Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Định lý

Trong tam giác $ABC$ với các cạnh $a, b, c$ đối diện với các góc $A, B, C$, ta có:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Hệ quả

Từ định lý cosin, ta suy ra các công thức tính cosin của các góc:

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

$$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Ý nghĩa

• Định lý cosin mở rộng định lý Pythagore cho mọi tam giác (không chỉ tam giác vuông)
• Nếu $C = 90°$ thì $\cos C = 0$, ta được: $c^2 = a^2 + b^2$ (định lý Pythagore)
• Dùng để tính cạnh khi biết hai cạnh và góc xen giữa
• Dùng để tính góc khi biết ba cạnh

Định lý

Trong tam giác $ABC$ với bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R$, ta có:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

Các hệ quả

1. Tính cạnh theo góc và bán kính:

$$a = 2R\sin A, \quad b = 2R\sin B, \quad c = 2R\sin C$$

2. Tính sin của góc theo cạnh:

$$\sin A = \frac{a}{2R}, \quad \sin B = \frac{b}{2R}, \quad \sin C = \frac{c}{2R}$$

3. Tỉ số cạnh:

$$\frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\sin B}, \quad \frac{b}{c} = \frac{\sin B}{\sin C}, \quad \frac{a}{c} = \frac{\sin A}{\sin C}$$

Ứng dụng

• Tính cạnh khi biết một cạnh và hai góc
• Tính góc khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa
• Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Các công thức cơ bản

1. Công thức dùng cạnh và chiều cao:

$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{cạnh đáy} \cdot \text{chiều cao}$$

Ví dụ: $S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}bh_b = \frac{1}{2}ch_c$

2. Công thức dùng hai cạnh và góc xen giữa:

$$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$$

3. Công thức Heron:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

trong đó $p = \frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi tam giác

4. Công thức dùng bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$$S = \frac{abc}{4R}$$

5. Công thức dùng bán kính đường tròn nội tiếp:

$$S = pr$$

trong đó $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp

Công thức tính đường trung tuyến

Trong tam giác $ABC$, độ dài các đường trung tuyến $m_a, m_b, m_c$ (từ đỉnh $A, B, C$ đến trung điểm cạnh đối diện) được tính theo công thức:

$$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$$

$$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$$

$$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$$

Dạng khác

Có thể viết lại dưới dạng:

$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$$

Tính chất

• Trong tam giác, tổng bình phương ba đường trung tuyến bằng $\frac{3}{4}$ tổng bình phương ba cạnh:

$$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp (R)

Công thức 1: Từ định lý sin:

$$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$$

Công thức 2: Theo diện tích:

$$R = \frac{abc}{4S}$$

Bán kính đường tròn nội tiếp (r)

Công thức 1: Theo diện tích và nửa chu vi:

$$r = \frac{S}{p}$$

với $p = \frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi

Công thức 2: Theo công thức Heron:

$$r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$

Công thức 3: Theo các cạnh:

$$r = (p-a)\tan\frac{A}{2} = (p-b)\tan\frac{B}{2} = (p-c)\tan\frac{C}{2}$$

Đo đạc và xác định khoảng cách

Các hệ thức lượng trong tam giác được ứng dụng để:

• Đo chiều cao của vật không thể tiếp cận (núi, tháp, cây cao)
• Xác định khoảng cách giữa hai điểm khi không thể đo trực tiếp
• Đo khoảng cách từ một điểm đến một vật trên biển

Thiết kế và xây dựng

• Thiết kế mái nhà, kết cấu tam giác trong kiến trúc
• Tính toán lực trong các cấu trúc tam giác (cầu treo, khung thép)
• Quy hoạch đường giao thông

Định vị và dẫn đường

• GPS và hệ thống định vị sử dụng phép đo tam giác
• Hàng hải: xác định vị trí tàu bằng tam giác định vị
• Thiên văn học: đo khoảng cách đến các ngôi sao

Bài toán thực tế

Ví dụ: Từ hai điểm $A$ và $B$ cách nhau 100m trên bờ sông, người ta quan sát một cây $C$ ở bờ bên kia. Đo được $\angle CAB = 75°$ và $\angle CBA = 60°$. Tính khoảng cách từ $A$ đến cây $C$.