Bài 2. Cực trị của hàm số

Điểm cực đại

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b)$.

$x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại khoảng $(x_0 - h; x_0 + h) \subset (a; b)$ sao cho:

$$f(x) < f(x_0), \forall x \in (x_0 - h; x_0 + h) \setminus \{x_0\}$$

Khi đó $f(x_0)$ gọi là giá trị cực đại của hàm số.

Điểm cực tiểu

$x_0$ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại khoảng $(x_0 - h; x_0 + h) \subset (a; b)$ sao cho:

$$f(x) > f(x_0), \forall x \in (x_0 - h; x_0 + h) \setminus \{x_0\}$$

Khi đó $f(x_0)$ gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.

Chú ý quan trọng

• Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị
• Hàm số có thể có nhiều điểm cực trị
• Giá trị cực đại không nhất thiết là giá trị lớn nhất
• Giá trị cực tiểu không nhất thiết là giá trị nhỏ nhất

Định lý (Điều kiện cần - Định lý Fermat)

Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ và đạt cực trị tại $x_0$ thì:

$$f'(x_0) = 0$$

Chú ý

• Điều kiện này chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ
• Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà đạo hàm không tồn tại (ví dụ: $y = |x|$ tại $x = 0$)
• Nếu $f'(x_0) = 0$ thì chưa chắc $x_0$ là điểm cực trị (ví dụ: $y = x^3$ tại $x = 0$)

Điểm tới hạn

Các điểm mà tại đó $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không tồn tại gọi là điểm tới hạn của hàm số.

Định lý 1 (Quy tắc xét dấu đạo hàm)

Giả sử hàm số $y = f(x)$ liên tục trên khoảng $(x_0 - h; x_0 + h)$ và có đạo hàm trên khoảng này (trừ có thể tại $x_0$):

• Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại
• Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu
• Nếu $f'(x)$ không đổi dấu khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ không phải điểm cực trị

Định lý 2 (Quy tắc đạo hàm cấp 2)

Giả sử hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm cấp 2 tại $x_0$ và $f'(x_0) = 0$:

• Nếu $f''(x_0) > 0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu
• Nếu $f''(x_0) < 0$ thì $x_0$ là điểm cực đại
• Nếu $f''(x_0) = 0$ thì chưa kết luận được (phải dùng quy tắc 1)

Phương pháp 1: Dùng đạo hàm cấp 1

1. Tìm tập xác định
2. Tính $f'(x)$
3. Tìm các điểm tới hạn (nghiệm của $f'(x) = 0$ và điểm $f'(x)$ không xác định)
4. Lập bảng biến thiên, xét dấu $f'(x)$
5. Kết luận từ bảng biến thiên:
   • $f'(x)$ đổi dấu từ + sang - $\Rightarrow$ cực đại
   • $f'(x)$ đổi dấu từ - sang + $\Rightarrow$ cực tiểu

Phương pháp 2: Dùng đạo hàm cấp 2

1. Tìm $f'(x)$ và giải $f'(x) = 0$ được các nghiệm $x_1, x_2, ...$
2. Tính $f''(x)$
3. Tính $f''(x_i)$ với mỗi nghiệm $x_i$:
   • Nếu $f''(x_i) > 0$: $x_i$ là điểm cực tiểu
   • Nếu $f''(x_i) < 0$: $x_i$ là điểm cực đại
   • Nếu $f''(x_i) = 0$: Dùng phương pháp 1