Bài 12. Tích phân
Nắm vững công thức Newton-Leibniz, các tính chất tích phân, tính tích phân định trực tiếp và ứng dụng vào vật lý (quãng đường, công), kinh tế (lợi nhuận, chi phí tích lũy) và tài chính.
Lý thuyết
1 1. Định nghĩa và công thức Newton-Leibniz
Cho $f$ liên tục trên $[a;b]$, $F$ là nguyên hàm của $f$:
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b$$
| Tính chất | Công thức |
|---|---|
| Cận bằng nhau | $\int_a^a f\,dx=0$ |
| Đảo cận | $\int_a^b f\,dx=-\int_b^a f\,dx$ |
| Nhân hằng số | $\int_a^b kf\,dx=k\int_a^b f\,dx$ |
| Tuyến tính | $\int_a^b(f\pm g)\,dx=\int_a^b f\,dx\pm\int_a^b g\,dx$ |
| Cộng cận | $\int_a^b f\,dx=\int_a^c f\,dx+\int_c^b f\,dx$ |
2 2. Tính tích phân một số hàm đặc biệt
| Tích phân | Kết quả | Ghi chú |
|---|---|---|
| $\int_a^b x^n\,dx$ ($n\neq-1$) | $\dfrac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}$ | $n=-1$: dùng $\ln$ |
| $\int_a^b e^x\,dx$ | $e^b-e^a$ | |
| $\int_1^e\dfrac{1}{x}\,dx$ | $\ln e-\ln 1=1$ | Kết quả hay gặp |
| $\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx$ | $1$ | $-\cos x\big|_0^{\pi/2}$ |
| $\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$ | $1$ | $\sin x\big|_0^{\pi/2}$ |
| $\int_0^\pi\sin x\,dx$ | $2$ | Hay dùng trong diện tích |
3 3. Ứng dụng tích phân vào thực tế
| Lĩnh vực | Bài toán | Công thức |
|---|---|---|
| Vật lý | Quãng đường từ $t_1$ đến $t_2$ | $S=\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|\,dt$ |
| Vật lý | Công của lực $F(x)$ từ $a$ đến $b$ | $A=\int_a^b F(x)\,dx$ |
| Kinh tế | Tổng chi phí từ $q_1$ đến $q_2$ sp | $\Delta C=\int_{q_1}^{q_2}C'(q)\,dq$ |
| Kinh tế | Thặng dư người tiêu dùng | $CS=\int_0^{q^*}[D(q)-p^*]\,dq$ |
| Nhân khẩu | Tổng tăng trưởng dân số trong $[t_1;t_2]$ | $\Delta N=\int_{t_1}^{t_2}r(t)\,dt$ |
Các dạng bài tập
1 Tính tích phân trực tiếp bằng Newton-Leibniz
- Biến đổi $f(x)$ về các hàm cơ bản có trong bảng nguyên hàm.
- Tìm nguyên hàm $F(x)$.
- Tính $F(b)-F(a)$.
Ví dụ minh họa
$I=\left(\dfrac{x^3}{3}+x^2-3x\right)\Bigg|_1^2=\left(\dfrac{8}{3}+4-6\right)-\left(\dfrac{1}{3}+1-3\right)=\dfrac{2}{3}+2-(-2)\cdot(-1)$
$=\left(\dfrac{8}{3}-2\right)-\left(\dfrac{1}{3}-2\right)=\dfrac{7}{3}+(-\dfrac{5}{3})+2\cdot\ldots$
Tính thẳng: $F(2)=8/3+4-6=8/3-2$; $F(1)=1/3+1-3=1/3-2$. $I=8/3-2-(1/3-2)=7/3$.
$I=(e^x+x^2)\Big|_0^1=(e+1)-(1+0)=e$.
2 Sử dụng tính chất tích phân
- Biết thành phần: Dùng $\int(af+bg)=a\int f+b\int g$.
- Cộng cận: $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$.
- Tìm tham số: Biểu diễn tích phân theo $a$ rồi giải phương trình.
Ví dụ minh họa
$=4\times7-3\times2+2\times3=28-6+6=28$.
$(x^2+x)\Big|_0^a=a^2+a=10\Rightarrow a^2+a-10=0\Rightarrow a=\dfrac{-1+\sqrt{41}}{2}\approx2{,}7$.
Hoặc chọn đề cho $a^2+a=12$: $\int_0^a(2x+1)=12$, với $a^2+a=12\Rightarrow a=3$.
3 Ứng dụng tích phân vào bài toán thực tế
- Nhận diện đại lượng cần tính là tích phân của hàm nào.
- Xác định cận $[a;b]$ từ ngữ cảnh (khoảng thời gian, sản lượng...).
- Tính tích phân xác định.
Ví dụ minh họa
Tìm khi $v=0$: $t^2-2t=0\Rightarrow t=0$ hoặc $t=2$. Trên $[0;2]$: $v<0$; trên $[2;3]$: $v>0$.
$S=\int_0^2|t^2-2t|\,dt+\int_2^3|t^2-2t|\,dt=\int_0^2(2t-t^2)\,dt+\int_2^3(t^2-2t)\,dt$
$=(t^2-t^3/3)\Big|_0^2+(t^3/3-t^2)\Big|_2^3=(4-8/3)+(9-9-8/3+4)=4/3+4/3=8/3$ m.
$\Delta C=\int_5^{10}(0{,}3q^2-2q+5)\,dq=(0{,}1q^3-q^2+5q)\Big|_5^{10}$.
$F(10)=100-100+50=50$; $F(5)=12{,}5-25+25=12{,}5$.
$\Delta C=50-12{,}5=37{,}5$ nghìn đồng.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay