Sách bài tập Toán 7 Bài 7 (Cánh diều): Tam giác cân

Tên tam giác cân

Cạnh bên

Cạnh đáy

Góc ở đáy

Góc ở đỉnh

∆ADE

(Do AD = AE = 2)

AD, AE

\hat{A D E}, \hat{A E D}

\hat{D A E}

∆ABC

(Do AB = AC = 4)

AB, AC

\hat{A B C}, \hat{A C B}

\hat{B A C}

∆AHC

(Do AC = AH = 4)

AC, AH

\hat{A C H}, \hat{A H C}

\hat{H A C}

Bài 44 trang 83 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Ở Hình 36 có AB song song cới CD, BC song song với AD. Tia phân giác của góc BAD cắt BC tại E và cắt tia DC tại F.

Ở Hình 36 có AB song song cới CD, BC song song với AD. Tia phân giác của góc BAD

a) Chứng minh các tam giác ABE, CEF, DAF là các tam giác cân.

b) Tính số đo mỗi góc của tam giác ADF, biết $\hat{B A D} = 60 °$ .

Lời giải:

a) • Vì AE là tia phân giác của $\hat{B A D}$ nên $\hat{B A E} = \hat{E A D}$ .

Vì BC // AD nên $\hat{B E A} = \hat{E A D}$ (hai góc so le trong)

Do đó $\hat{B A E} = \hat{B E A}$ .

Suy ra tam giác ABE cân tại B.

• Vì AB // CD nên $\hat{B A E} = \hat{F}$ (hai góc so le trong).

Mà $\hat{B A E} = \hat{B E A}$ (chứng minh trên), $\hat{C E F} = \hat{B E A}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra $\hat{C E F} = \hat{F}$ .

Nên tam giác CEF cân tại C.

• Ta có $\hat{B A F} = \hat{DAF}$ và $\hat{B A F} = \hat{D F A}$ nên $\hat{D A F} = \hat{D F A}$ .

Do đó tam giác DAF cân tại D.

Vậy ∆ABE cân tại B, ∆CEF cân tại C, ∆DAF cân tại D.

b) Vì AB // CD nên $\hat{B A D} + \hat{A D F} = 180 °$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra $\hat{A D F} = 180 ° - \hat{B A D} = 180 ° - 60 ° = 120 °$

Xét ∆ADF có $\hat{A D F} + \hat{D F A} + \hat{D A F} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác).

Mà $\hat{A D F} = 120 °$ , $\hat{D A F} = \hat{D F A}$ .

Nên $\hat{D A F} = \hat{D F A} = \frac{180 ° - \hat{A D F}}{2} = \frac{180 ° - 120 °}{2} = 30 °$ .

Vậy $\hat{D A F} = \hat{D F A} = 30 °, \hat{F D A} = 120 ° .$

Bài 45 trang 83 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có $\hat{B A C} = 56 °$ . Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho AC = CM. Tính số đo mỗi góc của tam giác ABM.

Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC = 56 độ. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho AC = CM

Lời giải:

• Vì tam giác ABC cân tại A nên $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ (hai góc ở đáy).

Xét tam giác ABC có $\hat{A B C} + \hat{A C B} + \hat{B A C} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Do đó $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \frac{180 ° - \hat{B A C}}{2} = \frac{180 ° - 56 °}{2} = 62 °$ .

• Ta có $\hat{A C B} + \hat{A C M} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\hat{A C M} = 180 ° - \hat{A C B} = 180 ° - 62 ° = 118 °$ .

• Vì AC = CM (giả thiết) nên tam giác ACM cân tại C.

Suy ra $\hat{C A M} = \hat{C M A}$ (hai góc ở đáy).

Xét ∆AMC có: $\hat{A M C} + \hat{A C M} + \hat{M A C} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác).

Do đó $\hat{C A M} = \hat{C M A} = \frac{180 ° - \hat{A C M}}{2} = \frac{180 ° - 118 °}{2} = 31 °$ .

Ta có $\hat{B A M} = \hat{B A C} + \hat{C A M} = 56 ° + 31 ° = 87 °$ .

Vậy $\hat{B A M} = 87 °, \hat{A B M} = 62 °, \hat{A M B} = 31 ° .$

Bài 46 trang 83 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC. Tính số đo góc BAC, biết IA = IB = IC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC. Tính số đo góc BAC, biết IA = IB = IC

• Vì IA = IB nên tam giác IAB cân tại I.

Suy ra $\hat{I B A} = \hat{I A B}$

• Vì IA = IC nên tam giác IAC cân tại I.

Suy ra $\hat{I A C} = \hat{I C A}$

Xét ∆ABC có: $\hat{B A C} + \hat{C B A} + \hat{B C A} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác).

Hay $\hat{B A C} + \hat{I A B} + \hat{I A C} = 2 \hat{B A C} = 180 °$

Do đó $\hat{B A C} = 90 °$

Vậy $\hat{B A C} = 90 °$ .

Bài 47 trang 83 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác MNP cân tại P. Lấy điểm A trên cạnh PM, điểm B trên cạnh PN sao cho PA = PB. Gọi O là giao điểm của NA và MB. Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân.

Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC. Tính số đo góc BAC, biết IA = IB = IC

Lời giải:

Vì ∆MNP cân tại P nên ta có:

PM = PN (hai cạnh bên), $\hat{P M N} = \hat{P N M}$ (hai góc ở đáy).

Ta có PM = PA + AM, PN = PB + BN.

Mà PM = PN (chứng minh trên), PA = PB (giả thiết).

Suy ra AM = BN.

Xét ∆AMN và ∆BNM có:

AM = BN (chứng minh trên),

MN là cạnh chung,

$\hat{A M N} = \hat{B N M}$ (do $\hat{P M N} = \hat{P N M}$ )

Do đó ∆AMN = ∆BNM (c.g.c).

Suy ra $\hat{A N M} = \hat{B M N}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\hat{O N M} = \hat{O M N}$

Do đó tam giác ONM cân tại O.

Vậy tam giác OMN là tam giác cân tại O.

Bài 48 trang 83 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có $\hat{B A C} = 120 °$ . Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho BD = BA, CE = CA.

a) Chứng minh các tam giác BAD, CAE, AED là các tam giác cân.

b) Tính số đo mỗi góc của tam giác ADE.

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC = 120 độ. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E

a) Vì BD = BA (giả thiết) nên tam giác ABD cân tại B.

Suy ra $\hat{B A D} = \hat{B D A}$ (hai góc ở đáy).

Vì CE = CA (giả thiết) nên tam giác ACE cân tại C.

Suy ra $\hat{C A E} = \hat{C E A}$ (hai góc ở đáy).

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\hat{A B C} = \hat{A C B}$

• Xét ∆ABC có: $\hat{B A C} + \hat{C B A} + \hat{B C A} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\hat{B A C} = 120 °$ (giả thiết), $\hat{A B C} = \hat{A C B}$

Suy ra $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \frac{180 ° - \hat{B A C}}{2} = \frac{180 ° - 120 °}{2} = 30 °$ .

• Xét ∆ABD có: $\hat{B A D} + \hat{D B A} + \hat{B D A} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\hat{A B D} = 30 °$ , $\hat{B A D} = \hat{B D A}$

Suy ra $\hat{A D B} = \frac{180 ° - \hat{A B D}}{2} = \frac{180 ° - 30 °}{2} = 75 °$ .

• Xét ∆ACE có: $\hat{A C E} + \hat{A E C} + \hat{C A E} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\hat{A C E} = 30 °$ , $\hat{C A E} = \hat{C E A}$

Suy ra $\hat{A E C} = \frac{180 ° - \hat{A C E}}{2} = \frac{180 ° - 30 °}{2} = 75 °$ .

Xét tam giác ADE có $\hat{A D E} = \hat{A E D}$ (cùng bằng 75°).

Suy ra tam giác AED cân tại A.

Vậy ∆ABD cân tại B, ∆ACE cân tại C và ∆AED cân tại A.

b) Xét ∆ADE có: $\hat{A D E} + \hat{A E D} + \hat{D A E} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\hat{D A E} = 180 ° - \hat{A D E} - \hat{A E D} = 180 ° - 75 ° - 75 ° = 30 °$ .

Vậy ∆ADE có $\hat{A D E} = \hat{A E D} = 75 °, \hat{E A D} = 30 ° .$

Bài 49 trang 83 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho Hình 37 có AB = AC = BC = BD = CE, $\hat{A B D} = \hat{A C E} = 90 °$ .

Cho Hình 37 có AB = AC = BC = BD = CE, góc ABD = góc ACE = 90 độ

a) Chứng minh tam giác AED là tam giác cân.

b) Tính số đo các góc của tam giác ADE.

c) Chứng minh DC = BE.

Lời giải:

a) Xét ∆ABD và ∆ACE có:

$\hat{A B D} = \hat{A C E} = 90 °$ (giả thiết),

AB = AC (giả thiết),

BD = CE (giả thiết).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng).

Nên tam giác AED cân tại A.

Vậy tam giác AED cân tại A.

b) • Vì AB = AC = BC (giả thiết) nên tam giác ABC đều.

Suy ra $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \hat{B A C} = 60 °$ .

Vì AC = CE , $\hat{A C E} = 90 °$ (giả thiết) nên tam giác ACE vuông cân tại C.

Suy ra $\hat{C E A} = \hat{C A E} = \frac{180 ° - 90 °}{2} = 45 °$ .

Vì AB = BD , $\hat{A B D} = 90 °$ (giả thiết) nên tam giác ABD vuông cân tại B.

Suy ra $\hat{B A D} = \hat{B D A} = \frac{180 ° - 90 °}{2} = 45 °$ .

Ta có $\hat{D A E} = \hat{D A B} + \hat{B A C} + \hat{C A E} = 45 ° + 60 ° + 45 ° = 150 °$ .

• Vì tam giác AED cân tại A nên $\hat{A D E} = \hat{A E D}$

Xét ∆ADE có: $\hat{A D E} + \hat{A E D} + \hat{D A E} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\hat{E A D} = 150 °$ , $\hat{A D E} = \hat{A E D}$

Suy ra $\hat{A D E} = \hat{A E D} = \frac{180 ° - 150 °}{2} = 15 °$ .

Vậy ∆ADE có $\hat{A D E} = \hat{A E D} = 15 °, \hat{E A D} = 150 °$ .

c) Ta có $\hat{D B C} = \hat{A B C} + \hat{A B D} = 60 ° + 90 ° = 150 °$ .

$\hat{B C E} = \hat{A C B} + \hat{A C E} = 60 ° + 90 ° = 150 °$ .

Xét ∆CBD và ∆BCE có:

BC là cạnh chung,

$\hat{D B C} = \hat{B C E}$ (cùng bằng 150°),

BD = CE (giả thiết),

Do đó ∆BDC = ∆CEB (c.g.c).

Suy ra DC = EB (hai cạnh tương ứng)

Vậy DC = BE.

Giải SBT Toán 7 trang 84 Tập 2

Bài 50 trang 84 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác đều ABC. Gọi E, D, F là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, AC, BC sao cho AD = CF = BE. Chứng minh tam giác DEF là tam giác đều.

Lời giải:

Vì tam giác ABC đều (giả thiết)

Nên AB = BC = AC và $\hat{A B C} = \hat{B A C} = \hat{A C B} = 60 °$ .

Ta có AB = AE + BE, AC = AD + DC, BC = BF + FC

Mà AB = BC = AC, AD = CF = BE.

Suy ra AE = BF = CD.

• Xét ∆ADE và ∆BEF có:

AD = BE (giả thiết),

$\hat{D A E} = \hat{F B E}$ (cùng bằng 60°),

AE = BF (chứng minh trên).

Do đó ∆ADE = ∆BEF (c.g.c).

Suy ra DE = EF (hai cạnh tương ứng) (1)

• Xét ∆CFD và ∆BEF có:

CF = BE (giả thiết),

$\hat{F C D} = \hat{E B F}$ (cùng bằng 60°),

CD = BF (chứng minh trên).

Do đó ∆CFD = ∆BEF (c.g.c).

Suy ra FD = EF (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE = EF = FD.

Do đó tam giác DFE đều.

Vậy tam giác DEF là tam giác đều.

Bài 51 trang 84 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Gọi O là giao điểm của DE và BC. Biết OD = OE. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Lời giải:

Cho tam giác ABC. Trên cạnh BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD

Qua D vẽ DK // AC (K ∈ BC) nên $\hat{K D O} = \hat{O E C}$ (hai góc so le trong).

Xét DOKD và DOCE có:

$\hat{K D O} = \hat{O E C}$ (chứng minh trên),

OD = OE (giả thiết),

$\hat{D O K} = \hat{E O C}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆OKD = ∆OCE (g.c.g).

Suy ra KD = CE (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác BD = CE suy ra DB = DK hay tam giác DBK cân tại D.

Suy ra $\hat{D B K} = \hat{D K B}$ (1)

Do DK // AC nên $\hat{D K B} = \hat{A C B}$ (hai góc đồng vị) (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Suy ra tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

SBT Toán 7 Bài 6 : Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

SBT Toán 7 Bài 7 : Tam giác cân

SBT Toán 7 Bài 8 : Đường vuông góc và đường xiên

SBT Toán 7 Bài 9 : Đường trung trực của một đoạn thẳng

SBT Toán 7 Bài 10 : Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

====== ****&**** =====

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy