Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hoặc nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn cùng xét đồng thời.

Dạng tổng quát:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y < c_1 \\ a_2x + b_2y < c_2 \\ \dots \end{cases}$$

(Dấu $<$ có thể thay bằng $\leq$, $>$, $\geq$)

Ví dụ

$$\begin{cases} 2x + y \leq 4 \\ x - y < 2 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$

Nghiệm của hệ bất phương trình

Cặp số $(x_0; y_0)$ được gọi là nghiệm của hệ bất phương trình nếu nó đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ.

Khái niệm

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ.

Tính chất

• Miền nghiệm thường là một đa giác (có thể bị chặn hoặc không bị chặn)
• Miền nghiệm có thể là tập rỗng (nếu các bất phương trình mâu thuẫn)
• Các đỉnh của miền nghiệm là giao điểm của các đường thẳng biên

Biểu diễn hình học

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, miền nghiệm được biểu diễn bằng phần gạch chéo hoặc tô màu.

Các bước thực hiện

1. Bước 1: Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình:
   • Vẽ đường thẳng biên (nét liền hoặc nét đứt)
   • Xác định nửa mặt phẳng nghiệm bằng điểm thử
   • Gạch chéo hoặc tô màu miền nghiệm của từng bất phương trình
2. Bước 2: Tìm miền giao:
   • Miền nghiệm của hệ là phần chung (giao) của tất cả các miền đã tô
   • Thường tô đậm hoặc gạch chéo khác màu để phân biệt
3. Bước 3: Xác định các đỉnh (nếu cần):
   • Tìm giao điểm của các đường thẳng biên
   • Kiểm tra xem giao điểm có thuộc miền nghiệm không

Ví dụ minh họa

Biểu diễn miền nghiệm của hệ:

$$\begin{cases} x + y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$

Giải:

• $(d_1): x + y = 4$ (nét liền), miền nghiệm chứa $O(0;0)$
• $(d_2): x = 0$ (trục $Oy$), miền nghiệm: $x \geq 0$ (bên phải trục $Oy$)
• $(d_3): y = 0$ (trục $Ox$), miền nghiệm: $y \geq 0$ (phía trên trục $Ox$)

Miền nghiệm là tam giác $OAB$ với $O(0; 0)$, $A(4; 0)$, $B(0; 4)$, kể cả các cạnh.

Đặt bài toán

Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn xác định miền nghiệm $D$. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

$$F(x, y) = ax + by + c$$

với $(x; y) \in D$.

Định lý cơ bản

Nếu miền nghiệm $D$ là một đa giác (miền bị chặn), thì:

• Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $F(x, y)$ trên $D$ (nếu có) đạt được tại các đỉnh của đa giác đó.

Phương pháp giải

1. Biểu diễn miền nghiệm $D$ của hệ bất phương trình
2. Xác định tọa độ các đỉnh của miền nghiệm
3. Tính giá trị $F$ tại tất cả các đỉnh
4. So sánh và chọn giá trị lớn nhất/nhỏ nhất

Chú ý

• Nếu miền nghiệm không bị chặn, $F$ có thể không có GTLN hoặc GTNN
• Cần kiểm tra xem đỉnh có thuộc miền nghiệm không (nét đứt hay nét liền)

Dạng bài toán điển hình

Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm $A$ và $B$. Biết rằng:

• Lợi nhuận từ sản phẩm $A$ và $B$
• Các ràng buộc về nguyên liệu, thời gian, máy móc,...

Hỏi cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để lợi nhuận cao nhất?

Các bước giải

1. Bước 1: Gọi ẩn số
   • Gọi $x$ là số sản phẩm $A$, $y$ là số sản phẩm $B$
   • Điều kiện: $x \geq 0$, $y \geq 0$
2. Bước 2: Lập hệ bất phương trình từ các ràng buộc
3. Bước 3: Lập biểu thức lợi nhuận $F(x, y)$
4. Bước 4: Biểu diễn miền nghiệm và tìm các đỉnh
5. Bước 5: Tính $F$ tại các đỉnh, tìm GTLN
6. Bước 6: Kết luận

Ví dụ

Một xưởng sản xuất hai loại bánh $A$ và $B$. Mỗi kg bánh $A$ lãi 40 nghìn đồng, mỗi kg bánh $B$ lãi 30 nghìn đồng. Để sản xuất 1 kg bánh $A$ cần 2 kg bột, 1 kg bánh $B$ cần 1 kg bột. Xưởng có 100 kg bột. Thời gian làm 1 kg bánh $A$ là 3 giờ, 1 kg bánh $B$ là 2 giờ, tổng thời gian không quá 120 giờ. Hỏi nên sản xuất bao nhiêu kg mỗi loại để lợi nhuận cao nhất?

Giải: Gọi $x$ (kg) là số bánh $A$, $y$ (kg) là số bánh $B$ $(x, y \geq 0)$

Điều kiện:

$$\begin{cases} 2x + y \leq 100 \\ 3x + 2y \leq 120 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$

Lợi nhuận: $F = 40x + 30y$ (nghìn đồng)

Các đỉnh: $O(0; 0)$, $A(40; 0)$, $B(20; 60)$, $C(0; 100)$... (cần kiểm tra)

Tính $F$ tại các đỉnh để tìm GTLN.