n) > Q(n)) đúng với n ≥ n₀, n₀ ∈ N* ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính P(n₀),Q(n₀) rồi chứng minh P(n₀ )= Q(n₀)

Bước 2: Giả sử P(k) = Q(k) ; k ≥ n₀, k ∈ N*, ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1).

Ví dụ minh họa

Bài 1: Chứng mình với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+2+3+…+n= (n(n+1))/2

Đặt P(n) = 1+2+3+…+n : tổng n số tự nhiên đầu tiên : 

Ta cần chứng minh P(n) = Q(n) n ≥ 1 ,n ∈ N*.

Bước 1: Với n = 1 ta có P(1) = 1, Q(1) = 1

⇒ P(1) = Q(1) = 1đúng vớí n = 1.

Bước 2: Giả sử P(k0 = Q(k) với k ≥ 1 ,k ∈ N*. tức là:

Ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1), tức là:

Thật vậy:

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n ≥ 1.

Bài 2:Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+3+5+⋯+2n-1=n²

♦ Với n = 1 ta có VT =VP = 1

Suy ra đẳng thức đã cho đúng với n = 1.

♦ Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k với k ≥ 1 ,k ∈ N*. tức là:

1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 = k² (1)

Ta cần chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là:

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)² (2)

Thật vậy: VT(2) = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1)

= k² + (2k + 1) = (k + 1)² = VP(2)

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n = 1.

Bài 3: Chứng minh rằng vớí ∀n ≥ 1, ta có bất đẳng thức: 

♦ Với n = 1 ta có đẳng thức đã cho trở thành :1/2 < 1/√3 ⇒ 2 > √3 đúng.

⇒ Đẳng thức đã cho đúng với n = 1.

♦ Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k ≥ 1 , tức là :

Ta phải chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là :

Thật vậy, ta có :

Ta chứng minh:

⇔ (2k+1)(2k+3) < (2k+2)²

⇒ 3 > 1 (luôn đúng)

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Chú ý: Vậy Phương pháp quy nạp toán học còn được ứng dụng nhiều trong số học và hình học

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 , ta luôn có

Lời giải:

Bước 1: Với n = 1 ta có: VT = 1 ; VP = 1 ⇒ VT=VP

⇒ Đẳng thức đã cho đúng vớí n = 1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k ≥ 1, tức là

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là cần chứng minh

Thật vậy:

⇒ (1) đúng đẳng thức đã cho đúng với mọi n ≥ 1.

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

Lời giải:

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có bất đẳng thức:

|sinnx| ≤ k|sinx| ∀x ∈ I

Lời giải:

Làm tương tự câu 1. Với n=1 đẳng thức đã cho đúng

Gợi ý:

* Với n=1 ta có:VT = |sin1.α|=1.|sinα| =VP nên đẳng thức đã cho đúng.

* Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là :|sinkα| ≤ k|sinα| (1)

Ta phải chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1,tức là :

|sin⁡(k+1)α| ≤ (k+1)|sinα| (2)

Thật vậy:

|sin⁡(k+1)α|=|sinkα.cosα+coskα.sinα| ≤ |sinkα||cosα|+|coskα||sinα| ≤ |sinkα|+|sinα| ≤ k|sinα|+|sinα| ≤ (k+1)|sinα|

Vậy đẳng thức đã cho đúng với n=k+1, nên đẳng thức đã cho cũng đúng với mọi số nguyên dương n.

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì A(n)=7ⁿ+3n-1 luôn chia hết cho 9

Lời giải:

* Với n=1 ⇒ A(1)=7¹+3.1-1=9 ⇒ A(1)chia hết cho 9

* Giả sử A(k)chia hết cho 9 ∀k ≥ 1, ta chứng minh A(k+1)chia hết cho 9

Thật vậy:A(k+1)=7^k+1+3(k+1)1=7.7^k+21k-7-18k+9 ⇒ A(k+1)=7A(k)-9(2k-1)

Vì A(k) chia hết cho 9 và 9(2k-1) chia ết cho 9 nên A(2k+1) chia hết cho 9

Vậy A(n) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 5: Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n ≥ 1) bằng (n-2)180º.

Lời giải:

* Với n = 3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º

* Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k < n, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là. (k-1)180ºvà (n-k-1)180º

Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là (k-1+n-k-1)180º=(n-2)180º.

Suy ra mệnh đề đúng với mọi n ≥ 3..

Phần 6: Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

A. Phương pháp giải

Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n ≥ m (m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Chứng minh rằng P(n) đúng khi n = m.

Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy và k ≥ m. Giả sử P(n) đúng khi n = k, ta sẽ chứng minh P(n) cũng đúng khi n= k + 1.

Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ m

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 1.4 + 2.7 + … + n(3n + 1) = n(n + 1)² (1)

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1 ta có:

Vế trái = 1. 4= 4.

Vế phải = 1.(1+ 1)² = 4.

=> Vế trái = Vế phải. Vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử (1) đúng với n=k; k ∈ N*; tức là ta có:

1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)=k(k+1)² (2)

Ta chứng minh nó cũng đúng với n= k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)²

+ Thật vậy do 1.4+ 2.7+ …+ k. ( 3k+ 1) = k( k+1)² nên

1.4+2.7+⋯+k( 3k+1)+( k+1).(3k+4)=k(k+1)²+(k+1)(3k+4)

= k( k²+2k+ 1)+ 3k² + 4k+ 3k+ 4

= k³ + 2k² + k+3k² + 7k+ 4 = k³ + 5k² + 8k+ 4 = (k + 1).(k + 2)²

Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 2: Chứng ming rằng với mọi số nguyên dương n ta có :

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1:

Vế trái 

Vế phải 

=> Vế trái = Vế phải. Vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

* Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

* Thật vậy

  

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 3: Với mỗi số nguyên dương n, gọi u_n = 9ⁿ − 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì u_n luôn chia hết cho 8.

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1 ta có u₁ = 9¹ − 1 = 8 chia hết cho 8 (đúng).

+ Giả sử u_k = 9^k − 1 chia hết cho 8 với k ∈ N*

Ta cần chứng minh: u_{k + 1} = 9^k + 1 − 1 chia hết cho 8.

* Thật vậy, ta có u_k+1=9^k+1 − 1 = 9.9^k − 1 = 9(9^k − 1) + 8 = 9u_k + 8.

Vì 9u_k và 8 đều chia hết cho 8

=> u_{k+ 1} = 9^k + 8 ⋮ 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì u_n chia hết cho 8.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta luôn có: 2n + 1 > 2n+ 3 (*)

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 2 ta có : 2^{2 + 1} = 8 và 2.2+ 3= 7

=> 8 > 7 nên (*) đúng khi n = 2

+ Giả sử với n = k; k ≥ 2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2^{k+ 1} > 2k + 3 (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với n= k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

2^k+2 > 2(k+1)+3

* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

2.2^k+1 > 2(2k+3) ⇔ 2^k+2 > 4k + 6 > 2(k + 1) + 3

Vậy 2^k+2 > 2(k+1)+3 (đúng).

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2

Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1 và vế phải của (1) 

Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

* Thật vậy 1²+3²+5²+⋅⋅⋅+(2k − 1)²+(2k+1)² =  + (2k+1)² (thế (2) vào).

 

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương n và n ≥ 5 thì 2ⁿ > n² (*)

Hướng dẫn giải:

* Với n = 5 ta có: 2⁵ > 5² ( vì 32 > 25) (đúng).

Vậy (*) đúng với n = 5.

* Giả sử với n= k; k ≥ 5 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2^k > k² (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh: 2^k+1 > (k+1)²

* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

2. 2^k > 2.k² ⇔ 2^k+1 > k² + k²

⇔ 2^k+1 > k² + 2k + 1= (k+1)² (vì k² > 2k+ 1 với mọi k ≥ 5) .

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n≥5.

Ví dụ 7: Chứng minh với mọi số nguyên n ta có:

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1. 2= 2, vế phải của (1) 

Suy ra (1) đúng với n= 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k; k∈N*.Có nghĩa là ta có:

1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)= (2)

*Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)+(k+1)(k+2)=

Thật vậy:

1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)+(k+1)(k+2)

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

1.2 + 2.5 + 3.8+ ..+ n(3n − 1) = n²(n+1) (1)

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1)= 12.( 1+ 1)= 2.

Suy ra (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) = k²(k+1) (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k+1)(3k+2) = (k+1)²(k+2)

Thật vậy:

1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = k²(k+1) + (k + 1)(3k + 2)

= (k + 1)(k² + 3k + 2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) = (k+1)²(k+2) (đpcm).

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: n³ − n chia hết cho 3

Hướng dẫn giải:

Đặt u_n = n³ − n

* Ta có u₁ = 1³ − 1 = 0 chia hết cho 3

=> đúng với n = 1.

* Giả sử u_k = k³ − k chia hết cho 3.

Ta cần chứng minh u_k+1 = (k + 1)³ − (k + 1) chia hết cho 3.

* Thật vậy, u_k+1 = k³+ 3k² + 3k + 1 − k − 1 = k³ + 3k² + 2k

⇔ u_{k + 1} = (k³ − k) + (3k² + 3k) = u_k +3(k² + k)

Vì u_k và 3(k² + k) đều chia hết cho 3, nên u_k+1 cũng chia hết cho 3.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3.

Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 2n³ − 3n² + n chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải:

* Đặt u_n = 2n³ − 3n² + n

*Ta có: u₁ = 2. 1³ − 3 . 1² + 1 = 0 chia hết cho 6

=> đúng với n = 1.

* Giả sử u_k = 2k³ − 3k²+ k chia hết cho 6.

Ta cần chứng minh: u_{k + 1} = 2.(k+1)³ − 3.(k+1)² + k+1 chia hết cho 6.

* Thật vậy ta có: u_k+1 = 2.k³+ 6k² + 6k + 2 − 3k² − 6k − 3 + k + 1

⇔ u_{k + 1} = 2k³ + 3k² + k = 2k³ − 3k² + k + 6k² = u_k + 6k²

Vì u_k và 6k² đều chia hết cho 6, nên u_{k + 1} cũng chia hết cho 6.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì u_n chia hết cho 6.

Ví dụ 11: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 13ⁿ − 1 chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải:

* Đặt u_n = 13ⁿ − 1

* Với n = 1, ta có u₁ = 13¹ − 1 = 12 chia hết cho 6

=> đúng với n = 1.

* Giả sử u_k = 13^k − 1 chia hết cho 6 (với k ∈ N*).

Ta cần chứng minh: u_k+1= 13^k+1 − 1 ⋮ 6 .

* Thật vậy ta có: u_k+1 = 13 . 13^k − 1 = 13(13^k − 1) + 12 = 13.u_k + 12

Vì 13u_k và 12 đều chia hết cho 6, nên u_{k + 1} cũng chia hết cho 6.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì u_n chia hết cho 6.

Ví dụ 12: Chứng minh với mọi số nguyên n và n ≥ 3 thì 3ⁿ > n² + 4n + 5 (*)

Hướng dẫn giải:

* Với n = 3 ta có 3³ > 3² + 4.3 + 5 ⇔ 27 > 26 (đúng).

Vậy (*) đúng với n = 3.

* Giả sử với n = k ; k ≥ 3 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 3^k > k² + 4k + 5 (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

3^{k + 1} > (k+1)² + 4(k+1) + 5

* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 3 ta được: 3.3^k > 3.k² + 12k + 15

⇔ 3^{k + 1} > (k² + 2k + 1) + 4(k+1)+ 5 + (2k² + 6k + 5) (2)

Vì (2k² + 6k + 5) > 0 với mọi k ≥ 3 (3)

Từ (2) và (3) suy ra: 3^k+1 > (k² + 2k + 1) + 4(k + 1) + 5

Hay 3^k+1 > (k+1)² + 4(k+1) + 5

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3.

Xem thêm