Bài 2: Tập hợp

Định nghĩa

Tập hợp là một khái niệm cơ bản trong toán học, dùng để chỉ một nhóm các đối tượng xác định.

• Các đối tượng trong tập hợp gọi là phần tử của tập hợp đó
• Ký hiệu: Tập hợp thường được ký hiệu bằng chữ cái in hoa $A, B, C, ...$
• Phần tử thường được ký hiệu bằng chữ cái thường $a, b, c, x, y, ...$

Quan hệ thuộc và không thuộc

• $x \in A$: Phần tử $x$ thuộc tập hợp $A$
• $x \notin A$: Phần tử $x$ không thuộc tập hợp $A$

Ví dụ

Cho $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

• $2 \in A$ (2 thuộc A)
• $6 \notin A$ (6 không thuộc A)

a) Liệt kê các phần tử

Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp trong dấu ngoặc nhọn $\{ \}$

Ví dụ:

• $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
• $B = \{a, b, c\}$

b) Chỉ ra tính chất đặc trưng

Mô tả tập hợp bằng tính chất đặc trưng của các phần tử

Ví dụ:

• $A = \{x \in \mathbb{N} | x < 6\} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
• $B = \{x \in \mathbb{R} | x^2 = 4\} = \{-2, 2\}$

c) Biểu đồ Venn

Biểu diễn tập hợp bằng hình vẽ (vòng tròn, hình elip) chứa các phần tử bên trong.

Định nghĩa

Tập hợp $A$ được gọi là tập hợp con của tập hợp $B$ nếu mọi phần tử của $A$ đều là phần tử của $B$.

Ký hiệu: $A \subset B$ hoặc $B \supset A$

$$A \subset B \Leftrightarrow (\forall x, x \in A \Rightarrow x \in B)$$

Tập hợp bằng nhau

Hai tập hợp $A$ và $B$ được gọi là bằng nhau nếu $A \subset B$ và $B \subset A$

$$A = B \Leftrightarrow \begin{cases} A \subset B \\ B \subset A \end{cases}$$

Tính chất

• $A \subset A$ với mọi tập hợp $A$
• $\varnothing \subset A$ với mọi tập hợp $A$ (tập rỗng là tập con của mọi tập hợp)
• Nếu $A \subset B$ và $B \subset C$ thì $A \subset C$

Định nghĩa

Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Ký hiệu: $\varnothing$ hoặc $\{ \}$

Tính chất

• Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp: $\varnothing \subset A$ với mọi $A$
• Chỉ có duy nhất một tập rỗng

Ví dụ

• $A = \{x \in \mathbb{R} | x^2 = -1\} = \varnothing$ (vì không có số thực nào bình phương bằng $-1$)
• $B = \{x \in \mathbb{N} | x + 1 = x\} = \varnothing$

Tập hợp số tự nhiên

• $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ (tập số tự nhiên)
• $\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, ...\}$ (tập số tự nhiên khác 0)

Tập hợp số nguyên

• $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ (tập số nguyên)
• $\mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ (tập số nguyên khác 0)

Tập hợp số hữu tỉ

• $\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} | a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}$ (tập số hữu tỉ)

Tập hợp số thực

• $\mathbb{R}$ (tập số thực = số hữu tỉ + số vô tỉ)
• $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ (tập số thực khác 0)
• $\mathbb{R}^+ = \{x \in \mathbb{R} | x > 0\}$ (tập số thực dương)
• $\mathbb{R}^- = \{x \in \mathbb{R} | x < 0\}$ (tập số thực âm)

Quan hệ bao hàm

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Đoạn

$$[a; b] = \{x \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b\}$$

Khoảng

• $(a; b) = \{x \in \mathbb{R} | a < x < b\}$ (khoảng hữu hạn)
• $(a; +\infty) = \{x \in \mathbb{R} | x > a\}$
• $(-\infty; b) = \{x \in \mathbb{R} | x < b\}$
• $(-\infty; +\infty) = \mathbb{R}$

Nửa khoảng

• $[a; b) = \{x \in \mathbb{R} | a \leq x < b\}$
• $(a; b] = \{x \in \mathbb{R} | a < x \leq b\}$
• $[a; +\infty) = \{x \in \mathbb{R} | x \geq a\}$
• $(-\infty; b] = \{x \in \mathbb{R} | x \leq b\}$

Biểu diễn trên trục số

• Dấu [ hoặc ]: điểm được tô đậm (thuộc khoảng)
• Dấu ( hoặc ): điểm rỗng (không thuộc khoảng)