Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn
Tính phương sai s² và độ lệch chuẩn s để đánh giá mức độ phân tán quanh giá trị trung bình. Ứng dụng so sánh chất lượng, đánh giá sự đồng đều giữa các mẫu thực tế.
Lý thuyết
1 1. Giá trị đại diện và số trung bình
Với nhóm $[a_i;a_{i+1})$, giá trị đại diện: $x_i=\dfrac{a_i+a_{i+1}}{2}$ (trung điểm).
Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i x_i}{n}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_kx_k}{n}$$
2 2. Phương sai s²
Phương sai đo mức phân tán quanh $\bar{x}$:
$$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k n_i(x_i-\bar{x})^2$$
Công thức rút gọn (tính nhanh):
$$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k n_i x_i^2 - \bar{x}^2$$
| Tính chất | Giá trị |
|---|---|
| $s^2\geq0$ luôn luôn | Phương sai không âm |
| $s^2=0$ | Mọi giá trị bằng nhau (mẫu không phân tán) |
| $s^2$ lớn | Số liệu phân tán nhiều quanh $\bar{x}$ |
| Đơn vị $s^2$ | (đơn vị số liệu)² |
3 3. Độ lệch chuẩn s và ứng dụng
$$s=\sqrt{s^2}$$
$s$ có cùng đơn vị với số liệu → dễ diễn giải hơn $s^2$.
Ứng dụng thực tế
- So sánh chất lượng: Hai lớp cùng điểm trung bình, lớp nào $s$ nhỏ hơn thì kết quả đồng đều hơn.
- Kiểm soát chất lượng: Sản phẩm có $s$ nhỏ → quy trình sản xuất ổn định.
- Quy tắc 3-sigma: Trong phân phối chuẩn, khoảng $[\bar{x}-3s;\ \bar{x}+3s]$ chứa ~99,7% số liệu.
① Lập cột $x_i$ (giá trị đại diện).
② Lập cột $n_ix_i$ → tính $\bar{x}$.
③ Lập cột $(x_i-\bar{x})^2$.
④ Lập cột $n_i(x_i-\bar{x})^2$ → cộng hết chia $n$.
⑤ $s=\sqrt{s^2}$.
Các dạng bài tập
1 Tính trung bình và phương sai
- Xác định $x_i$ = trung điểm nhóm $i$.
- $\bar{x}=\dfrac{\sum n_ix_i}{n}$.
- $s^2=\dfrac{\sum n_i(x_i-\bar{x})^2}{n}$ hoặc $\dfrac{\sum n_ix_i^2}{n}-\bar{x}^2$.
Ví dụ minh họa
$x_1=5$, $x_2=15$. $n=2$. $\bar{x}=\frac{5+15}{2}=10$.
$s^2=\frac{1(5-10)^2+1(15-10)^2}{2}=\frac{25+25}{2}=25$. $s=5$.
$x_1=2$, $x_2=6$, $x_3=10$. $\bar{x}=\frac{5\cdot2+10\cdot6+5\cdot10}{20}=\frac{10+60+50}{20}=6$.
$\sum n_ix_i^2=5\cdot4+10\cdot36+5\cdot100=20+360+500=880$.
$s^2=\frac{880}{20}-6^2=44-36=8$. $s=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx2{,}83$.
2 Tính s và nhận xét
- Tính $\bar{x}$ và $s^2$ theo dạng 1.
- $s=\sqrt{s^2}$.
- Nhận xét: $s$ nhỏ → đồng đều; $s$ lớn → phân tán.
Ví dụ minh họa
Hai lớp cùng điểm TB $=7$. Lớp A có $s=0{,}5<2=s_B$ → kết quả lớp A đồng đều hơn. Lớp B phân tán hơn.
3 So sánh phân tán
- Tính $s^2$ hoặc $s$ cho từng mẫu.
- Mẫu nào $s$ nhỏ hơn → ổn định hơn / đồng đều hơn.
- Kết luận gắn với ngữ cảnh bài toán.
Ví dụ minh họa
$s_I=0{,}7
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay