Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số
I) Phương pháp sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số
1. Kiến thức sử dụng:
Định nghĩa: lim un = L Û “e > 0, $ N Î N*: ” n ³ N Þ | un – L| < e
Sử dụng:
– Tiêu chuẩn Cô-si: Dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi e > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m, n ³ N ta có |xm – xn| < e .
– Nguyên lý ánh xạ co: Nếu với mọi x, y ta có |f(x) – f(y)| £ q|x – y| với q là hằng số 0 < q < 1 và và {xn} bị chặn thì {xn} hội tụ. Đặc biệt nếu |f(x) £ q < 1|thì ta luôn có điều này.
Ý tưởng chính: Đánh giá |un – L| £ q|un-1 – L|; q < 1 và |un – un| £ q|un – un-1|; q < 1
Phương pháp này thường được dùng khi ta thấy dãy số không tăng, không giảm.
2. Các ví dụ:
Bài 1: Cho dãy số u1 = \[\frac{1}{3}\] và un+1 = \[\frac{1}{2}u_n^2 – 1\]. Tìm giới hạn dãy số?
HD: Chứng minh: – 1 < un < 0
Giải phương trình x = \[\frac{1}{2}{x^2} – 1\] Þ x = 1 – \[\sqrt 3 \] = a
Xét \[\left| {{u_n} – a} \right| = \left| {\frac{{u_n^2}}{2} – 1 – \left( {\frac{{{a^2}}}{2} – 1} \right)} \right| = \frac{1}{2}\left| {{u_n} – a} \right|\left| {{u_n} + a} \right| < \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left| {{u_n} – a} \right|\]
Suy ra lim un = 1 – \[\sqrt 3 \]
Bài 2. Cho số thực a và dãy số thực (un) xác định bởi:
u1 = a và un+1 = ln(3 + cos un + sin un) – 2008 với mọi n =1,2,3…
Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn hữu hạn.
HD: Đặt f(x) = ln(3 + cos un + sin un) – 2008 thì \[f'(x) = \frac{{\cos x – \sin x}}{{3 + \sin x + \cos x}}\]
Từ đó, sử dụng đánh giá \[\left| {\cos x – \sin x} \right| \le \sqrt 2 ;\left| {\cos x + \sin x} \right| \le \sqrt 2 \] ta suy ra \[\left| {f'(x)} \right| \le \frac{{\sqrt 2 }}{{3 – \sqrt 2 }} = q < 1\].
Áp dụng định lý Lagrange với m > n ³ N, ta có:
\[\left| {{u_m} – {u_n}} \right| = \left| {f({u_{m – 1}}) – f({u_{n – 1}})} \right| \le q\left| {{u_{m – 1}} – {u_{n – 1}}} \right| \le … \le {q^{n – 1}}\left| {{u_{m – n + 1}} – {u_1}} \right|\]
Do dãy (un) bị chặn và q < 1 nên dãy (xn) thoả mãn điều kiện Cauchy nên có giới hạn hữu hạn.
Bài 3: Cho dãy số u1 = 1 và un+1 = \[\frac{1}{{1 + {u_n}}}\]. Tìm giới hạn dãy số?
HD: Chứng minh: 0 < un < 1
Giải phương trình x = \[\frac{1}{{1 + x}}\] Þ x = \[\frac{{\sqrt 5 – 1}}{2}\]= a
Xét |un+1 – a| = \[\left| {\frac{1}{{1 + {u_n}}} + \frac{1}{{1 + a}}} \right| = \frac{2}{{1 + \sqrt 5 }}\frac{{\left| {{u_n} – a} \right|}}{{\left| {1 + {u_n}} \right|}} < \frac{2}{{1 + \sqrt 5 }}\left| {{u_n} – a} \right|\]
Suy ra lim un = \[\frac{{\sqrt 5 – 1}}{2}\]= a
Bài 4: Cho dãy số (un) định bởi u1 Î (1, 2) và un+1 = 1 + un – \[\frac{{u_n^2}}{2}\].Chứng minh rằng (un) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
HD: Chứng minh: rằng 1 < un < \[\frac{3}{2}\]
Giải phương trình x = 1 + x – \[\frac{1}{2}\]x2 Þ x = \[\sqrt 2 \] = a
Xét
\[\begin{array}{l}\left| {{u_{n + 1}} – a} \right| = \left| {{u_{n + 1}} – \sqrt 2 } \right| = \left| {1 + {u_n} – \frac{{u_n^2}}{2} – \sqrt 2 } \right|\\ = \left| {{u_n} – \sqrt 2 } \right|\left| {\frac{{\sqrt 2 + {u_n} – 1}}{2}} \right| < \left| {\frac{{2\sqrt 2 + 1}}{4}} \right|\left| {{u_n} – \sqrt 2 } \right|\end{array}\]
Suy ra lim un = \[\sqrt 2 \]
3. Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho dãy số u1 = 2012 và un+1 = \[\frac{1}{{4 – 3{u_n}}}\]. Tìm giới hạn dãy số?
Bài 2: Cho dãy số u1 = a và un+1 = \[\frac{{2012}}{3}\]ln(un2 + 20122) – 20122. Chứng minh dã số có giới hạn.
II) Phương pháp sử dụng công thức, tính chất của các dãy số đặc biệt
1. Kiến thức sử dụng:
– Tính chất của các dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân – Các công thức đối với các dãy số quen thuộc:
\[\frac{1}{{n(n + 1)}} = \frac{1}{n} – \frac{1}{{n + 1}}\]
1 + 2 + 3+ … + n = \[\frac{1}{2}\]n(n + 1)
12 + 22 + 32 + … + n2 = \[\frac{1}{6}\]n(n + 1)(2n + 1)
13 + 23 + 33 + … + n3 = \[{\left[ {\frac{{n(n + 1)}}{2}} \right]^2}\]
Ý tưởng chính: Đưa các dãy số về các dãy số quen thuộc 2.
Các ví dụ:
Bài 1: Cho dãy số un = \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + … + \frac{1}{{n(n + 1)}}\]. Tìm giới hạn dãy số?
HD: un = \[\frac{1}{1} – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} – \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n} – \frac{1}{{n + 1}} = 1 – \frac{1}{{n + 1}}\].
Suy ra lim un = 1
Bài 2: Cho dãy số un = \[\frac{{{1^2} + {3^2} + {5^2} + … + {{(2n – 1)}^2}}}{{{2^2} + {4^2} + {6^2} + … + {{(2n)}^2}}}\]. Tìm giới hạn dãy số?
HD: un + 1 = \[ = \frac{{\frac{{2n(2n + 1)(4n + 1)}}{6}}}{{4.\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}}} = \frac{{(4n + 1)}}{{2(n + 1)}}\]
Suy ra lim un = 1
Bài 3: Cho dãy số u1 = 5 và un+1 = \[\frac{{5{u_n} + 4}}{{{u_n} + 2}}\]. Tìm giới hạn dãy số?
HD: Chứng minh: un ¹ 4
Ta có: un+1 – 4 = \[\frac{{{u_n} – 4}}{{{u_n} + 2}}\] Þ \[\frac{1}{{{u_{n + 1}} – 4}} = 1 + \frac{6}{{{u_{n + 1}} – 4}}\]
Xét xn = \[\frac{1}{{{u_n} – 4}} + \frac{1}{5} \Rightarrow {u_n} = 4 + \frac{5}{{{6^n} – 1}}\]
Suy ra lim un = 4
Bài 4: Cho dãy số u1 = \[\frac{2}{3}\] và un+1 = \[\frac{{{u_n}}}{{2(2n + 1){u_n} + 1}}\]. Tìm giới hạn dãy số xn = \[\sum\limits_{i = 1}^n {{u_n}} \]?
HD: Đặt vn = \[\frac{1}{{{u_n}}}\] Þ vn = \[\frac{{(2n – 1)(2n + 1)}}{2}\]
Þ un = \[\frac{1}{{2n – 1}} – \frac{1}{{2n + 1}}\]
Suy ra lim xn = 1
Bài 5: Cho dãy số u1 = 1 và un+1 = \[\sqrt {u_n^2 + {a^n}} \] (0 < a < 1). Tìm giới hạn dãy số?
HD: Chứng minh: u12 = 1; u22 = 1 + a; u32 = 1 + a + a2 + …an-1
Suy ra : un = \[\frac{{1 – {a^n}}}{{1 – a}}\]
Vậy lim un = \[\frac{1}{{\sqrt {1 – a} }}\]
Bài 6: Cho dãy số u1 = 2011 và un-1 = n2 (un-1 – un). Tìm giới hạn dãy số?
HD: Ta có: 0 < un = \[\frac{{({n^2} – 1){u_{n – 1}}}}{{{n^2}}}\]< un-1
Mặt khác:
un = \[\frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}}{u_{n – 1}} + \frac{{(n – 1)(n + 1)(n – 2)n}}{{{n^2}{{(n – 1)}^2}}}{u_{n – 2}}\]
\[ = … = \frac{{n + 1}}{{2n}}{u_1} = \frac{{n + 1}}{{2n}}2011\]
Vậy lim un = \[\frac{{2011}}{2}\]
3. Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho dãy số un = \[\frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + … + \frac{1}{{n(n + 1)(n + 2)}}\]. Tìm giới hạn dãy số? Bài 2: Cho dãy số un = \[\frac{{{1^3} + {3^3} + {5^3} + … + {{(2n – 1)}^3}}}{{{2^3} + {4^3} + {6^3} + … + {{(2n)}^3}}}\]. Tìm giới hạn dãy số?
Bài 3: Cho dãy số un = \[\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{4^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\]. Tìm giới hạn dãy số? Bài 4: Cho dãy số u1 = 1 và un+1 = \[\sqrt[n]{{u_n^n + {a^n}}}\] ( 0 < a < 1). Tìm giới hạn dãy số?
III) Phương pháp sử dụng định lí kẹp
1. Kiến thức sử dụng:
– Định lí kẹp
vn < un < wn ” n Î N* : lim vn = a Þ lim un = a
Ý tưởng chính: Đánh giá dãy số qua hai dãy số tính được giới hạn
2. Các ví dụ:
Bài 1: Cho dãy số un = \[\frac{{{1^1} + {2^2} + {3^3} + … + {n^n}}}{{{n^{n + 2}}}}\]. Tìm giới hạn dãy số?
HD: 0 < un = \[\frac{{{1^1} + {2^2} + {3^3} + … + {n^n}}}{{{n^{n + 2}}}} < \frac{{n.{n^n}}}{{{n^{n + 2}}}} = \frac{1}{n} \to 0\]
Suy ra lim un = 0
Bài 2: Cho dãy số un = \[\frac{{1.3.5.7… + (2n – 1)}}{{2.3.6.8…(2n)}}\]. Tìm giới hạn dãy số?
HD:
\[\begin{array}{l}0 < {u_n} = \frac{{1.3.5.7… + (2n – 1)}}{{2.3.6.8…(2n)}}\\ < \frac{{1.3.5.7… + (2n – 1)}}{{\sqrt {1.3} \sqrt {3.5} \sqrt {5.7} …\sqrt {(2n – 1)(2n + 1)} }} = \frac{1}{{\sqrt {(2n + 1)} }} \to 0\end{array}\]
Suy ra lim un = 1.
Bài 3: Cho dãy số un = \[\sqrt[n]{n}\]. Tìm giới hạn dãy số?
HD. Ta có:
1 < un =\[\sqrt[n]{n}\]= \[\sqrt[n]{{1.1…1.\sqrt n \sqrt n }}\]
\[ \le \frac{{1 + 1 + … + 1 + \sqrt n \sqrt n }}{n} = \frac{{n – 2 + 2\sqrt n }}{n} < 1 + \frac{2}{{\sqrt n }} \to 1\]
Suy ra lim un = 1
Bài 4: Cho dãy số \[{u_n} = \frac{n}{{{n^2} + 1}} + \frac{n}{{{n^2} + 2}} + … + \frac{n}{{{n^2} + n}}\]. Tìm giới hạn dãy số?
HD: Ta có:
\[\begin{array}{l}{u_n} = n.\frac{n}{{{n^2} + n}} \le {u_n} \le n.\frac{n}{{{n^2} + 1}}\\ \Leftrightarrow 1 \leftarrow \frac{n}{{{n^2} + n}} \le {u_n} \le \frac{n}{{{n^2} + 1}} \to 1\end{array}\]
Suy ra lim xn = 1
Bài 5: Cho phương trình x2n+1 = x2 + x + 1. Chứng minh rằng phương trình có duy nhất 1 nghiệm dương xn . Tìm giới hạn dãy số xn ?
HD: Ta chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm thuộc (1;2) bằng tính chất hàm số liên tục và chứng minh dãy số xn là dãy số giảm.
Ta có
\[\begin{array}{l}1 < {x_n} = \sqrt[{2n + 1}]{{x_n^2 + {x_n} + 1}} \le \frac{{1 + 1 + … + 1 + x_n^2 + {x_n} + 1}}{{2n + 1}}\\ = \frac{{2n + 1 + x_n^2 + {x_n}}}{{2n + 1}} < \frac{{2n + 1 + 6}}{{2n + 1}} = 1 + \frac{6}{{2n + 1}} \to 1\end{array}\]
Suy ra lim xn = 1
3. Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho dãy số un = \[\frac{{{2^n}}}{{n!}}\]. Tìm giới hạn dãy số?
Bài 2: Cho dãy số un = \[\sqrt[n]{{1 + {a^n}}}\]. Tìm giới hạn dãy số?
Bài 3: Cho dãy số un = \[\frac{{1 + {2^2} + … + {n^n}}}{{{n^n}}}\]. Tìm giới hạn dãy số?
IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn 1. Kiến thức sử dụng:
– Định lí: Dãy số tăng bị chặn trên (giảm bị chặn dưới) thì tồn tại giới hạn
Ý tưởng chính:
Chứng minh dãy số đơn điệu
Chứng minh dãy số bị chặn
Giải phương trình tìm giới hạn
2. Các ví dụ:
Bài 1: Cho dãy số u1 = 2008 và un+1 = \[\frac{1}{{2008}}\left( {2007{u_n} + \frac{{2008}}{{u_n^{2007}}}} \right)(n \ge 1)\]
Tìm giới hạn dãy số?
HD: Chứng minh:
un+1 = \[\frac{1}{{2008}}\left( {2007{u_n} + \frac{{2008}}{{u_n^{2007}}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{{2008}}\left( {{u_n} + {u_n} + …{u_n} + \frac{{2008}}{{u_n^{2007}}}} \right) > \sqrt[{2008}]{{2008}}\]
Ta có un+1 = \[\frac{1}{{2008}}\left( {2007{u_n} + \frac{{2008}}{{u_n^{2007}}}} \right) – {u_n}\]
\[ = \frac{1}{{2008}}\left( {\frac{{2008 – u_n^{2008}}}{{u_n^{2007}}}} \right) < 0\]
Suy ra lim un = \[\sqrt[{2008}]{{2008}}\]
bạn đọc.
Xem thêm