Bài 1: Mệnh đề toán học

Định nghĩa

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc sai.

• Nếu mệnh đề đúng thì ta nói mệnh đề có giá trị chân lý đúng
• Nếu mệnh đề sai thì ta nói mệnh đề có giá trị chân lý sai

Ví dụ

• "$2 + 3 = 5$" là mệnh đề đúng
• "$5$ là số nguyên tố chẵn" là mệnh đề sai
• "$x > 5$" không phải là mệnh đề (vì chưa biết đúng hay sai)
• "Hôm nay trời đẹp quá!" không phải là mệnh đề (câu cảm thán)

Chú ý

Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải là mệnh đề.

Định nghĩa

Cho mệnh đề $P$. Mệnh đề "Không phải $P$" gọi là mệnh đề phủ định của $P$, ký hiệu $\overline{P}$ hoặc $\neg P$.

Tính chất

• Nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai
• Nếu $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng

Ví dụ

Cho mệnh đề $P$: "$5$ là số nguyên tố"

Mệnh đề phủ định $\overline{P}$: "$5$ không là số nguyên tố"

Vì $P$ đúng nên $\overline{P}$ sai.

Định nghĩa

Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$. Mệnh đề "Nếu $P$ thì $Q$" gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu $P \Rightarrow Q$.

• $P$ gọi là giả thiết
• $Q$ gọi là kết luận

Bảng chân lý

Chú ý: Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.

Ví dụ

Xét mệnh đề: "Nếu $n$ chia hết cho $6$ thì $n$ chia hết cho $3$"

Đây là mệnh đề đúng vì với mọi số nguyên $n$ chia hết cho $6$ thì $n$ luôn chia hết cho $3$.

Định nghĩa

Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$. Mệnh đề "$P$ khi và chỉ khi $Q$" gọi là mệnh đề tương đương, ký hiệu $P \Leftrightarrow Q$.

Tính chất

$$P \Leftrightarrow Q \text{ đúng } \Leftrightarrow \begin{cases} P \Rightarrow Q \text{ đúng} \\ Q \Rightarrow P \text{ đúng} \end{cases}$$

Nói cách khác, $P \Leftrightarrow Q$ đúng khi $P$ và $Q$ cùng đúng hoặc cùng sai.

Ví dụ

Mệnh đề: "$x = 2 \Leftrightarrow x^2 = 4$ và $x > 0$" là mệnh đề đúng

• Chiều thuận: Nếu $x = 2$ thì $x^2 = 4$ và $x = 2 > 0$ (đúng)
• Chiều đảo: Nếu $x^2 = 4$ và $x > 0$ thì $x = 2$ (vì $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$, mà $x > 0$ nên $x = 2$)

Mệnh đề chứa biến

Là câu khẳng định chứa biến, khi thay giá trị cụ thể cho biến sẽ trở thành mệnh đề.

Ví dụ: $P(x)$: "$x^2 > 0$" là mệnh đề chứa biến $x$

• Khi $x = 2$: $P(2)$ là "$2^2 > 0$" (đúng)
• Khi $x = 0$: $P(0)$ là "$0^2 > 0$" (sai)

Kí hiệu $\forall$ (với mọi)

"$\forall x \in X, P(x)$" đọc là: "Với mọi $x$ thuộc $X$, $P(x)$ đúng"

Phủ định: $\overline{\forall x \in X, P(x)} \equiv \exists x \in X, \overline{P(x)}$

Ví dụ:

• Mệnh đề: "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$" (Đúng)
• Phủ định: "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0$" (Sai)

Kí hiệu $\exists$ (tồn tại)

"$\exists x \in X, P(x)$" đọc là: "Tồn tại $x$ thuộc $X$ sao cho $P(x)$ đúng"

Phủ định: $\overline{\exists x \in X, P(x)} \equiv \forall x \in X, \overline{P(x)}$

Ví dụ:

• Mệnh đề: "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 4$" (Đúng, vì $x = 2$ hoặc $x = -2$)
• Phủ định: "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \neq 4$" (Sai)