Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
Tìm hiểu về tính đơn điệu và cực trị của hàm số thông qua đạo hàm. Nắm vững cách xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số.
Lý thuyết
1 1. Tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa
Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.
Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.
Điều kiện cần và đủ
- Nếu $f'(x) > 0, \forall x \in K$ thì hàm số đồng biến trên $K$.
- Nếu $f'(x) < 0, \forall x \in K$ thì hàm số nghịch biến trên $K$.
- Nếu $f'(x) = 0, \forall x \in K$ thì hàm số không đổi (hàm hằng) trên $K$.
2 2. Cực trị của hàm số
Định nghĩa
Điểm $x_0$ gọi là điểm cực đại của hàm số $f$ nếu tồn tại $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) < f(x_0), \forall x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$. Giá trị $f(x_0)$ gọi là giá trị cực đại.
Điểm $x_0$ gọi là điểm cực tiểu của hàm số $f$ nếu tồn tại $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) > f(x_0), \forall x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$. Giá trị $f(x_0)$ gọi là giá trị cực tiểu.
Điều kiện cần (Định lý Fermat)
Nếu hàm số đạt cực trị tại $x_0$ và có đạo hàm tại đó thì $f'(x_0) = 0$.
Điều kiện đủ
Quy tắc 1 (Dấu hiệu 1):
- Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại.
- Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.
- Nếu $f'(x)$ không đổi dấu qua $x_0$ thì $x_0$ không phải là điểm cực trị.
Quy tắc 2 (Dấu hiệu 2): Giả sử $f'(x_0) = 0$ và có đạo hàm cấp hai:
- Nếu $f''(x_0) < 0$ thì $x_0$ là điểm cực đại.
- Nếu $f''(x_0) > 0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.
- Nếu $f''(x_0) = 0$ thì không kết luận được, phải dùng Quy tắc 1.
• Hàm số có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow$ $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta' = b^2 - 3ac > 0$.
• Hàm số không có cực trị $\Leftrightarrow$ $\Delta' \leq 0$.
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp
- Tìm tập xác định.
- Tính $f'(x)$. Tìm các điểm $x_i$ làm $f'(x)=0$ hoặc không xác định.
- Lập bảng biến thiên xét dấu $f'(x)$.
- Kết luận khoảng đồng biến (dấu +), nghịch biến (dấu -).
Ví dụ minh họa
Giải:
TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$. $y' = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$.
Bảng biến thiên: $y'$ dương trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$; âm trên $(0; 2)$.
Kết luận: Đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, nghịch biến trên $(0; 2)$.
Giải:
TXĐ: $D = \mathbb{R}\setminus\{1\}$.
$y' = \dfrac{2(x-1) - (2x-3)}{(x-1)^2} = \dfrac{-1}{(x-1)^2} < 0$ với mọi $x \neq 1$.
Kết luận: Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
Chú ý: không được nói nghịch biến trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ vì hai khoảng không liên thông.
2 Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp
Sử dụng quy tắc 1 (Bảng biến thiên) hoặc quy tắc 2 ($f''$).
- Quy tắc 1: Tính $f'$, tìm nghiệm, lập bảng xét dấu. Đổi dấu $\rightarrow$ cực trị.
- Quy tắc 2: Giải $f'(x)=0$, thay nghiệm vào $f''(x)$.
Ví dụ minh họa
Giải:
$y' = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$. $y'=0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.
Bảng xét dấu: $y' > 0$ trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$; $y' < 0$ trên $(-1; 1)$.
- $y'$ đổi từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$ $\Rightarrow$ Cực đại: $y(-1) = -1+3+2 = 4$.
- $y'$ đổi từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ $\Rightarrow$ Cực tiểu: $y(1) = 1-3+2 = 0$.
Giải:
TXĐ: $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
$y' = \dfrac{2x(x-1)-(x^2+2)}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x-2}{(x-1)^2}$. $y'=0 \Leftrightarrow x^2-2x-2=0 \Leftrightarrow x = 1\pm\sqrt{3}$.
$x_1 = 1-\sqrt{3} \approx -0{,}73$: $y'$ đổi từ $+$ sang $-$ → cực đại.
$x_2 = 1+\sqrt{3} \approx 2{,}73$: $y'$ đổi từ $-$ sang $+$ → cực tiểu.
3 Dạng 3: Đọc bảng biến thiên và đồ thị
Phương pháp
- Đơn điệu: Đồ thị đi lên (đồng biến), đi xuống (nghịch biến). $f'>0$ (đồng biến), $f'<0$ (nghịch biến).
- Cực trị: Điểm "đỉnh núi" (cực đại), "đáy thung lũng" (cực tiểu). Điểm làm $f'$ đổi dấu.
Ví dụ minh họa
Nhìn vào bảng biến thiên, tìm điểm mà $y'$ đổi dấu từ dương sang âm.
Giải:
- Tại $x = -2$: $f'$ đổi từ $+$ sang $-$ nên $x=-2$ là điểm cực đại.
- Tại $x = 1$: $f'$ đổi từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu.
4 Dạng 4: Bài toán thực tế ứng dụng cực trị
Phương pháp
- Đặt ẩn phụ hợp lý cho yếu tố cần tối ưu hóa, xác định điều kiện ràng buộc.
- Biểu diễn hàm mục tiêu (diện tích, thể tích, lợi nhuận, chi phí...) theo ẩn phụ đó.
- Tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm bằng 0 trên miền xác định của bài toán.
- Kết luận giá trị cực trị và trả lời câu hỏi bài toán (kèm đơn vị).
Ví dụ minh họa
Giải:
Gọi cạnh đáy là $a > 0$, chiều cao là $h > 0$. Thể tích: $a^2 h = 32 \Rightarrow h = \dfrac{32}{a^2}$.
Diện tích 5 mặt: $S = a^2 + 4ah = a^2 + \dfrac{128}{a}$.
$S' = 2a - \dfrac{128}{a^2} = 0 \Leftrightarrow a^3 = 64 \Leftrightarrow a = 4$.
$S''(4) = 2 + \dfrac{256}{64} = 6 > 0$ → cực tiểu. Vậy $a = 4$ cm, $S_{min} = 48$ cm².
Giải:
$P'(x) = -3x^2 + 12x + 15 = -3(x-5)(x+1)$. Trên $[0;8]$: $P'=0 \Leftrightarrow x=5$.
$P'$ đổi từ $+$ sang $-$ tại $x=5$ → cực đại. $P(5) = -125+150+75-20 = 80$ triệu đồng.
Vậy bán 5 sản phẩm/ngày đạt lợi nhuận lớn nhất là 80 triệu đồng.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay