Bài tập Toán 11 Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
A. Bài tập Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
Bài 1: Kết quả khảo sát cân nặng của 20 quả táo ở mỗi lô hàng A và B được cho bởi bảng sau:
Cân nặng (gam) |
[150; 155) |
[155; 160) |
[160; 165) |
[165; 170) |
[170; 175) |
Số quả táo lô hàng A |
1 |
4 |
10 |
3 |
2 |
Số quả táo lô hàng B |
2 |
3 |
12 |
2 |
1 |
a) Hãy ước lượng cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở hai lô hàng trên.
b) Nếu so sánh theo số trung bình thì táo ở lô hàng nào nặng hơn?
Hướng dẫn giải
Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:
Cân nặng (gam) |
152,5 |
157,5 |
162,5 |
167,5 |
172,5 |
Số quả táo lô hàng A |
1 |
4 |
10 |
3 |
2 |
Số quả táo lô hàng B |
2 |
3 |
12 |
2 |
1 |
Tổng số quả táo của mỗi lô hàng A và B đều là n = 20.
Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng A là:
(gam)
Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng B là:
= 161,75 (gam)
Theo số trung bình thì táo ở lô hàng A nặng hơn táo ở lô hàng B.
Bài 2: Cho mẫu số liệu về cân nặng (kg) của 45 học sinh lớp 11A được cho bởi bảng sau:
Cân nặng (kg) |
[40; 45) |
[45; 50) |
[50; 55) |
[55; 60) |
[60; 65) |
Số học sinh |
7 |
10 |
20 |
6 |
2 |
Tính tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu trên.
Hướng dẫn giải
Cỡ mẫu là n = 7 + 10 + 20 + 6 + 2 = 45
Gọi x1, x2, ….., x45 là cân nặng của 45 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Khi đó, trung vị là x23. Do giá trị x23 thuộc nhóm [50; 55) nên nhóm này chứa trung vị.
Do đó p = 3; a3 = 50, m3 = 20; m1 + m2 = 7 + 10 = 17; a4 – a3 = 55 – 50 = 5
Khi đó
.
Vậy Me = 51,4.
Từ Me = 51,4, suy ra Q2 = 51,4.
– Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của nửa dãy bên trái Q2 nên .
Do x11 và x12 đều thuộc nhóm [45; 50) nên nhóm này chứa Q1. Do đó, p = 2, a2 = 45, m2 = 10, m1 = 7; a3 – a2 = 5.
Ta có (a3-a2) .
– Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của nửa dãy bên phải Q2 nên .
Do x34 và x35 đều thuộc nhóm [50; 55) nên nhóm này chứa Q3. Do đó, p = 3, a3 = 50, m3 = 20, m1 + m2 = 7 + 10 = 17; a4 – a3 = 55 – 50 = 5.
Ta có .
Vậy tứ phân vị: Q1 ≈ 47,1; Q2 ≈ 51,4; Q3 ≈ 54,2.
– Ta thấy tần số lớn nhất là 20 nên nhóm chứa mốt là nhóm [50; 55).
Ta có j = 3, a3 = 50, m3 = 20, m2 = 10, m4 = 6, h = 55 – 50 = 5
Khi đó
Vậy Mo ≈ 52,1.
B. Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
Cho mẫu số liệu ghép nhóm:
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là .
trong đó, n = m1 + … + mk là cỡ mẫu và (với i = 1, …, k) là giá trị đại diện của nhóm [ai; ai+1).
Chú ý: Đối với số liệu rời rạc, người ta thường cho các nhóm dưới dạng k1 – k2, trong đó k1, k2 ∈ ℕ. Nhóm k1 – k2 được hiểu là nhóm gồm các giá trị k1, k1 + 1, …, k2. Khi đó, ta cần hiệu chỉnh mẫu dữ liệu ghép nhóm để đưa về dạng Bảng 3.2 trước khi thực hiện tính toán các số đặc trưng bằng cách hiệu chỉnh nhóm k1 – k2 với k1, k2 ∈ ℕ thành nhóm [k1 – 0,5; k2 + 0,5). Chẳng hạn, với dữ liệu ghép nhóm điểm thi môn Toán trong bảng 3.3 sau khi hiệu chỉnh ta được bảng 3.4.
Ý nghĩa: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng đại diện cho mẫu số liệu.
Ví dụ: Tính thời gian trung bình giải bài tập của học sinh lớp 11A được cho trong bảng sau:
Thời gian (phút) |
[7,5; 10,5) |
[10,5; 13,5) |
[13,5; 16,5) |
[16,5; 19,5) |
Số học sinh |
6 |
17 |
17 |
5 |
Hướng dẫn giải
Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:
Thời gian (phút) |
9 |
12 |
15 |
18 |
Số học sinh |
6 |
17 |
17 |
5 |
Tổng số học sinh là n = 45. Thời gian trung bình giải bài toán của học sinh lớp 11 A là:
(phút)
2. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Cho mẫu số liệu ghép nhóm:
Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:
Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: [ap; ap+1).
Bước 2: Trung vị
trong đó n là cỡ mẫu, mp là tần số nhóm p. Với p = 1, ta quy ước m1 + ….+ mp-1 = 0.
Ý nghĩa: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị.
Ví dụ: Cho mẫu số liệu về thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của một số học sinh như sau:
Thời gian |
[15; 20) |
[20; 25) |
[25; 30) |
[30; 35) |
[35; 40) |
[40; 45) |
[45; 50) |
Số học sinh |
7 |
12 |
5 |
7 |
3 |
5 |
1 |
Tính trung vị của mẫu số liệu trên.
Hướng dẫn giải
Cỡ mẫu là n = 7 + 12 + 5 + 7 + 3 + 5 + 1 = 40.
Gọi x1, x2, ….., x40 là thời gian đi từ nhà đến trường của 40 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Khi đó, trung vị là . Do hai giá trị x20, x21 thuộc nhóm [25; 30) nên nhóm này chứa trung vị.
Do đó p = 3; a3 = 25, m3 = 5; m1 + m2 = 7 + 12 = 19; a4 – a3 = 30 – 25 = 5
Khi đó
Vậy Me = 26.
3. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Cho mẫu số liệu ghép nhóm:
Để tính tứ phân vị thứ nhất Q1 vị của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q1, giả sử đó là nhóm thứ p: [ap; ap+1). Khi đó,
trong đó, n là cỡ mẫu, mp là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước m1 + ….+ mp-1 = 0.
Để tính tứ phân vị thứ ba Q3 của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q3. Giả sử đó là nhóm thứ p: [ap; ap+1).
trong đó, n là cỡ mẫu, mp là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước m1 + ….+ mp-1 = 0.
Tứ phân vị thứ hai Q2 chính là trung vị Me.
Nhận xét: Ta cũng có thể xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r nhờ tính chất: có khoảng giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.
Ý nghĩa: Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.
Ví dụ: Cho mẫu số liệu về thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của một số học sinh như sau:
Thời gian |
[15; 20) |
[20; 25) |
[25; 30) |
[30; 35) |
[35; 40) |
[40; 45) |
[45; 50) |
Số học sinh |
7 |
12 |
5 |
7 |
3 |
5 |
1 |
Tìm tứ phân vị Q1 và Q3 của mẫu số liệu trên.
Hướng dẫn giải
Cỡ mẫu là n = 7 + 12 + 5 + 7 + 3 + 5 + 1 = 40.
Gọi x1, x2, ….., x40 là thời gian đi từ nhà đến trường của 40 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
– Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của nửa dãy bên trái Q2 nên .
Do x10 và x11 đều thuộc nhóm [20; 25) nên nhóm này chứa Q1. Do đó, p = 2, a2 = 20, m2 = 12, m1 = 7; a3 – a2 = 5.
Ta có (a3-a2).
– Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của nửa dãy bên phải Q2 nên .
Do x30 và x31 đều thuộc nhóm [30; 35) nên nhóm này chứa Q3. Do đó, p = 4, a4 = 30, m4 = 7, m1 + m2 + m3 = 7 + 12 + 5 = 24; a5 – a4 = 35 – 30 = 5.
Ta có .
Vậy Q1 = 21,25; Q3 ≈ 34,29.
4. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: [aj; aj+1).
Bước 2: Mốt được xác định là
trong đó mj là tần số của nhóm j (quy ước mo = mk+1 = 0) và h là độ dài của nhóm.
Lưu ý:
– Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau. Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.
– Khi tần số của các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu số liệu ghép nhóm không có mốt.
Ý nghĩa: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.
Ví dụ: Cho mẫu số liệu về thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của một số học sinh như sau:
Thời gian |
[15; 20) |
[20; 25) |
[25; 30) |
[30; 35) |
[35; 40) |
[40; 45) |
[45; 50) |
Số học sinh |
7 |
12 |
5 |
7 |
3 |
5 |
1 |
Tìm mốt của mẫu số liệu trên.
Hướng dẫn giải
Tần số lớn nhất là 12 nên nhóm chứa mốt là nhóm [20; 25). Ta có j = 2, a2 = 20, m2 = 12, m1 = 7, m3 = 5, h = 25 – 20 = 5
Khi đó
Vậy Mo ≈ 22,08.
Video bài giảng Toán 11 Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm – Kết nối tri thức