Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Định nghĩa

Tập hợp là một khái niệm cơ bản trong toán học, dùng để chỉ một nhóm các đối tượng xác định.

• Các đối tượng trong tập hợp gọi là phần tử của tập hợp đó
• Ký hiệu: Tập hợp thường được ký hiệu bằng chữ cái in hoa $A, B, C, ...$
• Phần tử thường được ký hiệu bằng chữ cái thường $a, b, c, x, y, ...$

Quan hệ thuộc và không thuộc

• $x \in A$: Phần tử $x$ thuộc tập hợp $A$
• $x \notin A$: Phần tử $x$ không thuộc tập hợp $A$

Ví dụ

Cho $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

• $2 \in A$ (2 thuộc A)
• $6 \notin A$ (6 không thuộc A)

a) Liệt kê các phần tử

Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp trong dấu ngoặc nhọn $\{ \}$

Ví dụ:

• $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
• $B = \{a, b, c\}$

b) Chỉ ra tính chất đặc trưng

Mô tả tập hợp bằng tính chất đặc trưng của các phần tử

Ví dụ:

• $A = \{x \in \mathbb{N} | x < 6\} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
• $B = \{x \in \mathbb{R} | x^2 = 4\} = \{-2, 2\}$

c) Biểu đồ Venn

Biểu diễn tập hợp bằng hình vẽ (vòng tròn, hình elip) chứa các phần tử bên trong.

Định nghĩa

Tập hợp $A$ được gọi là tập hợp con của tập hợp $B$ nếu mọi phần tử của $A$ đều là phần tử của $B$.

Ký hiệu: $A \subset B$ hoặc $B \supset A$

$$A \subset B \Leftrightarrow (\forall x, x \in A \Rightarrow x \in B)$$

Tập hợp bằng nhau

Hai tập hợp $A$ và $B$ được gọi là bằng nhau nếu $A \subset B$ và $B \subset A$

$$A = B \Leftrightarrow \begin{cases} A \subset B \\ B \subset A \end{cases}$$

Tính chất

• $A \subset A$ với mọi tập hợp $A$
• $\varnothing \subset A$ với mọi tập hợp $A$ (tập rỗng là tập con của mọi tập hợp)
• Nếu $A \subset B$ và $B \subset C$ thì $A \subset C$

Định nghĩa

Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Ký hiệu: $\varnothing$ hoặc $\{ \}$

Tính chất

• Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp: $\varnothing \subset A$ với mọi $A$
• Chỉ có duy nhất một tập rỗng

Ví dụ

• $A = \{x \in \mathbb{R} | x^2 = -1\} = \varnothing$ (vì không có số thực nào bình phương bằng $-1$)
• $B = \{x \in \mathbb{N} | x + 1 = x\} = \varnothing$

Tập hợp số tự nhiên

• $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ (tập số tự nhiên)
• $\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, ...\}$ (tập số tự nhiên khác 0)

Tập hợp số nguyên

• $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ (tập số nguyên)
• $\mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ (tập số nguyên khác 0)

Tập hợp số hữu tỉ

• $\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} | a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}$ (tập số hữu tỉ)

Tập hợp số thực

• $\mathbb{R}$ (tập số thực = số hữu tỉ + số vô tỉ)
• $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ (tập số thực khác 0)
• $\mathbb{R}^+ = \{x \in \mathbb{R} | x > 0\}$ (tập số thực dương)
• $\mathbb{R}^- = \{x \in \mathbb{R} | x < 0\}$ (tập số thực âm)

Quan hệ bao hàm

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Đoạn

$$[a; b] = \{x \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b\}$$

Khoảng

• $(a; b) = \{x \in \mathbb{R} | a < x < b\}$ (khoảng hữu hạn)
• $(a; +\infty) = \{x \in \mathbb{R} | x > a\}$
• $(-\infty; b) = \{x \in \mathbb{R} | x < b\}$
• $(-\infty; +\infty) = \mathbb{R}$

Nửa khoảng

• $[a; b) = \{x \in \mathbb{R} | a \leq x < b\}$
• $(a; b] = \{x \in \mathbb{R} | a < x \leq b\}$
• $[a; +\infty) = \{x \in \mathbb{R} | x \geq a\}$
• $(-\infty; b] = \{x \in \mathbb{R} | x \leq b\}$

Biểu diễn trên trục số

• Dấu [ hoặc ]: điểm được tô đậm (thuộc khoảng)
• Dấu ( hoặc ): điểm rỗng (không thuộc khoảng)

Định nghĩa

Giao của hai tập hợp $A$ và $B$ là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B$.

Ký hiệu: $A \cap B$ (đọc là "$A$ giao $B$")

$$A \cap B = \{x | x \in A \text{ và } x \in B\}$$

Ví dụ

• $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$ thì $A \cap B = \{3, 4\}$
• $C = \{x \in \mathbb{R} | -1 \leq x \leq 3\}$, $D = \{x \in \mathbb{R} | 0 < x < 5\}$ thì $C \cap D = \{x \in \mathbb{R} | 0 < x \leq 3\}$

Tính chất

• $A \cap B = B \cap A$ (giao hoán)
• $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ (kết hợp)
• $A \cap A = A$
• $A \cap \varnothing = \varnothing$
• Nếu $A \cap B = \varnothing$ thì $A$ và $B$ gọi là hai tập hợp không giao nhau

Định nghĩa

Hợp của hai tập hợp $A$ và $B$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$ (hoặc thuộc cả hai).

Ký hiệu: $A \cup B$ (đọc là "$A$ hợp $B$")

$$A \cup B = \{x | x \in A \text{ hoặc } x \in B\}$$

Ví dụ

• $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{3, 4, 5\}$ thì $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
• $E = [-2; 1]$, $F = (0; 3)$ thì $E \cup F = [-2; 3)$

Tính chất

• $A \cup B = B \cup A$ (giao hoán)
• $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ (kết hợp)
• $A \cup A = A$
• $A \cup \varnothing = A$
• $A \subset B \Leftrightarrow A \cup B = B$

Định nghĩa

Hiệu của hai tập hợp $A$ và $B$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$.

Ký hiệu: $A \setminus B$ hoặc $A - B$ (đọc là "$A$ trừ $B$" hoặc "$A$ hiệu $B$")

$$A \setminus B = \{x | x \in A \text{ và } x \notin B\}$$

Ví dụ

• $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$ thì $A \setminus B = \{1, 2\}$
• $B \setminus A = \{6\}$
• $\mathbb{N} \setminus \{0\} = \mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, ...\}$

Chú ý

• $A \setminus B \neq B \setminus A$ (không có tính giao hoán)
• $A \setminus \varnothing = A$
• $A \setminus A = \varnothing$
• Nếu $B \subset A$ thì $A \setminus B$ còn gọi là phần bù của $B$ trong $A$, ký hiệu $C_A^B$

Định nghĩa

Cho tập $E$ và $A \subset E$. Phần bù của $A$ trong $E$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc $E$ nhưng không thuộc $A$.

Ký hiệu: $C_E^A$ hoặc $\overline{A}$ (khi ngữ cảnh rõ ràng tập $E$)

$$C_E^A = E \setminus A = \{x | x \in E \text{ và } x \notin A\}$$

Ví dụ

• $E = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $A = \{1, 3, 5\}$ thì $C_E^A = \{2, 4\}$
• $C_{\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}$ là tập số vô tỉ
• $C_{\mathbb{R}}^{[a;b]} = (-\infty; a) \cup (b; +\infty)$

Tính chất

• $C_E^{C_E^A} = A$ (phần bù của phần bù là chính nó)
• $A \cup C_E^A = E$
• $A \cap C_E^A = \varnothing$
• $C_E^{\varnothing} = E$ và $C_E^E = \varnothing$

Khái niệm

Biểu đồ Venn là công cụ trực quan để biểu diễn các tập hợp và mối quan hệ giữa chúng bằng các hình vẽ (thường là hình tròn hoặc elip).

Cách sử dụng

• Mỗi tập hợp được biểu diễn bởi một hình tròn hoặc elip
• Phần giao nhau của các hình biểu diễn giao của các tập hợp
• Toàn bộ các hình biểu diễn hợp của các tập hợp
• Phần trong hình $A$ nhưng ngoài hình $B$ biểu diễn hiệu $A \setminus B$

Ứng dụng

Biểu đồ Venn rất hữu ích trong:

• Minh họa các phép toán giao, hợp, hiệu, phần bù
• Giải các bài toán đếm số phần tử của tập hợp
• Giải các bài toán thực tế về phân loại, thống kê

Công thức cơ bản

Với hai tập hữu hạn $A$, $B$, ký hiệu $n(A)$ là số phần tử của tập $A$, ta có:

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

Giải thích: Khi cộng $n(A) + n(B)$, các phần tử thuộc cả $A$ và $B$ bị tính hai lần, nên phải trừ đi $n(A \cap B)$.

Trường hợp đặc biệt

• Nếu $A$ và $B$ không giao nhau ($A \cap B = \varnothing$) thì:
  $$n(A \cup B) = n(A) + n(B)$$
• Nếu $B \subset A$ thì:
  $$n(A \setminus B) = n(A) - n(B)$$

Công thức mở rộng cho ba tập hợp

$$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$$

Ví dụ

Một lớp có 40 học sinh, trong đó 25 em thích bóng đá, 18 em thích bóng rổ, 10 em thích cả hai môn. Hỏi có bao nhiêu em không thích môn nào?

Giải:

Gọi $A$ là tập học sinh thích bóng đá, $B$ là tập học sinh thích bóng rổ.

$n(A) = 25$, $n(B) = 18$, $n(A \cap B) = 10$

$n(A \cup B) = 25 + 18 - 10 = 33$

Số học sinh không thích môn nào: $40 - 33 = 7$ (em)