Bài 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất (GTLN)

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$. Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên $D$ nếu:

• $f(x) \leq M, \forall x \in D$
• $\exists x_0 \in D: f(x_0) = M$

Ký hiệu: $M = \max\limits_{x \in D} f(x)$ hay $M = \max\limits_D f(x)$

Giá trị nhỏ nhất (GTNN)

Số $m$ được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $D$ nếu:

• $f(x) \geq m, \forall x \in D$
• $\exists x_0 \in D: f(x_0) = m$

Ký hiệu: $m = \min\limits_{x \in D} f(x)$ hay $m = \min\limits_D f(x)$

Chú ý

• Không phải hàm số nào cũng có GTLN, GTNN trên tập xác định
• Nếu hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ thì luôn có GTLN và GTNN trên đoạn đó

Phương pháp

Giả sử hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$:

1. Tìm các điểm $x_1, x_2, ..., x_n$ trong khoảng $(a; b)$ mà tại đó $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định
2. Tính $f(a)$, $f(x_1)$, $f(x_2)$, ..., $f(x_n)$, $f(b)$
3. So sánh các giá trị trên:
   • Giá trị lớn nhất là GTLN
   • Giá trị nhỏ nhất là GTNN

Công thức tóm tắt

$$\max_{[a;b]} f(x) = \max\{f(a), f(x_1), ..., f(x_n), f(b)\}$$

$$\min_{[a;b]} f(x) = \min\{f(a), f(x_1), ..., f(x_n), f(b)\}$$

Phương pháp

Sử dụng bảng biến thiên hoặc đồ thị để xác định:

• Xét giới hạn tại các đầu mút (nếu có)
• Xét giá trị tại các điểm cực trị
• Kết luận từ bảng biến thiên

Lưu ý

• Trên khoảng $(a; b)$: Hàm số có thể không có GTLN hoặc GTNN
• Nếu hàm số liên tục và $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = +\infty$ thì không có GTLN gần $a$
• Nếu hàm số có cực trị duy nhất là cực đại trên khoảng thì đó là GTLN
• Nếu hàm số có cực trị duy nhất là cực tiểu trên khoảng thì đó là GTNN

Các bước giải

1. Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn (thường là chiều dài, diện tích, thể tích,...)
2. Biểu diễn đại lượng cần tìm GTLN/GTNN theo ẩn, được hàm số $y = f(x)$
3. Tìm tập xác định $D$ của hàm số (thường là đoạn hoặc khoảng)
4. Tìm GTLN hoặc GTNN của $f(x)$ trên $D$
5. Kết luận theo yêu cầu bài toán

Ví dụ điển hình

• Tìm hình chữ nhật có chu vi cho trước và diện tích lớn nhất
• Tìm hình hộp có thể tích lớn nhất khi biết tổng các kích thước
• Tìm quãng đường ngắn nhất, thời gian ít nhất,...