Bộ 4 Đề thi Toán lớp 11 Học kì 2 chọn lọc, có đáp án

Phòng Giáo dục và Đào tạo …..

Đề thi Học kì 2 – Năm học ….

Môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề 1)

Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt  . Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 2: 

A. 3        B. 18

C. -1        D. 1

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số 

Câu 4: Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số. α = 34,121212… (chu kỳ 12)

Câu 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 6: Cho tứ diện ABCD với  .Gọi là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng?

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ΔABC vuông ở B, AH là đường cao của ΔSAB. Khẳng định nào sau đây sai ?

Câu 8: Một chuyển động thẳng xác định bởi ph¬ương trình s = t³ – 3t² + 5t +2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t= 3 là:

Câu 9: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ là f'(x₀). Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 10: Biết  Khi đó:

Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC. Số các mặt của tứ diện S.ABC là tam giác vuông là:

A. 1        B. 3

C. 4        D. 2

Câu 12: Đạo hàm nào sau đây đúng?

Câu 13: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x⁴ + 2x² – 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:

Câu 14: Đạo hàm của hàm số  là:

 

Câu 15: Tìm vi phân của các hàm số 

Câu 16: Giới hạn nào sau đây có kết quả bằng 0.

Câu 17:  . Khi đó  có giá trị bao nhiêu ?

A. 23        B. 25

C. 13        D. 14

Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 19: Cho hàm số  Biết a, b là các giá trị thực để hàm số liên tục tại x = 2. Khi đó a + 2b nhận giá trị bằng:

Câu 20: Cho hàm số g(x) = x.f(x) + x với f(x) là hàm số có đạo hàm trên R. Biết g'(3) = 2, f'(3) = -1 Giá trị của g(3) bằng:

A. -3        B. 3

C. 20        D. 15

Câu 21: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB.

B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB.

C. Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB.

D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD.

Câu 22: Tìm giới hạn 

Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và(ABC).

A. 30°        B. 45°

C. 60°        D. 75°

Câu 24: Tìm m để hàm số sau có giới hạn khi x → 1.

Câu 25: Cho hàm số  . Với giá trị nào của k thì  ?

A. k = -1      B. k = 1

C. k = -2      D. k = 3

Phần II: Tự luận

Câu 1: Tính các giới hạn sau:

Câu 2:

a) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm:

b) Tìm m để các hàm số  có giới hạn khi

c) Trên đồ thị của hàm số  có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tìm tọa độ M?

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA ⊥ (ABCD) và SA =  Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD:

a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD).

b) Tính góc giữa SM và (ABCD).

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SMN)?

Đáp án & Hướng dẫn giải

Phần I: Trắc nghiệm

1. D	2. C	3. D	4. A	5. D
6. A	7. C	8. D	9. D	10. C
11. C	12. A	13. A	14. C	15. D
16. B	17. D	18. B	19. A	20. D
21. A	22. C	23. C	24. D	25. B

Câu 1:

Chọn D.

   

– Ta phân tích:

   

Câu 2:

Đáp án C

   

Câu 3:

Đáp án D

   

Câu 4:

Đáp án A

   

Câu 5:

Đáp án D

   

+) A đúng do tính chất đường trung bình trong ΔB’AC và tính chất của hình bình hành ACC’A’.

+) B đúng do IK // AC nên bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng.

+) C đúng do việc ta phân tích:

   

+) D sai do giá của ba vectơ  đều song song hoặc trùng với mặt phẳng (ABCD). Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.

Câu 6:

Đáp án A

– Phương pháp: Sử dụng công thức 

– Cách giải:

   

Câu 7:

Đáp án C

   

– Do SA ⊥ (ABC) nên câu A đúng.

– Do BC ⊥ (SAB) nên câu B và D đúng.

– Vậy câu C sai.

Câu 8:

Đáp án D

– Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t.

– Ta có:

   

– Suy ra, phương trình gia tốc của chuyển động là:

   

– Do đó, gia tốc của chuyển động khi t = 3 là: a(3) = 12 (m/s²).

Câu 9:

Đáp án D

– A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).

– B. Đúng vì:

   

– C. Đúng vì:

+ Đặt:

   

Câu 10:

Đáp án C

– Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho x.

– Cách giải:

   

Câu 11:

Đáp án C

   

– Ta có:

    là các tam giác vuông.

– Ta có: 

    vuông tại B.

– Vậy hình chóp đã cho có cả 4 mặt đều là tam giác vuông.

Câu 12:

Đáp án A

– Phương pháp: Sử dụng các công thức tính đạo hàm của hàm lượng giác.

– Cách giải: Dễ thấy chỉ có đáp án A đúng.

Câu 13:

Đáp án A

– Tập xác định: D = R.

– Đạo hàm: y’ = 4x³ + 4x.

– Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình:

   

+) Tại M(1; 2) thì y’(1) = 8. Phương trình tiếp tuyến là:

   y = 8(x-1) +2 hay y = 8x – 6

+) Tại N(-1; 2) thì y’ (-1) = – 8. Phương trình tiếp tuyến là:

   y = – 8(x + 1) + 2 hay y = -8x – 6.

– Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là: y = 8x – 6 và y = -8x – 6.

Câu 14:

Đáp án C

   

Câu 15:

Đáp án D

– Ta có : 

– Do đó, vi phân của hàm số đã cho là: 

Câu 16:

Đáp án B

   

Câu 17:

Đáp án D

– Phương pháp:

   + Nếu hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x = x₀:

   

– Cách giải:

   

Câu 18:

Đáp án B

   

+) Tam giác SAC cân tại S có SO là trung tuyến

⇒ SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ AC.

+) Tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến

⇒ SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ BD.

– Từ đó suy ra SO ⊥ (ABCD).

→ Do ABCD là hình thoi nên CD không vuông góc với BD. Do đó CD không vuông góc với (SBD).

Câu 19:

Đáp án A

– Phương pháp:

+ Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x = x₀ 

– Cách giải:

Ta có: 

TH1: a = 4.

   

– Để hàm số liên tục tại x = 2

   

TH1: a ≠ 4.

   

Câu 20:

Đáp án D

– Phương pháp: Sử dụng công thức tính đạo hàm của tích 

– Cách giải:

+ Ta có:

   

Câu 21:

Đáp án A

   

– Từ giả thiết ta có 

– Do đó 

Câu 22:

Đáp án C

– Ta có:

   

Câu 23:

Đáp án C

   

– Gọi H là trung điểm của BC suy ra:

   

– Ta có:

   

Câu 24:

Đáp án D

   

→ Hàm số có giới hạn khi x → 1 khi và chỉ khi:

   

Câu 25:

Đáp án B

– Ta có:

Phần II: Tự luận

Câu 1:

a) Ta có:

 

b) Ta có:

 

c) Ta có:

Câu 2:

a) Xét hàm số f(x) = (m² – 2m + 2)x³ + 3x – 3. Đây là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R.

– Suy ra: phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c ∈ (0;1)

b) Ta có:

– Hàm số có giới hạn khi x → 1 khi và chỉ khi:

c) Ta có: 

– Lấy điểm M(x₀;y₀) ∈ (C).

– Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:

+ Giao với trục hoành: 

+ Giao với trục tung: 

– Ta có:

– Theo giả thiết tam giác OAB có diện tích bằng 2 nên:

Câu 3:

   

a) Ta có:

   

b) AM là hình chiếu của SM trên (ABCD).

   

– Xét tam giác vuông ABM ta có: 

– Xét tam giác vuông SAM ta có: 

c) Gọi I = AC ∩ MN ⇒ I là trung điểm của OC, ta có:

   

– Ta có: MN// BD mà BD ⊥ (SAC)(cmt) ⇒ MN ⊥ (SAC).

– Trong (SAC) kẻ AH ⊥ SI (H ∈ SI) ⇒ MN ⊥ AH.

   

– Ta có:

   

– Xét tam giác vuông SAI ta có:

   

Phòng Giáo dục và Đào tạo …..

Đề thi Học kì 2 – Năm học ….

Môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề 2)

Câu 1: Cho hàm số f(x)liên tục trên đoạn [a ; b] và f(a) = b, f(b) = a, với 0 < a < b. Khi đó phương trình nào trong các phương trình sau đây luôn có nghiệm trên khoảng (a, b).

Câu 2: Kết quả  là:

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc  . Biết SA = SB = SC = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng:

Câu 4: Một cấp số cộng gồm 8 số hạng với số hạng đầu bằng – 15 và số hạng cuối là 69. Tìm công sai của cấp số cộng.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông ở B. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 6: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Câu 7: Biết  . Tìm tích của a.b.

Câu 8: Cho hàm số  . Với giá trị nào của tham số m thì hàm số đã cho liên tục tại điểm x_m = 2?

Câu 9: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P là trung điểm của các cạnh AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa CC’ và mặt phẳng (MNP) ?

Câu 10: Một người muốn thuê khoan một giếng sâu 20m lấy nước tưới cho vườn cây của gia đình. Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở một cơ sở nọ, họ tính theo cách sau đây: giá của mét khoan đầu tiên là 10.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai trở đi, giá của mỗi mét sau tăng lên 7% giá của mét khoan ngay trước nó. Hỏi người ấy cần phải trả số tiền bao nhiêu cho cơ sở khoan giếng?

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), tứ giác ABCD là hình thang cân có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC và cạnh bên AB = BC. Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với SD và cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P. Khi đó ta có thể kết luận gì về tứ giác AMNP?

A. AMNP là một tứ giác nội tiếp (không có cặp cạnh đối nào song song).

B. AMNP là một hình thang vuông.

C. AMNP là một hình thang.

D. AMNP là một hình chữ nhật.

Câu 12: Cho cấp số cộng (u_n) có tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức S_n = 4n – n². Gọi M là tổng của số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng. Khi đó:

A. M = -1        B. M = 1

C. M = 4        D. M = 7

Câu 13: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào không tồn tại.

Câu 14: Gọi S là tập các số nguyên của a sao cho  có giá trị hữu hạn. Tính tổng các phần tử của S.

A. S = 4        B. S = 0

C. S = 2        D. S = 1

Câu 15: Cho hàm số  Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau

A. Hàm số liên tục trên khoảng (-∞ ; -1).

B. Hàm số liên tục trên khoảng (-1 ; +∞).

C. Hàm số liên tục tại điểm x₀ = 2.

D. Hàm số liên tục tại điểm x₀ = -1.

Câu 16: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t³ – 3t² – 9t + 2 ( t tính bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4 là v = 15 m/ s.

B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 5 là v = 18 m/ s.

C. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là v = 12 m/s.

D. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 hoặc t = 2.

Câu 17: Cho dãy số (u_n) có  . Số hạng bằng 1/5 là số hạng thứ mấy?

A. 10        B. 6

C. 12        D.11

Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = x. Tìm x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau một góc 60°.

Câu 19: Giới hạn (nếu tồn tại và hữu hạn) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ ?

Câu 20: Tìm khẳng định đúng trong các định đúng trong các khẳng định sau đây.

Câu 21: Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu là u₁ = 1 và công sai d = 1. Tìm n sao cho tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng 3003.

A. n = 79        B. n = 78

C. n = 77        D. n = 80

Câu 22: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.

A. Hàm số có giới hạn tại điểm x = a thì có đạo hàm tại điểm x = a.

B. Hàm số có đạo hàm tại điểm x = a thì liên tục tại điểm x = a.

C. Hàm số có giới hạn trái tại điểm x = a thì có đạo hàm tại điểm x = a.

D. Hàm số có liên tục tại điểm x = a thì có đạo hàm tại điểm x = a.

Câu 23: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x₃ + 3x² – 3x sao cho tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

A. y = -7x + 2      B. y = -7x – 2

C. y = -6x – 1      D. y = -6x – 3

Câu 24: Một cấp số nhân có bảy số hạng với số hạng đầu và công bội là các số âm. Biết tích của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 5184; tích của số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 746496. Khi đó số hạng thứ năm là:

Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong các đẳng thức véc tơ sau đây, đẳng thức nào đúng?

Câu 26: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB, cắt AC, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác M PQ là hình gì?

A. Hình thang vuông.

B. Hình chữ nhật.

C. Hình thang cân.

D. Hình bình hành.

Câu 27: Cho hàm số  . Để tính đạo hàm f’(x), hai học sinh lập luận theo hai cách như sau:

– Hỏi cách nào đúng trong hai các giải trên?

A. Cả hai đều đúng.

B. Chỉ (I) đúng.

C. Chỉ (II) đúng.

D. Cả hai đều sai.

Câu 28: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 5 và u_n+1 = 3 + u_n. Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Câu 29: Công thức tổng quát của dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 1; u_n+1 = 2u_n + 3 là:

Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC. A’B’C’, có cạnh bên AA’ = 21 cm, tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 42 cm. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC).

Câu 31: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.

B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c.

C. Nếu đường thẳng b song song với đường thẳng c thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c.

D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Câu 32: Cho biết tổng S = x + x² + x³ +…+ xⁿ. Tìm điều kiện của x để 

Câu 33: Cho tứ diện ABCD, biết hai tam giác ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

Câu 34: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây.

A. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn thẳng MN với N là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P) .

B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ thuộc a tới mặt phẳng (P).

C. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

D. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm N bất kỳ trên b đến một điểm M bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b.

Câu 35: Trong các giới hạn sau đây giới hạn nào có kết quả bằng +∞.

Câu 36: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A.Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

B.Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một một mặt phẳng thì song song với nhau.

C.Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

D.Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Câu 37: Cho hàm số  . Hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) bằng:

Câu 38: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân.

Câu 39: Cho hàm số f(x) = sin4x. cos4x. Tính 

A. 4        B. – 1

C. 2        D. – 2

Câu 40: Cho hàm số f(x). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.

A. Nếu hàm số liên tục trên (a, b) thì f(a).f(b) < 0.

B. Nếu f(a). f(b) < 0 thì hàm số liên tục trên (a, b).

C. Nếu hàm số liên tục trên (a, b) và f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên [a, b].

D. Nếu hàm số liên tục trên [a, b] và f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a, b).

Câu 41: Cho hàm số  . Tập nghiệm của bất phương trình f'(x) ≤ 0 là:

Câu 42: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

B. Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước.

C. Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước.

D. Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC; SD. Dựng KN // CD, với N ∈ SC. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa hai mặt phẳng (SAC); (SAD) là góc HAK.

B. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD); (SAD) là góc AKN.

C. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC); (ABCD) là góc BSA.

D. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là góc SCB.

Câu 44: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Ba véc-tơ  đồng phẳng khi và chỉ khi  với m,n là duy nhất.

B. Ba véc-tơ  đồng phẳng thì với mỗi véc-tơ  ta có  với m, n, p là duy nhất.

C. Ba véc-tơ đồng phẳng là ba véc-tơ nằm trong một mặt phẳng.

D. Nếu giá của ba véc-tơ  đồng quy thì ba véc-tơ đó đồng phẳng.

Câu 45: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB.

B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB.

C. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD.

D. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACD.

Câu 46: Các giá trị của x để 1 + sin x; sin²x; 1 + sin3x là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.

Câu 47: Tính tổng 

Câu 48: Cho hàm số  . Đạo hàm của hàm số là:

Câu 49: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

C. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này sẽ thuộc mặt phẳng kia.

D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc nhau.

 

 

Câu 50: Cho hàm số  . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây?

A. Hàm số liện tục trên R.

C. Hàm số gián đoạn tại x = 2.

B. Hàm số liện tục trên khoảng (-∞ ; 2).

D. Hàm số liện tục trên khoảng (2 ; +∞).

Đáp án & Hướng dẫn giải

Câu 1:

Chọn C.

– Hàm số g(x) = f(x) – x xác định và liên tục trên đoạn [a ; b].

– Suy ra: phương trình f(x) – x = 0 luôn có nghiệm trên khoảng (a, b).

Câu 2:

Chọn B.

Câu 3:

Chọn D.

– Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

– Hình chóp S.ABC là hình chóp đều nên SG ⊥ (ABC).

→ Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 90°.

Câu 4:

– Theo đầu bài ta có: u₁ = -15; u₈ = 69.

– Ta có:

Câu 5:

Chọn B.

+) Vì tam giác ABC vuông tại B nên BC ⊥ AB.

– Lại có:

+) Theo gt AH ⊥ SB vậy:

– Do đó AH không thể vuông góc với AC.(Một tam giác không thể có đồng thời hai góc vuông)

Câu 6:

Chọn B.

– Ta có:

Câu 7:

Chọn A.

– Ta có: 

– Nên x = -1 là 1 nghiệm của x² + ax + b = 0.

⇒ 1 – a + b = 0.

HOOCNE	1	a	b
-1	1	a – 1	1 – a + b

Câu 8:

Chọn A.

– Ta có: f(2) = m.

→ Hàm số liên tục tại điểm x = 2.

Câu 9:

Chọn A.

– Ta có:

Câu 10:

Chọn C.

– Ta có:

Câu 11:

Chọn A.

– Dựng AP ⊥ SD (P ∈ SD).

– Trong mp(SCD) dựng PN ⊥ SD (N ∈ SC)

– Khi đó mặt phẳng (P) ≡ (APN).

– Trong mặt phẳng (ABCD) dựng AK ⊥ AD (K ∈ BC).

– Mà: AK ⊥ SA ⇒ AK ⊥ SD ⇒ K ∈ (APN).

– Trong (SBC) , gọi M = NK ∩ SB. Khi đó tứ giác AMNP là thiết diện của mặt phẳng (P) với hình chóp S.ABCD suy ra tứ giác AMNP nội tiếp đường tròn.

Cách khác:

– Dựng AP ⊥ SD (P ∈ SD).

– Trong (SCD) dựng PN ⊥ SD (N ∈ SC).

– Khi đó mặt phẳng (P) ≡ (APN).

– Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD.

– Trong (SAC), gọi I = AC ∩ SO.

– Trong (SBD), gọi M = PI ∩ SB.

– Khi đó mặt phẳng (P) ≡ (AMNP).

– Ta có: IA.IN = IP.IM ⇒ AMNP nội tiếp đường tròn.

Câu 12:

Chọn B.

– Ta có: u₁ = S₁ = 3.

– Vậy M = u₁ + d = 3 – 2 = 1.

Câu 13:

Chọn B.

– Xét phương án B, ta có:

– Suy ra:

 không tồn tại.

Câu 14:

Chọn C.

– Ta có:

– Vì:

– Suy ra:  có giá trị hữu hạn nếu 2 – a = 0 hay a = 2.

Câu 15:

– Ta có:

– Suy ra:  nên hàm số gián đoạn tại điểm x₀ = -1.

Câu 16:

Chọn A.

– Ta có, phương trình vận tốc của chuyển động là:

– Do đó v(4) = 15 (m/s).

Câu 17:

Chọn C.

– Ta có:

Câu 18:

Chọn D.

– Kẻ BH ⊥ SC ⇒ DH ⊥ SC (hai đường cao tương ứng của hai tam giác bằng nhau).

   

– Có 2 trường hợp xảy ra:

TH1:

   

– Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có

   

TH2:

   

– Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có:

   

Câu 19:

Chọn C.

– Theo định nghĩa đạo hàm tại điểm x = x₀.

Câu 20:

Chọn B.

– Theo tính chất giới hạn của hàm số.

Câu 21:

Chọn C

– Do công sai và số hạng đầu là d = 1, u₁ = 1 nên đây là tổng của n số tự nhiên đầu tiên là:

Câu 22:

Chọn B

– Một hàm số có giới hạn tại điểm x = a thì nó liên tục tại x = a nhưng liên tục thì chưa chắc có đạo hàm ví dụ như hàm số:

 có giới hạn và liên tục tại x = 0, nhưng không có đạo hàm tại x = 0.

Câu 23:

Chọn C

– Ta có:

– Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x³ + 3x² – 3x là một giá trị của y’, nên hệ số góc nhỏ nhất là k = -6, ứng với hoành độ tiếp điểm là x = -1 ⇒ y = 5.

→ Phương trình tiếp tuyến là:

   y = -6(x + 1) + 5, hay y = -6x – 1.

 

Câu 24:

Chọn D

– Gọi u₁, u₂,…, u₇ là cấp số nhân cần tìm và q là công bội của cấp số nhân đó.

– Giả thiết ta có:

Câu 25:

Chọn D.

– Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O là trung điểm của AC và BD.

Câu 26:

Chọn A.

– Trong (SAB), từ M kẻ đường thẳng vuông góc với SB tại Q.

– Trong (SBC) từ Q kẻ đường thẳng vuông góc với SB cắt SC tại P.

– Do đó BC// QP, trong (ABC) từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N.

– Xét tứ giác MNPQ, ta có BC // QP nên tứ giác là là hình thang.

– Mặt khác:

 nên tứ giác MNPQ là hình thang vuông.

Câu 27:

Chọn A.

Ta có:

– Xét cách (I):

→ Vậy cách (I) đúng.

– Xét cách (II):

→ Vậy cách (II) đúng.

⇒ Do đó cả hai cách đều đúng.

Câu 28:

Chọn B.

– Ta có, u₁ = 5 và u_n+1 = 3 + u_n nên dãy số là cấp số cộng với công sai d = 3, số hạng đầu u₁ = 5.

– Do đó số hạng tổng quát của dãy số này là:

Câu 29:

Chọn C.

Cách 1:

– Ta có: u₁ = 1; u₂ = 2.1 + 3 = 5 nên sử dụng phương pháp thử từng đáp án ta chọn u_n = 2ⁿ⁺¹ – 3.

Cách 2:

– Xét dãy số (v_n) : v_n = u_n + 3.

– Ta có v_n+1 = u_n+1 + 3 = 2u_n + 6.

– Do đó (v_n) là cấp số nhân có số hạng đầu v₁ = 4, công bội q = 2.

– Vậy v_n = 4.2^n-1 = 2ⁿ⁺¹ nên u_n = 2ⁿ⁺¹ – 3.

Câu 30:

Chọn B.

– Tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 42cm 

– Tứ diện A.A’BC là tứ diện vuông tại A. Gọi h = d( A, (A’BC)), ta có:

Câu 31:

Chọn C.

– Phương án A sai vì góc giữa hai đường thẳng có thể là góc vuông.

– Phương án B sai vì đường thẳng b có thể trùng với đường thẳng c.

– Phương án D sai vì góc giữa hai vectơ có thể là góc tù.

– Phương án C đúng (theo định nghĩa sách giáo khoa).

Câu 32:

Chọn A.

– Ta có, S là tổng của n số hạng của một cấp số nhân với 

– Suy ra  khi đó là cấp số nhân lùi vô hạn.

– Do đó |q| < 1 hay |x| < 1.

Câu 33:

Chọn A.

+) Tam giác ABC cân tại A có AI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: AI ⊥ BC (1)

+) Tam giác BCD cân tại D có DI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: DI ⊥ BC (2)

– Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (ADI).

Câu 34:

Chọn D.

– Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm N bất kỳ trên b đến mặt phẳng (P) chứa a và song song với b.

Câu 35:

Chọn C.

– Ta có:

Câu 36:

Chọn C.

– Theo lý thuyết.

Câu 37:

Chọn A.

– Ta có:

Câu 38:

Chọn B.

– Theo tính chất của cấp số nhân: 

+ Đáp án A: (-8)² ≠ -4.16 nên A sai.

+ Đáp án C: 6² ≠ 4.8 nên C sai.

+ Đáp án D:  nên D sai.

Câu 39:

Chọn D.

Câu 40:

Chọn D.

– Theo lý thuyết.

Câu 41:

Chọn A

– Ta có:

– Suy ra bất phương trình vô nghiệm.

Câu 42:

Chọn D

Câu 43:

Chọn B

– Ta có:

Câu 44:

Chọn A

Câu 45:

Chọn A

– Ta có: 

– Suy ra AB là hình chiếu của AC lên (ABD).

– Do đó: 

Câu 46:

Chọn A.

– Để: 1 + sin x; sin²x; 1 + sin3x là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì:

– Biểu diễn 3 họ nghiệm đó trên đường tròn lượng giác thì vị trí các điểm xuất hiện là:  . Do đó loại Đáp án B, C.

– Đáp án D. Thiếu nghiệm.

– Đáp án A. Đầy đủ nhất.

+) Với  thì vị trí điểm biểu diễn là: -π/2 ứng với k = 0

+) Với  thì vị trí điểm biểu diễn là:  ứng với k = 0,1,2.

Câu 47:

Chọn D.

– Dãy số:  là cấp số nhân lùi vô hạn có: 

Câu 48:

– Chọn C.

Câu 49:

Chọn B.

+) Đáp án A. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

+) Đáp án C. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này sẽ thuộc hoặc không thuộc mặt phẳng kia.

+) Đáp án D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì: song song hoặc cắt nhau.

Câu 50:

Chọn A.

– Với mọi x ≠ 2 thì hàm số liên tục.

– Tại điểm x = 2 ta có f(2) = 3.

→ Do đó hàm số gián đoạn tại x = 2.

Phòng Giáo dục và Đào tạo …..

Đề thi Học kì 2 – Năm học ….

Môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề 3)

Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1: Cho hàm số  . Đạo hàm y’ của hàm số là biểu thức nào sau đây?

Câu 2: Cho dãy số (u_n) xác định bởi  . Tính lim u_n

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD). Biết  . Tính góc giữa SC và mp (ABCD).

A. 30°        B. 45°

C. 60°        D. 75°

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hệ thức nào sau đây đúng?

Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A (2; 3) tới đồ thị hàm số  là:

Câu 6: Cho hàm số f(x) = x³ – 3x + 2018. Tập nghiệm của bất phương trình f'(x) > 0 là:

Câu 7: Tìm m để các hàm số  có giới hạn khi x → 0.

Câu 8: Giới hạn  bằng:

Câu 9: Tìm a,b để hàm số  có đạo hàm tại x = 0?

Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và  . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ  ?

A. 60°        B. 120°

C. 45°        D. 90°

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ΔABC vuông ở B, AH là đường cao của ΔSAB. Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 12: Giới hạn  bằng:

Câu 13: Đạo hàm của hàm số  là:

Câu 14: Cho hàm số  . Với giá trị nào của k thì  ?

A. k = -1        B. k = 1

C. k = -2        D. k = 3

Câu 15: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t³ – 3t² – 9t + 2 (t tính bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 hoặc t = 2.

B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t= 2 là v = 18m/s.

C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là a = 12m/s2.

D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0.

Câu 16: Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

A. 60°        B. 90°

C. 45°        D. 30°

Câu 17: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, M là trung điểm của BB’. Đặt  . Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 18: Giá trị của  bằng:

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tan của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:

Câu 20: Cho hàm số  , có đồ thị là (C). Tìm biết tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox có phương trình là  ?

Phần II: Tự luận

Câu 1: Tìm các giới hạn sau:

Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x₀ = 2

Câu 3: Cho hàm số y = f(x) = -x³ – 3x² + 9x + 2011 có đồ thị (C).

a) Giải bất phương trình: f'(x) ≤ 0.

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.

   1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.

   2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).

   3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.

Đáp án & Hướng dẫn giải

Phần I: Trắc nghiệm

1. C	2. A	3. A	4. C	5. C
6. C	7. D	8. D	9. C	10. D
11. C	12. A	13. D	14. B	15. C
16. B	17. D	18. C	19. A	20. D

Câu 1:

Đáp án C

Cách 1: Ta có:

Cách 2: Ta có:

Câu 2:

Đáp án A

– Theo công thức giới hạn đặc biệt, ta có:

Câu 3:

Đáp án A.

– Ta có:

– Vì ABCD là hình vuông cạnh a.

Câu 4:

Đáp án C.

– Phương pháp: Sử dụng công thức ba điểm và các vectơ bằng nhau.

– Cách giải:

+ Ta có: 

+ Mà:

Câu 5:

Đáp án C.

– Ta có:

– Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):  tại điểm M(x₀;y₀) ∈ (C) với x₀ ≠ là:

– Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 3) nên ta có:

– Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là:

Câu 6:

Đáp án C.

– Phương pháp:

+) Tính f'(x).

+) Sử dụng quy tắc trong trái ngoài cùng giải bất phương trình bậc hai.

– Cách giải:

+ Ta có:

   

→ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 

Câu 7:

Đáp án D.

– Ta có:

   

– Hàm số có giới hạn khi x → 0 khi và chỉ khi:

   

Câu 8:

Đáp án D.

– Phương pháp: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử.

– Cách giải:

+ Ta có:

   

Chú ý: HS có thể sử dụng chức năng CALC trên MTCT để tìm giới hạn của hàm số.

Câu 9:

Đáp án C.

– Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 0 khi và chỉ khi:

+ Hàm số liên tục tại x = 0.

+ Đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại điểm x = 0 bằng nhau.

+) Ta có:

   

– Do đó, để hàm số liên tục tại x= 0 khi b = 1 .

+) Ta có: f(0) = 1.

   

– Vậy a = 0, b = 1 là những giá trị cần tìm.

Câu 10:

Đáp án D

Cách 1:

– Ta có: SA = SB = SC nên:

– Do đó, tam giác ABC đều. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

– Vì hình chóp S.ABC có SA = SB = SC nên hình chiếu của S trùng với G. Hay SG ⊥ (ABC).

– Vậy góc giữa cặp vectơ  bằng 90°.

Cách 2:

– Ta có:

Câu 11:

Chọn C.

+) Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC nên câu A đúng.

+) Tam giác ABC vuông ở B nên AB ⊥ BC

   – Lại có: SA ⊥ BC (vì SA ⊥ (ABCD))

   → Do đó: BC ⊥ (SAB) ⇒ AH ⊥ BC.

   nên câu B đúng.

+) Theo trên ta có:

   

⇒ D đúng.

– Vậy câu C sai.

Câu 12:

Đáp án A.

– Ta có:

   

Câu 13:

Đáp án D.

– Phương pháp: Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp  và công thức tính nhanh 

– Cách giải:

   

Câu 14:

Đáp án B

– Ta có:

   

Câu 15:

Đáp án C.

– Phương trình vận tốc của chuyển động là:

   

– Phương trình gia tốc của chuyển động là:

   

Câu 16:

Đáp án B.

   

– Phương pháp: Tứ diện đều có các cặp cạnh đối vuông góc.

– Cách giải:

+ Gọi M là trung điểm của CD ta có:

   

+ Ta có:

   

Câu 17:

Đáp án D.

– Ta phân tích như sau:

   

Câu 18:

Đáp án C.

– Ta có:

   

Câu 19:

Đáp án A.

– Phương pháp:

+) Xác định góc giữa mặt bên và đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc 2 mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

+) Tính tan của góc xác định được.

Cách giải:

   

– Gọi O = AC ∩ BD. Do S.ABCD là chóp đều ⇒ SO ⊥ (ABCD).

– Gọi M là trung điểm của CD ta có: OM là đường trung bình của tam giác BCD ⇒ OM // BC ⇒ OM ⊥ CD.

– Ta có:

   

– Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông SOM ta có:

   

Câu 20:

Đáp án D.

– Ta có: 

+) Giao điểm của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox là 

+ ) Tiếp tuyến tại A có phương trình: 

   

+) Tiếp tuyến tại A có hệ số góc 

   

– Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: a = -1, b = 4.

Phần II: Tự luận

Câu 1:

   

   

Câu 2:

   

– Tập xác định D = R.

– Ta có: f(2) = 3/2.

   

– Vì  nên hàm số không liên tục tại x = 2.

Câu 3:

a) Ta có:

   

b) Với x₀ = 1 thì y₀ = 2016 và f’(1) = 0.

– Do đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x= 1 là

   y = 0(x- 1) + 2016 hay y = 2016.

Câu 4:

   

1) CMR: BC ⊥ (ADH) và DH = a.

● Δ ABC đều, H là trung điểm BC nên AH  BC, AD  BC

⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH.

⇒ DH = d(D, BC) = a

2) CMR: DI ⊥ (ABC).

● AD = a, DH = a ΔDAH cân tại D.

– Mặt khác I là trung điểm của AH nên DI ⊥ AH.

● BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI.

⇒ DI ⊥ (ABC).

3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.

● Trong ΔADH vẽ đường cao HK tức là HK ⊥ AD (1)

– Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK (2)

– Từ (1) và (2) ta suy ra d(AD, BC) = HK.

● Xét ΔDIA vuông tại I ta có:

   

● Xét ΔDAH ta có:

   

 

Phòng Giáo dục và Đào tạo …..

Đề thi Học kì 2 – Năm học ….

Môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề 4)

Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1: Cho hàm số y = x² + 2x + 2000 có đồ thị (C) . Khi đó tiếp tuyến của (C) tại điểm M( 1; 2003) có hệ số góc là:

A. k = 4        B. k = -2

C. k = 2        D. k = -4

Câu 2: Đạo hàm của hàm số  là:

Câu 3: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có công bội q. Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó được tính bởi công thức nào sau đây:

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt  . Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 5: Hãy chọn câu đúng?

A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng song song nhau nếu chúng không có điểm chung.

C. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. Không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và b thì ta nói a và b chéo nhau.

Câu 6: Trong không gian cho đường Δ và điểm O. Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với Δ ?

A. 2        B. Vô số

C. 1        D. 3

Câu 7: Đạo hàm của hàm số  là:

Câu 8: Tính giới hạn 

Câu 9: Tính giới hạn 

Câu 10: Giá trị đúng của lim(3ⁿ – 5ⁿ) là:

Câu 11: Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của hình lăng trụ đứng:

A. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng vuông góc với nhau

B. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật

C. Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng bằng nhau và song song với nhau

D. Hai đáy của hình lăng trụ đứng có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau

Câu 12: Đạo hàm của hàm số  tại x = 0 là:

A. -4        B. 4

C. 2        D. 1

Câu 13: Chọn kết quả đúng của 

Câu 14: Số gia của hàm số f(x) = x³ ứng với x₀ = 2 và Δx = 1 bằng bao nhiêu?

A. -19.        B. 7.

C. 19.        D. -7.

Câu 15: Tìm giới hạn 

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mp(ABCD) là góc nào?

Câu 17: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a và  . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ  ?

A. 60°        B. 45°

C. 120°        D. 90°

Câu 18: Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng:

Câu 19: Tìm giới hạn 

Câu 20: Hàm số y = f(x) có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

Câu 21: Tìm a, b để hàm số  có đạo hàm tại x = 1.

Câu 22: Cho hàm số  . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Với a = -1 thì hàm số đã cho liên tục tại x = 1.

B. Với a = 1 thì hàm số đã cho liên tục trên R.

C. Với a = -1 thì hàm số đã cho liên tục trên R.

D. Với a = 1 thì hàm số đã cho gián đoạn tại x = 1.

Câu 23: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 24: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số  tại điểm có hoành độ x = -1 vuông góc với đường thẳng d : 2x – y – 3 = 0.

Câu 25: Cho hàm số  Tập các giá trị của x để 2x.f'(x) – f(x) ≥ 0 là:

Phần II: Tự luận

Câu 1: Tìm giới hạn:

Câu 2:

1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 

Câu 3:

1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

2)Cho hàm số 

   a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2.

   b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: 

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a√2.

   1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.

   2) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD).

   3) Tính góc giữa SC và mp (SAB).

   4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).

Đáp án & Hướng dẫn giải

Phần I: Trắc nghiệm

1. A	2. C	3. B	4. A	5. D
6. B	7. D	8. A	9. D	10. A
11. A	12. C	13. C	14. C	15. C
16. B	17. D	18. B	19. A	20. B
21. D	22. B	23. C	24. A	25. D

Câu 1:

Đáp án A

– Ta có: y = x²+ 2x + 2000 nên y’(x) = 2x + 2

– Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(1; 2003) là:

   k = y’(1) = 2.1 + 2 = 4.

Câu 2:

Đáp án C

– Sử dụng công thức tính đạo hàm 

– Cách giải:

Câu 3:

Đáp án B

– Cách giải:

   Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có công bội q. Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó được tính bởi công thức 

Câu 4:

Đáp án A.

– Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD.

Câu 5:

Đáp án D.

– Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì có thể trùng nhau ⇒ A sai.

– Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song hoặc chéo nhau ⇒ B sai.

– Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì có thể cắt, trùng hoặc chéo nhau ⇒ C sai.

– Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng ⇒ D đúng.

Câu 6:

Đáp án B

– Phương pháp: 

– Cách giải: Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua O có vô số đường thẳng vuông góc Δ. Chúng nằm trong mặt phẳng qua O và vuông góc với Δ.

Câu 7:

Đáp án D

– Ta có:

Câu 8:

Đáp án A

– Ta có:

   

Câu 9:

Đáp án D

– Ta có:

   

Câu 10:

Chọn A

– Ta có:

   

Câu 11:

Đáp án A

– Phương pháp: Hình lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.

– Cách giải: Các cạnh bên của lăng trụ đứng cùng vuông góc với đáy nên chúng song song với nhau, do đó đáp án A sai

Câu 12:

Đáp án C

– Ta có:

   

Câu 13:

Đáp án C

   

Câu 14:

Đáp án C

– Ta có : x₀ + Δx = 2 + 1 = 3.

– Do đó, số gia của hàm số đã cho là:

Câu 15:

Đáp án C

– Ta có:

   

Câu 16:

Đáp án B

– Phương pháp: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng đó.

– Cách giải:

   + Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ A là hình chiếu của S trên mp(ABCD)

⇒ AC là hình chiếu của SC trên mp(ABCD).

   

– Vậy góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) là góc 

Câu 17:

Đáp án D

   

– Ta có:

   

Câu 18:

Đáp án B

– Phương pháp: Sử dụng công thức ba điểm và công thức hình bình hành

– Cách giải:

+ Do ABCD.A₁B₁C₁D₁ là hình lập phương nên ACC₁A₁ là hình chữ nhật.

   ⇒ O là trung điểm của AC₁ 

+ Ta có:

   

Câu 19:

Đáp án A

+ Ta có:

Câu 20:

Đáp án B

– Phương pháp: Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x = x₀ khi và chỉ khi 

– Cách giải:

+ Dễ thấy hàm số liên tục trên (-∞ ; 1) và (1 ; +∞)

+ Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

   

→ Do đó không tồn tại  , đồng nghĩa với việc hàm số gián đoạn tại x = 1.

Câu 21:

Đáp án D

– Ta có:

   

– Hàm có đạo hàm tại thì hàm liên tục tại x = 1 ⇔ a + b = 2 (1)

– Hàm có đạo hàm tại 

Câu 22:

Đáp án B

– Hàm số xác định với mọi x ∈ R.

– Hàm số đã cho liên tục với mọi x ≠ 1.

– Ta có:

   

– Để hàm số liên tục tại x= 1 khi và chỉ khi:

   

– Vậy với a = 1 thì hàm số đã cho liên tục tại x = 1. Do đó, hàm số liên tục trên R.

Câu 23:

Đáp án C.

   

– Gọi E là trung điểm của BC.

+)Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A có AE là đường trung tuyến nên: AC ⊥ BC.

+) Tam giác BCD có DB = DC nên tam giác DBC cân tại D có DE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: DE ⊥ BC.

+) Ta có:

   

Câu 24:

Đáp án A

– Tập xác định: D = R.

– Đạo hàm: . y = 4x³ + 4x.

– Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình:

   

– +) Tại M(1; 2) thì y’(1) = 8. Phương trình tiếp tuyến là:

   y = 8(x – 1) + 2 hay y = 8x – 6.

+) Tại N(-1; 2) thì y’(-1) = -8. Phương trình tiếp tuyến là:

   y = -8(x + 1) + 2 hay y = -8x – 6.

– Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là: y = 8x – 6 và y = -8x – 6.

Câu 25:

Đáp án D

– Phương pháp: Sử dụng công thức  và  tính f'(x). Từ đó giải bất phương trình.

– Cách giải:

+ Ta có: 

+ Theo đề bài ta có: 2x.f'(x) – f(x) ≥ 0.

   

+ Thử các đáp án:

+ Với  thuộc tập nghiệm của BPT.

   ⇒ Loại đáp án A, B và C.

Phần II: Tự luận

Câu 1:

Câu 2:

1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

● Hàm số liên tục với mọi x ≠ 3.

● Tại x = 3, ta có:

⇒ Hàm số không liên tục tại x = 3.

– Vậy hàm số liên tục trên các khoảng (-∞ ; 3), (3 ; +∞).

2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 

– Xét hàm số: f(x) = 2x³ – 5x² + x + 1 là hàm đa thức.

⇒ Hàm số f liên tục trên R.

– Ta có:

 có ít nhất một nghiệm c₁ ∈ (0;1).

 có ít nhất một nghiệm c₂ ∈ (2;3).

– Mà c ≠ c₂ nên PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm.

Câu 3:

1)

2)

a) Với x = –2 ta có: y = –3 và y'(2) = 2.

b) d:  có hệ số góc k = 1/2 ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 1/2.

– Gọi (x₀, y₀) là toạ độ của tiếp điểm.

– Ta có:

Câu 4:

1)

● SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB, SA ⊥ AD.

⇒ Các tam giác SAB, SAD vuông tại A.

● BC ⊥ SA, BC ⊥ AB.

⇒ BC ⊥ SB ⇒ ΔSBC vuông tại B.

● CD ⊥ SA, CD ⊥ AD.

⇒ CD ⊥ SD ⇒ ΔSCD vuông tại D.

2)

● BD ⊥ AC, BD ⊥ SA

⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC).

3)

● BC ⊥ (SAB) ⇒ 

● ΔSAB vuông tại A 

● ΔSBC vuông tại B 

4) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

● Ta có:

● ΔSAO vuông tại A