20 Bài tập Đường thẳng và mặt phẳng song song (sách mới) có đáp án – Toán 11

Bài tập Toán 11 Đường thẳng và mặt phẳng song song

A. Bài tập Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng minh rằng MN // (ABD) và MN // (ACD).

Hướng dẫn giải

Gọi E là trung điểm BC.

Tam giác ABC có M là trọng tâm nên $\frac{EM}{EA}=\frac{1}{3}$.

Tam giác BCD có N là trọng tâm nên $\frac{EN}{ED}=\frac{1}{3}$.

Khi đó $\frac{EM}{EA}=\frac{EN}{ED}=\frac{1}{3}$.

Áp dụng định lí Thales, ta được MN // AD.

Mà AD ⊂ (ABD) và AD ⊂ (ACD).

Vậy MN // (ABD) và MN // (ACD).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh SB, song song với cạnh AB và cắt các cạnh SA, SD, SC lần lượt tại các điểm Q, P, N. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang.

Hướng dẫn giải

Ta có AB // (α) và M ∈ (α).

Mà AB ⊂ (SAB).

Suy ra (α) ∩ (SAB) = MQ, với MQ // AB và Q ∈ SA.

Lại có CD // AB (do tứ giác ABCD là hình bình hành).

Suy ra CD // MQ   (1)

Mà MQ ⊂ (α).

Do đó CD // (α).

Mà (α) ∩ (SCD) = NP.

Vì vậy CD // NP   (2)

Từ (1), (2), suy ra MQ // NP.

Vậy tứ giác MNPQ là hình thang.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AC, BC, SB. Gọi H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAC và SBC.

a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (MNE) và (SAB).

b) Chứng minh HK // (SAB).

c) Chứng minh HK // d.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MN // AB.

Ta có E đều thuộc hai mặt phẳng (MNE) và (SAB).

Mà MN // AB (chứng minh trên); MN ⊂ (MNE) và AB ⊂ (SAB).

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (MNE) và (SAB) là đường thẳng d đi qua E và d // MN // AB.

b) Tam giác SAC có H là trọng tâm và M là trung điểm AC.

Suy ra $\frac{SH}{SM}=\frac{2}{3}$.

Chứng minh tương tự, ta được $\frac{SK}{SN}=\frac{2}{3}$.

Do đó $\frac{SH}{SM}=\frac{SK}{SN}=\frac{2}{3}$.

Áp dụng định lí Thales, ta được HK // MN.

Mà MN ⊂ (SAB).

Vậy HK // (SAB)   (1)

c) Trong (SAB): gọi F = d ∩ SA.

Ta có HK // MN (chứng minh trên).

Mà MN ⊂ (MNEF).

Suy ra HK // (MNEF)    (2)

Ta lại có (SAB) ∩ (MNEF) = EF (theo kết quả câu a)   (3)

Từ (1), (2), (3), ta thu được HK // EF.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua M, song song với BD và SA.

Hướng dẫn giải

Qua M kẻ ME song song với BD, với E thuộc AD

Gọi O và I lần lượt là giao điểm của AC với BD và ME

Qua M kẻ MF song song với AS, với F thuộc SB

Qua E kẻ EG song song với AS, với G thuộc SD

Qua I kẻ IH song song với AS, với H thuộc SC

Khi đó ngũ giác MEGHF là thiết diện cần tìm.

Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi G và F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng GF // (ABC) và GF // (ABD)

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của cạnh CD

G là trọng tâm của tam giác ACD nên ta có $\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{MG}{MA}=\frac{1}{3}$  (1)

Lại có F là trọng tâm của tam giác BCD nên suy ra $\frac{BF}{BM}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{MF}{MB}=\frac{1}{3}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{MG}{MA}=\frac{MF}{MB}\left(=\frac{1}{3}\right)$

Xét tam giác MBA có $\frac{MG}{MA}=\frac{MF}{MB}$   nên theo định lí Ta-lét đảo ta có GF // AB

Mà AB $\subset$ (ABC) nên suy ra GF // (ABC)

Tương tự AB $\subset$ (ABD) nên suy ra GF // (ABD).

Bài 6. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{1}{3}$ . Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho MN // (BCD). Tính tỉ số $\frac{NC}{AN}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\frac{AM}{MB}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{1}{4}$

Do MN // (BCD) mà MN $\subset$ (ABC)

Và với BC = (BCD) $\cap$ (ABC) nên suy ra MN // BC

Xét tam giác ABC có MN // BC nên theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{NC}{AN}=3.$

Bài 7: Cho hai tam giác MNP và MNQ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, MQ.

a) Đường thẳng ME có song song với mặt phẳng (NPQ) không?

b) Đường thẳng EF có song song với mặt phẳng (NPQ) không?

Hướng dẫn giải

a) ME cắt (NPQ) tại N nên ME không song song với (NPQ).

b) Ta thấy: EF là đường trung bình của tam giác MNQ nên EF // NQ.

Ta có:  nên EF // (NPQ).

Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của hai cạnh BC, CD. Chứng minh rằng BD // (APQ).

Hướng dẫn giải

Ta có: P, Q lần lượt là trung điểm của BC và CD nên PQ là đường trung bình của tam giác BCD. Suy ra PQ // BD.

Ta có:  nên BD // (APQ).

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD.

a) Chứng minh MN // (SBC), MN // (SAD).

b) Gọi P là trung điểm cạnh SA. Chứng minh SB và SC đều song song với (MNP).

Hướng dẫn giải

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD (hình bình hành cũng là hình thang).

Suy ra MN // BC và MN // AD.

Ta có:

, suy ra MN // (SBC)

, suy ra MN // (SAD)

b) Ta có : P là điểm chung của (MNP) và (SAD).

Mà MN // AD

Do đó giao tuyến của (MNP) và (SAD) là đường thẳng qua P song song với AD và MN và đường thẳng này cắt SD tại Q.

Suy ra: PQ = (MNP) ∩ (SAD)

Xét $∆$SAD, ta có: PQ // AD

Mà P là trung điểm SA

Suy ra: Q là trung điểm SD.

Khi đó, QN là đường trung bình của $∆$SCD.

Suy ra QN // SC.

Ta có :  nên SC // (MNP).

Lại có M và P lần lượt là trung điểm của AB và SA nên MP là đường trung bình của tam giác SAB, suy ra MP // SB.

Ta có:  nên SB // (MNP).

B. Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song

1. Đường thẳng song song với mặt phẳng

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Khi đó có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau:

• Trường hợp 1: a và (P) có từ hai điểm chung phân biệt trở lên, suy ra mọi điểm thuộc a đều thuộc (P), ta nói a nằm trong (P).

Kí hiệu: a $\subset$ (P)

• Trường hợp 2: a và (P) có một điểm chung duy nhất A, ta nói a cắt (P) tại a.

Kí hiệu: a $\cap$ (P) = A

• Trường hợp 3: a và (P) không có điểm chung nào, ta nói a song song với (P).

Kí hiệu: a // (P)

Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) nếu chúng không có điểm chung.

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên BD lấy điểm E bất kì. Qua E, kẻ đường thẳng song song với BC và cắt CD tại F. Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng (BCD) lần lượt với các đường thẳng MN, EF và NF.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABD có M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AD

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABD

Do đó MN // BD

Vậy MN và (BCD) không có điểm chung nào

Do đó MN // (BCD)

Ta có: E $\in$ EF và E $\in$(BCD)

Lại có: F $\in$ EF và F $\in$ (BCD)

Vậy EF và (BCD) có hai điểm chung phân biệt

Do đó EF $\subset$ (BCD)

F $\in$ NF và F $\in$ CD nên suy ra F = NF $\cap$ CD

Do đó NF và (BCD) có một điểm chung duy nhất là F

Vậy suy ra NF $\cap$ (BCD) = F.

2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì a song song với (P).

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh MN // (BCD)

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABD có M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AD

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABD

Do đó MN // BD

Mà BD $\subset$ (BCD)

Vậy MN // (BCD).

3. Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song

Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến b thì a song song với b.

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB. Qua M kẻ đường thẳng song song với (BCD) và cắt AD tại điểm N. Chứng minh N là trung điểm của AD.

Hướng dẫn giải

Ta có: MN // (BCD)

Lại có: (ABD) $\supset$ MN và (ABD) $\cap$ (BCD) = BD

Do đó MN // BD

Xét tam giác ABD có MN // BD mà M là trung điểm của AB

Vậy suy ra N là trung điểm của AD.

Hệ quả 1: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu qua điểm M thuộc (P) ta vẽ được đường thẳng b song song với a thì b phải nằm trong (P).

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Định lí 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a, có một và chỉ một mặt phẳng song song với b.

Video bài giảng Toán 11 Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song – Kết nối tri thức