Sách bài tập Toán 10 Bài 3 (Cánh diều): Tổ hợp

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 3: Tổ hợp

Giải SBT Toán 10 trang 13 Tập 2

Bài 20 trang 13 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tổ hợp chập k của n phần tử đó là:

A. Tất cả kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.

B. Một tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A.

C. Một kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.

D. Tất cả tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.

Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 21 trang 13 SBT Toán 10 Tập 2: Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$ .

B. $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ .

C. $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{(n - k)!}$ .

D. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n.

Ta có $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!} = C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

Do đó phương án A, D đúng.

Theo tính chất của các số $C_{n}^{k}$ , ta có $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ .

Do đó phương án B đúng.

Suy ra phương án C sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 22 trang 13 SBT Toán 10 Tập 2: Tính số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong 10 điểm phân biệt.

Lời giải:

Mỗi đoạn thẳng tương ứng với một cặp điểm (không tính thứ tự) chọn trong 10 điểm phân biệt đã cho.

Mỗi cách chọn 2 trong 10 điểm phân biệt là một tổ hợp chập 2 của 10.

Số cách chọn 2 trong 10 điểm phân biệt là: $C_{10}^{2} = 45$ (cách chọn).

Vậy có 45 đoạn thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 23 trang 13 SBT Toán 10 Tập 2: Cho n điểm phân biệt (n > 1). Biết rằng, số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong n điểm đã cho bằng 78. Tìm n.

Lời giải:

Số đoạn thẳng có 2 đầu mút là 2 trong n điểm đã cho là: $C_{n}^{2} = \frac{n!}{2! (n - 2)!}$ .

Theo đề, ta có số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong n điểm đã cho bằng 78.

Tức là, $\frac{n!}{2! (n - 2)!} = 78$ .

Suy ra $\frac{(n - 2)! . (n - 1) . n}{2. (n - 2)!} = 78$ .

Khi đó $\frac{(n - 1) . n}{2} = 78$ .

Do đó n² – n = 156.

Vì vậy n² – n – 156 = 0.

Suy ra n = 13 hoặc n = –12.

Vì n > 1 nên ta nhận n = 13.

Vậy n = 13 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giải SBT Toán 10 trang 14 Tập 2

Bài 24 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Tính số đường chéo của một đa giác lồi có 12 đỉnh.

Lời giải:

Đa giác lồi có 12 đỉnh thì có 12 cạnh.

Số cách chọn 2 đỉnh trong 12 đỉnh là một tổ hợp chập 2 của 12.

Suy ra số cách chọn 2 đỉnh trong 12 đỉnh là: $C_{12}^{2}$ (cách chọn).

Vậy số đường chéo cần tìm là $C_{12}^{2} - 12 = 54$ .

Bài 25 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đa giác lồi n đỉnh (n > 3). Biết rằng, số đường chéo của đa giác đó là 170. Tìm n.

Lời giải:

Số đường chéo của đa giác lồi n đỉnh là một cặp đỉnh (không tính n cạnh) được chọn trong n đỉnh của đa giác lồi nên ta có $C_{n}^{2} - n = \frac{n!}{2! . (n - 2)!} - n$ .

Theo đề, ta có số đường chéo của đa giác đó là 170.

Tức là, $\frac{n!}{2! . (n - 2)!} - n = 170$ .

Suy ra $\frac{(n - 2)! . (n - 1) . n}{2. (n - 2)!} - n = 170$ .

Khi đó (n – 1).n – 2n = 340.

Vì vậy n² – 3n – 340 = 0.

Suy ra n = 20 hoặc n = –17.

Vì n > 3 nên ta nhận n = 20.

Vậy n = 20 là giá trị cần tìm.

Bài 26 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Bạn Nam đến cửa hàng mua 2 chiếc ghế loại A. Tại cửa hàng, ghế loại A màu xanh có 20 chiếc và ghế loại A màu đỏ có 15 chiếc. Hỏi bạn Nam có bao nhiêu cách chọn mua 2 chiếc ghế loại A?

Lời giải:

Cửa hàng đó có tất cả 20 + 15 = 35 (chiếc ghế).

Mỗi cách chọn 2 chiếc ghế trong tổng số 35 chiếc là một tổ hợp chập 2 của 35.

Vậy số cách chọn 2 chiếc ghế loại A trong tổng số 35 chiếc ghế là: $C_{35}^{2} = 595$ .

Bài 27 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng:

a) $k C_{n}^{k} = n C_{n - 1}^{k - 1}$ với 1 ≤ k ≤ n.

b) $\frac{1}{k + 1} C_{n}^{k} = \frac{1}{n + 1} C_{n + 1}^{k + 1}$ với 0 ≤ k ≤ n.

Lời giải:

a) Ta có $k C_{n}^{k} = k . \frac{n!}{k! . (n - k)!}$

$= \frac{k . n!}{k . (k - 1)! . (n - k)!} = \frac{n . (n - 1)!}{(k - 1)! . [(n - 1) - (k - 1)]!} = n C_{n - 1}^{k - 1}$

Vậy $k C_{n}^{k} = n C_{n - 1}^{k - 1}$ với 1 ≤ k ≤ n.

b) Ta có $\frac{1}{k + 1} C_{n}^{k} = \frac{1}{k + 1} . \frac{n!}{k! . (n - k)!}$

$= \frac{n!}{(k + 1)! . (n - k)!} = \frac{1}{n + 1} . \frac{(n + 1) . n!}{(k + 1)! . [(n + 1) - (k + 1)]!} = \frac{1}{n + 1} . \frac{(n + 1)!}{(k + 1)! . [(n + 1) - (k + 1)]!} = \frac{1}{n + 1} C_{n + 1}^{k + 1}$

Vậy $\frac{1}{k + 1} C_{n}^{k} = \frac{1}{n + 1} C_{n + 1}^{k + 1}$ với 0 ≤ k ≤ n.

Xêm thêm các bài giải SBT Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Bài 4: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng. Sai số

====== ****&**** =====

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy