Bài 3: Các phép toán trên tập hợp

Định nghĩa

Giao của hai tập hợp $A$ và $B$ là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B$.

Ký hiệu: $A \cap B$ (đọc là "$A$ giao $B$")

$$A \cap B = \{x | x \in A \text{ và } x \in B\}$$

Ví dụ

• $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$ thì $A \cap B = \{3, 4\}$
• $C = \{x \in \mathbb{R} | -1 \leq x \leq 3\}$, $D = \{x \in \mathbb{R} | 0 < x < 5\}$ thì $C \cap D = \{x \in \mathbb{R} | 0 < x \leq 3\}$

Tính chất

• $A \cap B = B \cap A$ (giao hoán)
• $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ (kết hợp)
• $A \cap A = A$
• $A \cap \varnothing = \varnothing$
• Nếu $A \cap B = \varnothing$ thì $A$ và $B$ gọi là hai tập hợp không giao nhau

Định nghĩa

Hợp của hai tập hợp $A$ và $B$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$ (hoặc thuộc cả hai).

Ký hiệu: $A \cup B$ (đọc là "$A$ hợp $B$")

$$A \cup B = \{x | x \in A \text{ hoặc } x \in B\}$$

Ví dụ

• $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{3, 4, 5\}$ thì $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
• $E = [-2; 1]$, $F = (0; 3)$ thì $E \cup F = [-2; 3)$

Tính chất

• $A \cup B = B \cup A$ (giao hoán)
• $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ (kết hợp)
• $A \cup A = A$
• $A \cup \varnothing = A$
• $A \subset B \Leftrightarrow A \cup B = B$

Định nghĩa

Hiệu của hai tập hợp $A$ và $B$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$.

Ký hiệu: $A \setminus B$ hoặc $A - B$ (đọc là "$A$ trừ $B$" hoặc "$A$ hiệu $B$")

$$A \setminus B = \{x | x \in A \text{ và } x \notin B\}$$

Ví dụ

• $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$ thì $A \setminus B = \{1, 2\}$
• $B \setminus A = \{6\}$
• $\mathbb{N} \setminus \{0\} = \mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, ...\}$

Chú ý

• $A \setminus B \neq B \setminus A$ (không có tính giao hoán)
• $A \setminus \varnothing = A$
• $A \setminus A = \varnothing$
• Nếu $B \subset A$ thì $A \setminus B$ còn gọi là phần bù của $B$ trong $A$, ký hiệu $C_A^B$

Định nghĩa

Cho tập $E$ và $A \subset E$. Phần bù của $A$ trong $E$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc $E$ nhưng không thuộc $A$.

Ký hiệu: $C_E^A$ hoặc $\overline{A}$ (khi ngữ cảnh rõ ràng tập $E$)

$$C_E^A = E \setminus A = \{x | x \in E \text{ và } x \notin A\}$$

Ví dụ

• $E = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $A = \{1, 3, 5\}$ thì $C_E^A = \{2, 4\}$
• $C_{\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}$ là tập số vô tỉ
• $C_{\mathbb{R}}^{[a;b]} = (-\infty; a) \cup (b; +\infty)$

Tính chất

• $C_E^{C_E^A} = A$ (phần bù của phần bù là chính nó)
• $A \cup C_E^A = E$
• $A \cap C_E^A = \varnothing$
• $C_E^{\varnothing} = E$ và $C_E^E = \varnothing$

Khái niệm

Biểu đồ Venn là công cụ trực quan để biểu diễn các tập hợp và mối quan hệ giữa chúng bằng các hình vẽ (thường là hình tròn hoặc elip).

Cách sử dụng

• Mỗi tập hợp được biểu diễn bởi một hình tròn hoặc elip
• Phần giao nhau của các hình biểu diễn giao của các tập hợp
• Toàn bộ các hình biểu diễn hợp của các tập hợp
• Phần trong hình $A$ nhưng ngoài hình $B$ biểu diễn hiệu $A \setminus B$

Ứng dụng

Biểu đồ Venn rất hữu ích trong:

• Minh họa các phép toán giao, hợp, hiệu, phần bù
• Giải các bài toán đếm số phần tử của tập hợp
• Giải các bài toán thực tế về phân loại, thống kê

Công thức cơ bản

Với hai tập hữu hạn $A$, $B$, ký hiệu $n(A)$ là số phần tử của tập $A$, ta có:

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

Giải thích: Khi cộng $n(A) + n(B)$, các phần tử thuộc cả $A$ và $B$ bị tính hai lần, nên phải trừ đi $n(A \cap B)$.

Trường hợp đặc biệt

• Nếu $A$ và $B$ không giao nhau ($A \cap B = \varnothing$) thì:
  $$n(A \cup B) = n(A) + n(B)$$
• Nếu $B \subset A$ thì:
  $$n(A \setminus B) = n(A) - n(B)$$

Công thức mở rộng cho ba tập hợp

$$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$$

Ví dụ

Một lớp có 40 học sinh, trong đó 25 em thích bóng đá, 18 em thích bóng rổ, 10 em thích cả hai môn. Hỏi có bao nhiêu em không thích môn nào?

Giải:

Gọi $A$ là tập học sinh thích bóng đá, $B$ là tập học sinh thích bóng rổ.

$n(A) = 25$, $n(B) = 18$, $n(A \cap B) = 10$

$n(A \cup B) = 25 + 18 - 10 = 33$

Số học sinh không thích môn nào: $40 - 33 = 7$ (em)