Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
Tài liệu gồm có:
I. Lý thuyết
1 Bài thơ, bài vè, mẹo học nhanh công thức lượng giác
1.1 Định nghĩa giá trị lượng giác (LG)
,
,
,
,
Sao đi học (sin = đối / huyền)
Cứ khóc hoài (cos = kề/ huyền)
Thôi đừng khóc (tan = đối/ kề)
Có kẹo đây (cot = kề/ đối)
Hoặc:
Tìm sin lấy đổi chia huyền
Cosin lấy cạnh kề, huyền chia nhau.
Còn tang ta tính như sau:
Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền.
Cotang cũng dễ ăn liền,
Kề trên, đối dưới chia liền là ra.
1.2 Giá trị LG thông dụng
\(\sin {30^o} = \cos {60^o} = \frac{1}{2}\),
\(\cos {30^o} = \sin {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Sin 3 cos 6: nửa phần
Cos 3 sin 6: nửa phần căn ba
1.3 Tính chất
1.3.1 Cung liên kết
Cos đối:
\(\cos \left( { – a} \right) = \cos a\).
Sin bù:
\(\sin \left( {\pi – a} \right) = \sin a\).
Hơn kém pi tang:
\(\tan \left( {\pi + a} \right) = \tan a\),
\(\cot (\pi + a) = \cot a\).
Phụ chéo1:
\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right) = \cos a\),
\(\cos \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right) = \sin a\),
\(\tan \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right) = \cot a\),
\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right) = \tan a\).
Hơn kém nửa pi thì: đối chéo2.
\(\sin \left( {a + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( { – a} \right) = + \cos a\).
1.3.2 Dấu
Ta gọi cung thứ I, II, III, IV lần lượt là các góc phần tư thứ I, II, III, IV (ngược chiều kim đồng hồ) của mặt phẳng toạ độ Oxy. Khi đó dấu của các hàm lượng giác sẽ tuân thủ theo quy luật sau:
Nhất đủ, nhì sin, tam tang, tứ cos.
Nghĩa là ở cung I thì sin, cos, tang3 đều dương. Đối với cung II thì chỉ có sin là dương, còn cos hay tang thì đều âm…
1.4 Công thức LG
1.4.1 Công thức cộng
\(\sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\),
\(\cos \left( {a \pm b} \right) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b\).
1Hai góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tan góc này = cot góc kia (và ngược lại).
2Đúng ra phải là “chéo đối” mới đúng! Tức là đổi chéo cung sin thành cos, tan thành cot đồng thời góc bên trong bị đổi dấu.
3Cotang giống dấu của tang nên khỏi xét.
Sin thì sin cos cos sin
Cos thì cos cos sin sin “ coi chừng” (dấu trừ).
\(\tan \left( {a \pm b} \right) = \frac{{\tan a \pm \tan b}}{{1 \mp \tan a\tan b}}\).
Tang tổng thì lấy tổng tang
Chia một trừ với tích tang, ra liền.
Hoặc:
Tang thì tang cộng tang kia
Nhớ chia cho 1 mà trừ tang tang.
\(\cot \left( {a + b} \right) = \frac{{\cot a\cot b – 1}}{{\cot a + \cot b}}\)
Cotang chớ có phiền hà
Tích cô trừ 1, mẫu là tổng cô4.
1.4.2 Công thức biến tích thành tổng
\(\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a – b} \right)} \right]\),
\(\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a – b} \right) – \cos \left( {a + b} \right)} \right]\),
\(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a – b} \right)} \right]\).
Cos cos nửa cos- cộng, cộng cos- trừ
Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng
Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ.
Hoặc:
Nhớ rằng hiệu trước, tổng sau; một phần hai phải nhân vào
Sin sin, cos tổng lao xao dấu trừ5
Cos thì cos hết
Sin sin cos cos, sin cos sin sin.
\(\tan a\tan b = \frac{{\tan a + \tan b}}{{\cot a + \cot b}}\)
Tang ta nhân với tang mình, tổng tang chia tổng cotang thui mà.
4Chú ý: Công thức này chỉ áp dụng cho cotang của một tổng thôi.
5Dấu trừ phía trước \(\cos \left( {a + b} \right)\) khi tính \(\sin a\sin b\).
1.4.3 Công thức biến tổng thành tích
\(\cos a + \cos b = 2\left[ {\cos \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{a – b}}{2}} \right)} \right]\),
\(\cos a – \cos b = – 2\left[ {\sin \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{a – b}}{2}} \right)} \right]\),
\(\sin a + \sin b = 2\left[ {\sin \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{a – b}}{2}} \right)} \right]\),
\(\sin a – \cos b = 2\left[ {\cos \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{a – b}}{2}} \right)} \right]\).
Góc chia đôi: trước cộng, sau trừ
Cos cộng cos là 2 cos cos
Cos trừ cos trừ 2 sin sin
Sin cộng sin là 2 sin cos
Sin trừ sin là 2 cos sin.
\(\tan a \pm \tan b = \frac{{\sin \left( {a \pm b} \right)}}{{\cos a\cos b}}\).
Tổng tang ta lấy sin tòng (sin của tổng)
Chia cho cos cos khó lòng lại sai.
Hoặc:
Tang ta cộng với tang mình
Bằng sin hai đứa trên cos mình, cos ta.
\(\cos a \pm \sin b = \sqrt 2 \cos \left( {a \mp \frac{\pi }{4}} \right)\),
\(\sin a \pm \cos b = \sqrt 2 \sin \left( {a \pm \frac{\pi }{4}} \right)\).
Cos cộng sin bằng căn hai cos, của a trừ cho 4 dưới \(p{i^6}\)
Sin cộng cos bằng căn hai sin, của a cộng cho pi trên 4.
1.4.4 Công thức nhân ba
\(\sin 3a = 3\sin a – 5{\sin ^3}a\),
\(\cos 3a = 4{\cos ^3}a – 3\cos a\).
6Trong công thức này, “tính theo cos dấu phải coi chừng”.
Sin 3 thì 3 sin trừ 4 xỉn
Cos 3 thì 4 cổ trừ 3 cô7.
Hoặc:
Cos ra cos, sin ra sin;
Sin thì 3, 4; cos thì 4, 3.
Dấu trừ ở giữa phân ra
Lập phương chỗ bốn, thế là ok.
\(\tan 3a = \frac{{3\tan a – {{\tan }^3}a}}{{1 – 3{{\tan }^3}a}}\).
Ba tang trừ tang lập
Một trừ ba tang bình
Tang ba đứa chúng mình \(\left( {\tan 3a} \right)\)
Đã tường minh rồi đó!
1.4.5 Đẳng thức LG trong tam giác
\(\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos \left( {\frac{A}{2}} \right)\cos \left( {\frac{B}{2}} \right)\cos \left( {\frac{C}{2}} \right)\),
\(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C\),
\({\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2 + 2\cos A\cos B\cos C\).
Tổng sin: bốn tích cos – \(chi{a^8}\).
Tổng sin-hai được: bốn- lần tích-sin.
Hai-lần tích-cos cộng hai,
Tổng bình-sin tức tổng thẳng sin sin.
\(\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \left( {\frac{A}{2}} \right)\sin \left( {\frac{B}{2}} \right)\sin \left( {\frac{C}{2}} \right)\),
\(\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = – 1 – 4\cos A\cos B\cos C\),
\({\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = 1 – 2\cos A\cos B\cos C\).
Cos-một thì tích sin-chia,
Cos-hai, bình-cos tích cờ ót nhau.
(Cos-hai cùng với cos-bình
Cái nào vế phái cũng là cos nhân).
7Từ nào có dấu hỏi là luỹ thừa ba.
8”Cos chia” hay “Cos góc chia” thì góc chia ở đây là \(\frac{A}{2},\frac{B}{2}…\); còn góc nguyên là A,B,…
9Bài thơ trên chưa thể hiện hết vế phải của các công thức.
Xem thêm