Bài 12. Tích phân
Nắm vững định nghĩa tích phân, công thức Newton-Leibniz và các tính chất quan trọng để tính toán tích phân xác định.
Lý thuyết
1 1. Định nghĩa tích phân
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a; b]$. Hiệu số $F(b) - F(a)$ được gọi là tích phân của $f(x)$ từ $a$ đến $b$.
Ký hiệu: $\int_a^b f(x) dx = F(x) \big|_a^b = F(b) - F(a)$.
Ở đây: $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên, $f(x)$ là hàm số dưới dấu tích phân.
Công thức Newton-Leibniz
$$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$
Chú ý: Tích phân của $f(x)$ trên $[a; b]$ chỉ phụ thuộc vào $f$ và các cận $a, b$, không phụ thuộc vào tên biến số: $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(t)dt = \int_a^b f(u)du$.
2 2. Tính chất của tích phân
- $\int_a^a f(x)dx = 0$
- $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$
- $\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx$ ($k$: hằng số)
- $\int_a^b [f(x) \pm g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx$
- Tính chất cộng cận: $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$ (với $a < c < b$)
3 3. Ý nghĩa hình học
Nếu hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a; b]$ thì tích phân $\int_a^b f(x)dx$ là diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x=a, x=b$.
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa và bảng công thức
Phương pháp giải
- Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về dạng các hàm cơ bản.
- Áp dụng công thức Newton-Leibniz: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$.
- Chú ý các nguyên hàm đặc biệt như $\int \dfrac{dx}{x} = \ln|x|$.
Ví dụ minh họa
$I = \int_1^2 2xdx + \int_1^2 1dx = x^2 \big|_1^2 + x \big|_1^2$
$= (2^2 - 1^2) + (2 - 1) = 3 + 1 = 4$.
$I = e^x \big|_0^1 - 2x \big|_0^1 = (e^1 - e^0) - 2(1 - 0) = e - 1 - 2 = e - 3$.
2 Dạng 2: Tính tích phân dựa vào tính chất
Phương pháp giải
- Sử dụng các tính chất: cộng cận $\int_a^b + \int_b^c = \int_a^c$; đảo cận đổi dấu; tuyến tính.
- Giải các bài toán cho giá trị tích phân thành phần, yêu cầu tính tích phân tổng hợp.
- Xử lý các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng cách chèn cận thích hợp để phá dấu.
Ví dụ minh họa
$I = 3\int_0^2 f(x)dx - 2\int_0^2 g(x)dx + \int_0^2 1dx$
$= 3(3) - 2(5) + x\big|_0^2 = 9 - 10 + 2 = 1$.
Ta có $\int_1^5 f(x)dx = \int_1^3 f(x)dx + \int_3^5 f(x)dx$.
$\Rightarrow 10 = 4 + \int_3^5 f(x)dx \Rightarrow \int_3^5 f(x)dx = 10 - 4 = 6$.
3 Dạng 3: Các bài toán thực tế ứng dụng tích phân
Phương pháp giải
- Xác định đại lượng cần tính là tích phân của hàm tốc độ thay đổi nào (Quãng đường là tích phân vận tốc, Thể tích chất lỏng chảy vào là tích phân lưu lượng, v.v.).
- Thiết lập tích phân xác định với các cận thời gian $[a; b]$.
- Tính giá trị tích phân.
Ví dụ minh họa
$S = \int_0^2 v(t)dt = \int_0^2 (3t^2 + 2)dt$.
$= (t^3 + 2t) \big|_0^2 = (2^3 + 2(2)) - 0 = 8 + 4 = 12$ mét.
Lượng nước $V = \int_0^5 (10 + 2t) dt$.
$= (10t + t^2) \big|_0^5 = (10(5) + 5^2) - 0 = 50 + 25 = 75$ lít.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 10 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay