Chuyên đề Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton

Montoan.com giới thiệu giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton hay, chi tiết sách Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề học tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton

1. Tam giác pascal

HĐ1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (a + b)ⁿ, n  {1; 2; 3; 4; 5}.

Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:

(a + b)¹ = a + b

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Với n  {1; 2: 3; 4; 5}, trong khai triển của mỗi nhị thức (a + b)ⁿ:

a) Có bao nhiêu số hạng?

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?

c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải?

Lời giải:

a) Có n + 1 số hạng, số hạng đầu tiên là aⁿ và số hạng cuối cùng là bⁿ.

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng đều bằng n.

c) Số mũ của a giảm 1 đơn vị và số mũ của b tăng 1 đơn vị khi chuyền từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải.

HĐ2 trang 33 Chuyên đề Toán 10: Tam giác Pascal

Viết các hệ số của khai triển (a + b)ⁿ với một số giá trị đầu tiên của n, trong bảng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal

 

Lời giải:

Hàng đầu quy ước gọi là hàng 0. Hàng n ứng với các hệ số trong khai triển nhị thức (a + b)ⁿ.

Từ tính chất này ta có thể tìm bất kì hàng nào của tam giác Ơasscal từ hàng ở ngay phía trên nó. Chẳng hạn ta có thể tìm hàng 6 từ hàng 5 như sau:

 

Luyện tập 1 trang 34 Chuyên đề Toán 10:

a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a + b)⁷.

b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (2x – 1)⁴.

Lời giải:

a) (a + b)⁷ = a⁷ + 7a⁶b + 21a⁵b² + 35a⁴b³ + 35a³b⁴ + 21a²b⁵ + 7ab⁶ + b⁷.

b) (2x – 1)⁴ = [(2x + (–1)]⁴ = (2x)⁴ + 4(2x)³(–1) + 6(2x)²(–1)² + 4(2x)(–1)³ + (–1)⁴

= 16x⁴ – 32x³ + 24x² – 8x + 1.

HĐ3 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Tính chất của các số $C_n^k$

a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:

(a + b)¹ = a + b = $C_1^{0}a+C_1^{0}b$

(a + b)² = a² + 2ab + b² = $C_2^0{a}^2+C_2^{1}ab+C_2^0{b}^2$

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = $C_3^0{a}^3+C_3^1{a}^{2}b+C_3^{2}a{b}^2+C_3^0{b}^3$

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = …

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ = …

Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, $C_4^1$ và $C_4^3$, ${\mathrm{C}}_5^2$ và ${\mathrm{C}}_5^3$. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_n^k$ và $C_n^{n-k}$ (0 ≤ k ≤ n).

b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:

 

Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh ${\mathrm{C}}_1^0+{\mathrm{C}}_1^1$ và ${\mathrm{C}}_2^1$, ${\mathrm{C}}_2^0+{\mathrm{C}}_2^1$ và $C_3^1$,… Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ và $C_n^k.$

Lời giải:

a) (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

= ${\mathrm{C}}_4^0$a⁴ + ${\mathrm{C}}_4^1$a³b + ${\mathrm{C}}_4^2$a²b² + ${\mathrm{C}}_4^3$ab³ + ${\mathrm{C}}_4^4$b⁴.

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

= ${\mathrm{C}}_5^0$a⁵ + ${\mathrm{C}}_5^1$a⁴b + ${\mathrm{C}}_5^2$a³b² + ${\mathrm{C}}_5^3$a²b³ + ${\mathrm{C}}_5^4$ab⁴ + ${\mathrm{C}}_5^5$b⁵.

Ta thấy ${\mathrm{C}}_4^1$ = ${\mathrm{C}}_4^3$, ${\mathrm{C}}_5^2$ = ${\mathrm{C}}_5^3$,…

Dự đoán: ${\mathrm{C}}_n^k$ = $C_n^{n-k}$.

b) Ta thấy $C_1^0+C_1^1$ = $C_2^1,$ ${\mathrm{C}}_2^0+{\mathrm{C}}_2^1$ = ${\mathrm{C}}_3^1$,…

Dự đoán: $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ = $C_n^k.$

2. Công thức nhị thức Newton

HĐ4 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Quan sát khai triển nhị thức của (a + b)ⁿ với n ∈ {1; 2; 3; 4; 5} ở HĐ3, hãy dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát.

Lời giải:

Dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát:

${(a+b)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+\dots +C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n.$

Luyện tập 2 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (x – 2y)⁶.

Lời giải:

(x – 2y)⁶

$=C_6^0{x}^6+C_6^1{x}^5\left(-2y\right)+C_6^2{x}^4{\left(-2y\right)}^2+C_6^3{x}^3{\left(-2y\right)}^3$

$+C_6^4{x}^2{\left(-2y\right)}^4+C_6^{5}x{\left(-2y\right)}^5+C_6^6{\left(-2y\right)}^6$

$=x^6-C_6^{1}2x^{5}y+C_6^2{2}^2{x}^4{y}^2-C_6^3{2}^3{x}^3{y}^3+C_6^4{2}^4{x}^2{y}^4-C_6^5{2}^{5}x{y}^5+2^6{y}^6.$

Luyện tập 3 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁷ trong khai triền thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰.

Lời giải:

Số hạng chứa x⁷ trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰ hay (–3x + 2)¹⁰ là

$C_{10}^{10-7}{\left(-3x\right)}^7{2}^{10-7}=C_{10}^3{\left(-3\right)}^7{2}^3{x}^7=-2099520x^7.$

Vậy hệ số của x⁷ trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰ là –2099520.

Vận dụng trang 36 Chuyên đề Toán 10: (Số các tập con của tập hợp có n phần tử)

a) Viết khai triển nhị thức Newton của (1 + x)ⁿ.

b) Cho x = 1 trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng  (0 < k < n) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.

c) Tương tự, cho x = –1 trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.

Lời giải:

a) Ta có:

${(x+1)}^n=C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}1+C_n^2{x}^{n-2}{1}^2+\dots +C_n^{n-1}x{1}^{n-1}+C_n^n{1}^n$

$=C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}+C_n^2{x}^{n-2}+\dots +C_n^{n-1}x+C_n^n.$

b) Cho x = 1, ta được:

${(1+1)}^n={\text{C}}_2^0{1}^n+{\text{C}}_n^1{1}^{n-1}+{\text{C}}_n^2{1}^{n-2}+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}1+{\text{C}}_n^n$

hay $2^n={\text{C}}_n^0+{\text{C}}_n^1+{\text{C}}_n^2+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}+{\text{C}}_n^n.$

Ý nghĩa của đẳng thức này là tổng số tập con của một tập hợp gồm n phần tử là 2ⁿ.

c) Cho x = –1, ta được:

${(-1+1)}^n={\text{C}}_n^0{\left(-1\right)}^n{\text{+C}}_n^1{\left(-1\right)}^{n-1}+{\text{C}}_n^2{\left(-1\right)}^{n-2}+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}\left(-1\right)+{\text{C}}_n^n$

hay $0={\text{C}}_n^0{\left(-1\right)}^n{\text{+C}}_n^1{\left(-1\right)}^{n-1}+{\text{C}}_n^2{\left(-1\right)}^{n-2}+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}\left(-1\right)+{\text{C}}_n^n.$

Ý nghĩa của đẳng thức này là số tập con có chẵn phần tử và số tập hơp con có lẻ phần tử của một tập hợp gồm n phần tử là bằng nhau.

Bài tập (trang 37)

Bài 2.9 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển:

a) (x – 1)⁵;

b) (2x – 3y)⁴.

Lời giải:

a) (x – 1)⁵ = [x + (–1)]⁵ = x⁵ + 5x⁴(–1) + 10x³(–1)² + 10x²(–1)³ + 5x(–1)⁴ + (–1)⁵

= x⁵ – 5x⁴ + 10x³ – 10x² + 5x – 1.

b) (2x – 3y)⁴ = [(2x + (–3y)]⁴

= (2x)⁴ + 4(2x)³(–3y) + 6(2x)²(–3y)² + 4(2x)(–3y)³ + (–3y)⁴

= 16x⁴ – 96x³y + 216x²y² – 216xy³ + 81y⁴.

Bài 2.10 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Viết khai triển theo nhị thức Newton:

a) (x + y)⁶;

b) (1 – 2x)⁵.

Lời giải:

a) (x + y)⁶ $=C_6^0{x}^6+C_6^1{x}^{5}y+C_6^2{x}^4{y}^2+C_6^3{x}^3{y}^3+C_6^4{x}^2{y}^4+C_6^{5}x{y}^5+C_6^6{y}^6$

$=x^6+C_6^1{x}^{5}y+C_6^2{x}^4{y}^2+C_6^3{x}^3{y}^3+C_6^4{x}^2{y}^4+C_6^{5}x{y}^5+y^6.$

b) (1 – 2x)⁵ = [(–2x) + 1]⁵

= ${\mathrm{C}}_5^0$(–2x)⁵ + ${\mathrm{C}}_5^1$(–2x)⁴1 + ${\mathrm{C}}_5^2$(–2x)³1² + ${\mathrm{C}}_5^3$(–2x)²1³ + ${\mathrm{C}}_5^4$(–2x)1⁴ + ${\mathrm{C}}_5^5$1⁵

= –2⁵x⁵ + ${\mathrm{C}}_5^1$2⁴x⁴ – ${\mathrm{C}}_5^2$2³x³ + ${\mathrm{C}}_5^3$2²x¹ + ${\mathrm{C}}_5^4$2x + 1.

Bài 2.11 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰.

Lời giải:

Số hạng chứa x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰ là

$C_{10}^{10-8}{\left(2x\right)}^8{3}^{10-8}=C_{10}^2{2}^8{3}^2{x}^8=103680x^8.$

Vậy hệ số của x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰ là 103680.

Bài 2.12 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là 90 . Tìm n.

Lời giải:

Số hạng chứa x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ hay [(–3x) +1]ⁿ là

$C_n^{n-2}{\left(-3x\right)}^2{1}^{n-2}=9C_n^2{x}^2.$

Vậy hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là $9C_n^2·$

$\Rightarrow 9C_n^2=90\Rightarrow C_n^2=10\Rightarrow \frac{n\left(n-1\right)}{2}=10\Rightarrow n=5.$

Bài 2.13 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Từ khai triển biểu thức (3x – 5)⁴ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Lời giải:

Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

(3x – 5)⁴ = (3x)⁴ + 4(3x)³(–5) + 6(3x)²(–5)² + 4(3x)(–5)³ + (–5)⁴

= 81x⁴ – 540x³ + 1350x² – 1500x + 625.

Tổng các hệ số của đa thức này là: 81 – 540 + 1350 – 1500 + 625 = 16.

Bài 2.14 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 – 2x)⁵ + x²(1 + 3x)¹⁰.

Lời giải:

+) Số hạng chứa x⁴ trong khai triển của (1 – 2x)⁵ hay [(–2x) +1]⁵ là

$C_5^{5-4}{\left(-2x\right)}^4{1}^{5-4}=80x^4.$

Vậy hệ số của x⁴ trong khai triển của (1 – 2x)⁵ là 80

⇒ hệ số của x⁵ trong khai triển của x(1 – 2x)⁵ là 1.80 = 80 (1).

+) Số hạng chứa x³ trong khai triển của (1 + 3x)¹⁰ hay [3x +1]¹⁰ là

$C_{10}^{10-3}{\left(3x\right)}^3{1}^{10-3}=3240x^3.$

Vậy hệ số của x³ trong khai triển của (1 + 3x)¹⁰ là 3240

⇒ hệ số của x⁵ trong khai triển của x²(1 + 3x)¹⁰ là 1.3240 = 3240 (2).

+) Từ (1) và (2) suy ra hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 – 2x)⁵ + x²(1 + 3x)¹⁰ là 80 + 3240 = 3320.

Bài 2.15 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tính tổng sau đây:

$C_{2021}^0-2C_{2021}^1+2^2{C}_{2021}^2-2^3{C}_{2021}^3+\dots -2^{2021}{C}_{2021}^{2021}.$

Lời giải:

$C_{2021}^0-2C_{2021}^1+2^2{C}_{2021}^2-2^3{C}_{2021}^3+\dots -2^{2021}{C}_{2021}^{2021}$

$=C_{2021}^0+C_{2021}^1\left(-2\right)+C_{2021}^2{\left(-2\right)}^2+C_{2021}^3{\left(-2\right)}^3+\dots +C_{2021}^{2021}{\left(-2\right)}^{2021}$

$=C_{2021}^0{1}^{2021}+C_{2021}^1{1}^{2020}\left(-2\right)+C_{2021}^2{1}^{2019}{\left(-2\right)}^2+C_{2021}^3{1}^{2018}{\left(-2\right)}^3+\dots +C_{2021}^{2021}{\left(-2\right)}^{2021}$

$={\left[1+\left(-2\right)\right]}^{2021}={\left(-1\right)}^{2021}=-1.$

Bài 2.16 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm số tự nhiên n thoả mãn:

$C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}=2^{2021}.$

Lời giải:

Áp dụng câu c) phần Vận dụng trang 36 ta có:

$C_{2n}^0-C_{2n}^1+C_{2n}^2-C_{2n}^3+C_{2n}^4+\dots -C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}=0$

$\Rightarrow C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\dots +C_{2n}^{2n-1}.$

Mặt khác, áp dụng câu b) phần Vận dụng trang 36 ta có:

$C_{2n}^0+C_{2n}^1+C_{2n}^2+C_{2n}^3+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}=2^{2n}$

$\Rightarrow C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}$

$=\frac{C_{2n}^0+C_{2n}^1+C_{2n}^2+C_{2n}^3+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}}{2}$

$=\frac{2^{2n}}{2}=2^{2n-1}\Rightarrow 2n-1=2021\Rightarrow n=1011.$

Bài 2.17 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm số nguyên dương n sao cho

$C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\dots +2^n{C}_n^n=243.$

Lời giải:

Có:

$C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\dots +2^n{C}_n^n=C_n^0+C_n^{1}2+C_n^2{2}^2+\dots +C_n^n{2}^n$

$=C_n^0{1}^n+C_n^1{1}^{n-1}2+C_n^2{1}^{n-2}{2}^2+\dots +C_n^n{2}^n={\left(1+2\right)}^n=3^n$

⇒ 3ⁿ = 243 ⇒ n =5

Bài 2.18 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng (2 + x)¹⁰⁰ = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a₁₀₀x¹⁰⁰. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì a_k Iớn nhất?

Lời giải:

+) Ta có:

Số hạng chứa x^k trong khai triển của (2 + x)¹⁰⁰ hay (x +2)¹⁰⁰ là

$C_{100}^{100-k}{x}^k{2}^{100-k}=C_{100}^k{2}^{100-k}{x}^k=2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}{x}^k.$

Vậy hệ số của x^k trong khai triển của (x + 2)¹⁰⁰ là:

$2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}\Rightarrow a_k=2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}.$

+) Giải bất phương trình: a_k ≤ a_{k + 1} (1).

(1) ⇔ $2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}\le 2^{100}\frac{C_{100}^{k+1}}{2^{k+1}}\iff \frac{C_{100}^k}{2^k}\le \frac{C_{100}^{k+1}}{2^{k+1}}\iff \frac{C_{100}^k}{C_{100}^{k+1}}\le \frac{2^k}{2^{k+1}}$

⇔ $\frac{\frac{100!}{k!\left(100-k\right)!}}{\frac{100!}{\left(k+1\right)!\left(100-k-1\right)!}}\le \frac{1}{2}$

⇔ $\frac{\left(k+1\right)!\left(100-k-1\right)!}{k!\left(100-k\right)!}\le \frac{1}{2}\iff \frac{k+1}{100-k}\le \frac{1}{2}$

⇔ 2(k + 1) ≤ 100 – k ⇔ 3k ≤ 98 ⇔ k ≤ 32 (vì k là số tự nhiên).

+) Vì a_k ≤ a_{k + 1} ⇔ k ≤ 32 nên a_k ≥ a_{k + 1} ⇔ k ≥ 32

Do đó $a_1\le a_2\le \mathrm{\dots }\le a_{32}\le a_{33}\ge a_{34}\ge a_{35}\ge \mathrm{\dots }\ge a_{100}.$

Ta thấy dấu “=” không xảy ra với bất kì giá trị nào của k.

Do đó a₃₃ là giá trị lớn nhất trong các a_k.

 

====== ****&**** =====