Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Học cách khử mẫu dấu căn, trục căn thức ở mẫu, cộng trừ và rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai.
Lý thuyết: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
1 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Mục đích: biến biểu thức dưới dấu căn thành không có mẫu.
- Công thức: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}$ (với $a \geq 0$, $b > 0$).
- Ví dụ: $\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.
2 2. Trục căn thức ở mẫu
- Mẫu đơn giản: $\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A\sqrt{B}}{B}$ (nhân tử và mẫu với $\sqrt{B}$).
- Mẫu dạng tổng/hiệu: Dùng hằng đẳng thức liên hợp:
$\frac{A}{\sqrt{B} + \sqrt{C}} = \frac{A(\sqrt{B}-\sqrt{C})}{B-C}$ (với $B \neq C$). - Ví dụ: $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$.
3 3. Cộng, trừ căn thức bậc hai
- Chỉ cộng/trừ được các căn thức đồng dạng (cùng biểu thức dưới dấu căn).
- $m\sqrt{A} + n\sqrt{A} = (m+n)\sqrt{A}$ với $A \geq 0$.
- Cần rút gọn về dạng đồng dạng trước khi cộng/trừ.
- Ví dụ: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$.
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Khử mẫu và trục căn thức ở mẫu
Phương pháp giải
- Xác định dạng mẫu (đơn giản hay tổng/hiệu).
- Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp thích hợp.
- Rút gọn kết quả.
Ví dụ minh họa
Giải:
$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$.
Giải:
$\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7}+\sqrt{3}$.
2 Dạng 2: Cộng trừ và rút gọn biểu thức chứa căn
Phương pháp giải
- Rút gọn từng căn thức về dạng $a\sqrt{b}$ (b không có thừa số chính phương > 1).
- Nhóm các căn thức đồng dạng.
- Cộng/trừ hệ số.
Ví dụ minh họa
Giải:
$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$; $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$; $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.
$P = 3 \cdot 2\sqrt{3} - 2 \cdot 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Giải:
$Q = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{2}$.
3 Dạng 3: Vận dụng thực tế - biểu thức căn trong hình học
Phương pháp giải
- Xác định công thức hình học cần dùng.
- Thay số và rút gọn các biểu thức căn.
- Trình bày kết quả dạng rút gọn hoặc gần đúng.
Ví dụ minh họa
Giải:
Diện tích tam giác đều: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
$S = \frac{(2\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$ cm².
Giải:
Diện tích: $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}}{2} = \frac{16}{2} = 8$ cm².
Nửa đường chéo: $\frac{d_1}{2} = 2\sqrt{2}$, $\frac{d_2}{2} = \sqrt{2}$. Cạnh hình thoi: $\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{8+2} = \sqrt{10}$ cm. Chu vi = $4\sqrt{10}$ cm.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 17 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay