Bài 11. Nguyên hàm
Làm quen với khái niệm nguyên hàm, các tính chất cơ bản và bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp.
Lý thuyết
1 1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$. Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$.
Định lý
Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ thì:
- Với mỗi hằng số $C$, hàm số $G(x) = F(x) + C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$.
- Ngược lại, mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng $F(x) + C$ ($C \in \mathbb{R}$).
Họ tất cả các nguyên hàm của $f(x)$ được ký hiệu là: $\int f(x)dx = F(x) + C$.
2 2. Tính chất của nguyên hàm
- $\left( \int f(x)dx \right)' = f(x)$
- $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$ (với $k \neq 0$)
- $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$
- $\int f'(x)dx = f(x) + C$
3 3. Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp
| Hàm số $f(x)$ | Họ nguyên hàm $\int f(x)dx$ |
|---|---|
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x + C$ |
| $x^\alpha (\alpha \neq -1)$ | $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x| + C$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ |
| $a^x (0 < a \neq 1)$ | $\dfrac{a^x}{\ln a} + C$ |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ |
| $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan x + C$ |
| $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ | $-\cot x + C$ |
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng bảng công thức và biến đổi sơ cấp
Phương pháp giải
- Biến đổi biểu thức bài toán về dạng tổng/hiệu của các hàm số cơ bản (sử dụng hằng đẳng thức, chia đa thức, lượng giác hóa).
- Áp dụng tính chất $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$.
- Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm kết quả.
Ví dụ minh họa
Ta có $f(x) = x^2 + x - 2$.
$\int (x^2 + x - 2)dx = \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} - 2x + C$.
$f(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2} = 1 - x^{-2}$.
$\int (1 - x^{-2})dx = x - \dfrac{x^{-1}}{-1} + C = x + \dfrac{1}{x} + C$.
2 Dạng 2: Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải
- Tìm họ nguyên hàm $F(x) = G(x) + C$.
- Sử dụng điều kiện bài toán cho (thường là $F(x_0) = k$) để tìm giá trị cụ thể của hằng số $C$.
- Viết kết luận hàm số $F(x)$ hoàn chỉnh.
Ví dụ minh họa
$\int (2x+1)dx = x^2 + x + C$.
Ta có $F(1) = 1^2 + 1 + C = 2 + C$.
Theo đề bài $F(1) = 5 \Rightarrow 2 + C = 5 \Rightarrow C = 3$.
Vậy $F(x) = x^2 + x + 3$.
$\int (e^x + 1)dx = e^x + x + C$.
$F(0) = e^0 + 0 + C = 1 + C$.
$F(0) = 2 \Rightarrow 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1$.
Vậy $F(x) = e^x + x + 1$.
3 Dạng 3: Các bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm
Phương pháp giải
- Xác định đại lượng cần tìm là nguyên hàm của đại lượng nào (ví dụ: Quãng đường $s(t)$ là nguyên hàm của vận tốc $v(t)$; Vận tốc $v(t)$ là nguyên hàm của gia tốc $a(t)$).
- Tìm họ nguyên hàm của hàm số biểu diễn đại lượng biến thiên.
- Sử dụng điều kiện ban đầu (tại $t=0$ hoặc thời điểm cụ thể) để xác định hằng số $C$.
Ví dụ minh họa
Ta có $s(t) = \int v(t)dt = \int (3t^2 + 2)dt = t^3 + 2t + C$.
Tại $t=0, s(0) = 0^3 + 2(0) + C = C$.
Theo đề bài $s(0) = 5 \Rightarrow C = 5$.
Vậy $s(t) = t^3 + 2t + 5$.
Số lượng vi khuẩn $N(t) = \int 100e^{0.5t} dt = \dfrac{100}{0.5}e^{0.5t} + C = 200e^{0.5t} + C$.
Tại $t=0, N(0) = 200e^0 + C = 200 + C$.
Theo đề bài $N(0) = 1000 \Rightarrow 200 + C = 1000 \Rightarrow C = 800$.
Vậy $N(t) = 200e^{0.5t} + 800$.
Tại $t=10, N(10) = 200e^5 + 800 \approx 200(148.4) + 800 \approx 30483$ con.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 10 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngayBài học trong chương: Chương 4: Nguyên hàm và Tích phân
Đây là bài đầu tiên
Bài tiếp theo
Bài 12. Tích phân