20 Bài tập Giới hạn của dãy số (sách mới) có đáp án – Toán 11

Bài tập Toán 11 Giới hạn của dãy số

A. Bài tập Giới hạn của dãy số

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }$(2n³-3n+2);

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{n-2}$;

c) 

Hướng dẫn giải

a)$\underset{n\to +\infty }{\lim }$(2n³-3n+2) = $\underset{n\to +\infty }{\lim }$ = +$\infty$

Vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^3=+\infty$ và  = 2.

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{n-2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{n}}{1-\frac{2}{n}}$= 2.

c) 

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{9-\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}}=\frac{4}{9}$

Bài 2: Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=3$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=5$. Tìm giới hạn của: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{v_n^2}{v_n-u_n}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=5$, do đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n^2=$$\underset{n\to +\infty }{\lim }$(v_n . u_n) = 5.5 = 25.

$\underset{n\to +\infty }{\lim }$(v_n – u_n) = 5-3 = 2.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{v_n^2}{v_n-u_n}$ = $\frac{25}{2}$.

Bài 3: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 3; – 1;

Hướng dẫn giải

u_n là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q = $\frac{-1}{3}$.

Tổng của cấp số nhân này là: S = $\frac{u_1}{1-q}$ = $\frac{3}{1+\frac{1}{3}}=\frac{9}{4}$.

Bài 4: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng 56, tổng bình phương các số hạng bằng 448. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

$\Rightarrow u_1^2\cdot \frac{1}{1-q^2}=448$

⇒ 

Suy ra: q = $\frac{3}{4}$.

Ta tìm được: u₁ = 14.

Bài 5. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{3}{5n-2}$;

b) $\lim \frac{-4n+6}{2n}$;

c) $\lim \frac{4^n+{6.2}^n}{{3.4}^n}$;

d) $\lim \frac{5+\frac{-3}{n^2}}{4^n}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có .

Vậy $\lim \frac{3}{5n-2}=0$.

b) Ta có .

Vậy $\lim \frac{-4n+6}{2n}=-2$.

.

Vậy $\lim \frac{4^n+{6.2}^n}{{3.4}^n}=\frac{1}{3}$.

d) Ta có: 

Vậy $\lim \frac{5+\frac{-3}{n^2}}{4^n}=0$.

Bài 6. Cho $u_n=\frac{1}{n^3}+2$ và $v_n=1-\frac{1}{n}$. Tính các giới hạn:

lim (u_n + v_n); lim(u_n – v_n); lim(u_n.v_n);  $\lim \frac{u_n}{v_n}$.

Hướng dẫn giải

.

Khi đó:

• lim (u_n + v_n) = lim u_n + lim v_n = 2 + 1 = 3.

• lim (u_n – v_n) = lim u_n – lim v_n = 2 – 1 = 1.

• lim (u_n . v_n) = lim u_n . lim v_n = 2 . 1 = 2

• $\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{\lim u_n}{\lim v_n}=\frac{2}{1}=2$.

Bài 7. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn biết u₁ = 1, công bội $q=\frac{2}{3}$.

Hướng dẫn giải

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1, công bội $q=\frac{2}{3}$ là:

  $S=u_1+u_{1}q+\mathrm{\dots }+u_1{q}^{n-1}+\mathrm{\dots }=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$.

Vậy S = 3.

Bài 8. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{2n+6}{n-3}$ ;

b) $\lim \frac{n^3-n+3}{1-2n^3}$ ;

c) $\lim \frac{3^n-4^n+2}{3.4^n-5.2^n}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\lim \frac{2n+6}{n-3}=\lim \frac{2+\frac{6}{n}}{1-\frac{3}{n}}=2$ ;

b) $\lim \frac{n^3-n+3}{1-2n^3}=\lim \frac{1-\frac{n}{n^3}+\frac{3}{n^3}}{\frac{1}{n^3}-2}=\lim \frac{1-\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n^3}}{\frac{1}{n^3}-2}=\frac{-1}{2}$ ;

Bài 9. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là $\frac{–3}{5}$  và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Hướng dẫn giải

Suy ra số hạng đầu tiên của dãy là: u₁ = 1.

Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: 

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là:   và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là $S=\frac{5}{8}$ .

Bài 10. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \left(2n^3+n^2-4n-13\right)$ ;

b) $\lim \left(4.2^n-2.3^n+13n\right)$ .

Hướng dẫn giải

B. Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1. Giới hạn 0 của dãy số

Ta nói (u_n) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| nhỏ hơn một số dương bé tùy ý cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$  hay $u_n\to 0$  khi $n\to +\infty$

Ví dụ: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2}{\sqrt{n}}$ . Tìm giới hạn của dãy số.

Hướng dẫn giải

Với n > 10 000   thì $\sqrt{n}>\sqrt{10000}=100$ .

Suy ra $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$ .

Một vài giới hạn đặc biệt:

• $\lim \frac{1}{n^k}=0$ , với k nguyên dương bất kì.

• $\lim q^n=0$ , với q là số thực thỏa mãn |q| < 1.

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{1}{n^3}$ ;

Hướng dẫn giải

a) Do 3 là một số nguyên dương nên $\lim \frac{1}{n^3}=0$ ;

b) Do |$\left|\frac{-1}{2}\right||=\frac{1}{2}<1$  nên $\lim {\left(\frac{-1}{2}\right)}^n=0.$

1.2. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số có giới hạn hữu hạn là số a (hay u_n dần tới a) khi n dần tới dương vô cực, nếu lim (u_n – a) = 0.

Kí hiệu: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$  hay lim u_n = a khi n → +∞.

Chú ý: Nếu u_n = c (c là hằng số) thì $\lim u_n=\lim c=c$

Ví dụ: Cho $u_n=\frac{-n+1}{2+3n}.$  Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\frac{-1}{3}$ .

Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa, ta có $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-\frac{1}{3}$ .

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

Cho lim u_n = a, lim v_n = b và c là hằng số. Khi đó:

• lim (u_n + v_n) = a + b                        

• lim (u_n – v_n) = a – b

• lim (c.u_n) = c . a                               

• lim (u_n.u_n) = a . b

•  $\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}\text{\hspace{0.33em}(}\left(b\ne 0\right)$ )                         

• Nếu $u_n\ge 0,\forall n\in \mathbb{N}\text{*}$  thì $a\ge 0$  và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \frac{4n+5}{3-2n};$                                   

b) $\lim \frac{\sqrt{4n^2+3}}{2n}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\frac{4n+5}{3-2n}=\frac{4+\frac{5}{n}}{\frac{3}{n}-2}$

Từ đó: $\lim \frac{4n+5}{3-2n}=\lim \frac{4+\frac{5}{n}}{\frac{3}{n}-2}=\frac{\lim \left(4+\frac{5}{n}\right)}{\lim \left(\frac{3}{n}-2\right)}$

b) $\lim \frac{\sqrt{4n^2+3}}{2n}=\lim \sqrt{\frac{4n^2+3}{4n^2}}=\lim \sqrt{1+\frac{3}{4n^2}}$

$=\sqrt{\lim \left(1+\frac{3}{4n^2}\right)}=\sqrt{\lim 1+\frac{3}{4}\lim \frac{1}{n^2}}=\sqrt{1+\frac{3}{4}.0}=1$.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q thõa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Cấp số nhân lùi vô hạn nàu có tổng là:

$S=u_1+u_2+\mathrm{\dots }+u_n+\mathrm{\dots }=\frac{u_1}{1-q}$.

Ví dụ: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 

 

Hướng dẫn giải

Ta có dãy số  là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $u_1=1$ và công bội $q=-\frac{1}{3}$  nên

 

4. Giới hạn vô cực

• Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u_n = + ∞ hay u_n → +∞ khi n → +∞.

• Dãy số (u_n) có giới hạn là −∞ khi n → +∞, nếu lim u_n = + ∞.

Kí hiệu: lim u_n = − ∞ hay u_n → −∞ khi n → +∞.

Chú ý:

• lim u_n = + ∞ ⇔ lim (−u_n) = − ∞;

• Nếu lim u_n = + ∞ hoặc lim u_n = − ∞ thì $\lim \frac{1}{u_n}=0$ ;

• Nếu lim u_n = 0 và u_n > 0 với mọi n thì $\lim \frac{1}{u_n}=+\infty$ .

Ví dụ: Tìm giới hạn $\lim 2^n$ .

Hướng dẫn giải

Từ 2 > 1 suy ra $0<\frac{1}{2}<1$

Mà 2ⁿ > 0 với mọi n nên lim 2ⁿ = + ∞.

Nhận xét:

• $\lim n^k=+\infty \left(k\in \mathbb{N},k\ge 1\right)$ ;

• $\lim q^n=+\infty \left(q>1\right)$ .

Video bài giảng Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số – Kết nối tri thức