Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Bài 29. Công thức cộng xác suất
Làm chủ phép toán cộng trong xác suất để giải quyết các tình huống đa lựa chọn và các điều kiện chồng chéo trong đời sống thực.
🟡 Trung bình 90 phút
Lý thuyết Công thức cộng xác suất
1 1. Công thức cộng cho hai biến cố xung khắc
Nếu hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc ($A \cap B = \emptyset$) thì:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
Mở rộng cho $n$ biến cố $A_1, A_2, \dots, A_n$ đôi một xung khắc: $P(A_1 \cup \dots \cup A_n) = P(A_1) + \dots + P(A_n)$.
2 2. Công thức cộng xác suất tổng quát
Với mọi hai biến cố $A$ và $B$, ta luôn có:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Công thức này áp dụng được ngay cả khi $A, B$ có kết quả chung (không xung khắc).
3 3. Xác suất biến cố đối
Biến cố $A$ và $\bar{A}$ luôn xung khắc và có tổng bằng không gian mẫu, nên:
$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
Thường dùng khi tính xác suất của biến cố 'có ít nhất một'.
Các dạng bài tập
1 Tính xác suất biến cố hợp xung khắc
Phương pháp giải
Xác định tập hợp kết quả thuận lợi cho từng biến cố thành phần rồi cộng lại. Thường dùng trong bài toán lấy đồ vật trong hộp.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Hộp có 5 bóng xanh, 3 bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bóng. Tính xác suất lấy được bóng xanh hoặc đỏ.
GIẢI
$P = P(X) + P(Đ) = 5/8 + 3/8 = 1$.
VÍ DỤ 2
Lấy 2 quân bài. $A$: 'Có 2 Át', $B$: 'Có 2 K'. $A, B$ xung khắc. Tính $P(A \cup B)$.
GIẢI
$P = C_4^2 / C_{52}^2 + C_4^2 / C_{52}^2 = \dots$
VÍ DỤ 3
Xác suất bắn trúng các vòng điểm.
GIẢI
Tổng xác suất trúng vòng 8, vòng 9, vòng 10.
2 Công thức cộng xác suất tổng quát
Phương pháp giải
Sử dụng khi hai sự kiện có thể xảy ra đồng thời. Lưu ý phải trừ đi phần giao để tránh tính lặp hai lần.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Lớp có 40 học sinh. 25 em học khá Toán, 30 em học khá Văn, 20 em khá cả hai. Chọn 1 em, tính xác suất em đó khá ít nhất 1 môn.
GIẢI
$P(T \cup V) = P(T) + P(V) - P(T \cap V) = 25/40 + 30/40 - 20/40 = 35/40 = 0,875$.
VÍ DỤ 2
Rút 1 lá bài từ bộ 52 lá. Tính xác suất rút được lá bài 'màu đỏ' hoặc 'hình con người (J, Q, K)'.
GIẢI
$P(Đ) = 26/52$. $P(H) = 12/52$. $P(Đ \cap H) = 6/52$.
$P = 26/52 + 12/52 - 6/52 = 32/52$.
$P = 26/52 + 12/52 - 6/52 = 32/52$.
VÍ DỤ 3
Tính xác suất chọn ngẫu nhiên một số từ 1-100 chia hết cho 2 hoặc 3.
GIẢI
$50/100 + 33/100 - 16/100 = 67/100$.
3 Sử dụng biến cố đối
Phương pháp giải
Đối với các bài toán có từ 'ít nhất', 'không quá', tính trực tiếp thường khó, ta tính xác suất của biến cố ngược lại rồi lấy 1 trừ đi.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Gieo đồng xu ngẫu nhiên 3 lần. Tính xác suất có ít nhất một mặt ngửa.
GIẢI
Biến cố đối là 'không có mặt ngửa nào' (tức 3 lần sấp).
$P(\bar{A}) = (1/2)^3 = 1/8 \Rightarrow P(A) = 1 - 1/8 = 7/8$.
$P(\bar{A}) = (1/2)^3 = 1/8 \Rightarrow P(A) = 1 - 1/8 = 7/8$.
VÍ DỤ 2
Một xạ thủ bắn 2 phát. Xác suất trượt của một phát là 0,2. Tính xác suất trúng ít nhất một phát.
GIẢI
$P = 1 - 0,2 \cdot 0,2 = 0,96$.
VÍ DỤ 3
Xác suất lấy được ít nhất 1 phế phẩm.
GIẢI
$1 - P(Lấy toàn sản phẩm tốt)$
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay