Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến m. Trên đường thẳng d cắt (α) ở A và cắt (β) ở B ta lấy hai diểm cố định S1, S2 không thuộc (α), (β). Gọi M là một điểm di động trên (β). Giả sử các đường thẳng MS1, MS2 cắt (α) lần lượt tại M1 và M2.a) Chứng minh rằng M1M2 luôn luôn đi qua một điểm cố định.b) Giả sử đường thẳng M1M2 cắt giao tuyến m tại K. Chứng minh rằng ba điểm K, B, M thẳng hàng.c) Gọi b là một đường thẳng thuộc mặt phẳng (β) nhưng không đi qua điểm B và cắt m tại I. Chứng minh rằng khi M di động trên b thì các điểm M1 và M2 di động trên hai đường thẳng cố định thuộc mặt phẳng (α).

Câu hỏi:

Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến m. Trên đường thẳng d cắt (α) ở A và cắt (β) ở B ta lấy hai diểm cố định $S_1, S_2$ không thuộc (α), (β). Gọi M là một điểm di động trên (β). Giả sử các đường thẳng $M{S}_1, M{S}_2$ cắt (α) lần lượt tại $M_1$ và $M_2$.a) Chứng minh rằng $M_1{M}_2$ luôn luôn đi qua một điểm cố định.b) Giả sử đường thẳng $M_1{M}_2$ cắt giao tuyến m tại K. Chứng minh rằng ba điểm K, B, M thẳng hàng.c) Gọi b là một đường thẳng thuộc mặt phẳng (β) nhưng không đi qua điểm B và cắt m tại I. Chứng minh rằng khi M di động trên b thì các điểm $M_1$ và $M_2$ di động trên hai đường thẳng cố định thuộc mặt phẳng (α).

Trả lời:

a) Mặt phẳng (M, d) cắt (α) theo giao tuyến $M_1{M}_2$. Điểm A cũng thuộc giao tuyến đó. Vậy đường thẳng $M_1{M}_2$ luôn luôn đi qua điểm A cố định.b) Mặt phẳng (M, d) cắt (β) theo giao tuyến BM. Điểm K thuộc giao tuyến đó nên ba điểm K, B, M thẳng hàng. c) Giả sử b cắt m tại I thì mặt phẳng $(S_1, b)$ luôn luôn cắt (α) theo giao tuyến $I{M}_1$. Do đó điểm $M_1$ di động trên giao tuyến của $I{M}_1$ cố định. Còn khi M di động trên b thì mặt phẳng $(S_2, b)$ cắt (α) theo giao tuyến $I{M}_2$. Do đó điểm $M_2$ chạy trên giao tuyến $I{M}_2$ cố định.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC. Từ ba đỉnh của tam giác này ta kẻ các nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz không nằm trong (α). Trên Ax lấy đoạn AA' = a, trên By lấy đoạn BB' = b, trên Cz lấy đoạn CC' = c.a) Gọi I, J và K lần lượt là các giao điểm B'C', C'A' và A'B' với (α).Chứng minh rằng IBIC. JCJA.KAKB = 1b) Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C'.Chứng minh: GG′ // AA′.c) Tính GG' theo a, b, c
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC. Từ ba đỉnh của tam giác này ta kẻ các nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz không nằm trong (α). Trên Ax lấy đoạn AA’ = a, trên By lấy đoạn BB’ = b, trên Cz lấy đoạn CC’ = c.a) Gọi I, J và K lần lượt là các giao điểm B’C’, C’A’ và A’B’ với (α).Chứng minh rằng $\frac{IB}{IC}. \frac{JC}{JA}.\frac{KA}{KB} = 1$b) Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’.Chứng minh: GG′ // AA′.c) Tính GG’ theo a, b, c

   Trả lời:

   a) CC′ // BB′ ⇒ ΔICC′ ∼ ΔIBB′CC′ // AA′ ⇒ ΔJCC′ ∼ ΔJAA′AA′ // BB′ ⇒ ΔKAA′ ∼ ΔKBB′b) Gọi H và H’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’. Vì HH’ là đường trung bình của hình thang BB’CC’ nên HH′ // BB′.Mà BB′ // AA′ suy ra HH′ // AA′Ta có: G ∈ AH và G′ ∈ A′H′ và ta có:c) AH′ ∩ GG′ = M ⇒ GG′ = G′M + MGTa có: G′M // AA′ ⇒ ΔH′G′M ∼ ΔH′A′AMG // HH′ ⇒ ΔAMG ∼ ΔAH′HMặt khác HH’ là đường trung bình của hình thang BB’CC’ nên

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm trong tam giác BCD.a) Dựng đường thẳng qua M song song với hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). Giả sử đường thẳng này cắt mặt phẳng (ACD) tại B'.Chứng minh rằng AB', BM và CD đồng quy tại một điểm.b) Chứng minh MB'BA = dt∆MCDdt∆BCDc) Đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ACB) và (ACD) kẻ từ M cắt (ABD) tại C' và đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ADC) và (ADB) kẻ từ M cắt (ABC) tại D'. Chứng minh rằng MB'BA + MC'CA + MD'DA = 1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm trong tam giác BCD.a) Dựng đường thẳng qua M song song với hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). Giả sử đường thẳng này cắt mặt phẳng (ACD) tại B’.Chứng minh rằng AB’, BM và CD đồng quy tại một điểm.b) Chứng minh $\frac{MB‘}{BA} = \frac{dt\left(∆MCD\right)}{dt\left(∆BCD\right)}$c) Đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ACB) và (ACD) kẻ từ M cắt (ABD) tại C’ và đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ADC) và (ADB) kẻ từ M cắt (ABC) tại D’. Chứng minh rằng $\frac{MB‘}{BA} + \frac{MC‘}{CA} + \frac{MD‘}{DA} = 1$

   Trả lời:

   a) MB’ qua M và song song với (ABC) và (ABD) ⇒ MB′ song song với giao tuyến AB của hai mặt phẳng này. Ta có: MB′ // AB nên MB’ và AB xác định một mặt phẳng. Giả sử MB cắt AB’ tại I.Ta có: I ∈ BM ⇒ I ∈ (BCD)I ∈ AB′ ⇒ I ∈ (ACD)Nên I ∈ (BCD) ∩ (ACD) = CDCó: I ∈ CDVậy ba đường thẳng AB’, BM và CD đồng quy tại I.b) MB′ // AB Kẻ MM′ ⊥ CD và BH ⊥ CDTa có: MM′ // BH Mặt khác: Do đó: Vậy c) Tương tự ta có: Vậy:

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Từ các đỉnh của tam giác ABC ta kẻ các đoạn thẳng AA', BB', CC' song song cùng chiều, bằng nhau và không nằm trong mặt phẳng của tam giác. Gọi I, G và K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC', A'B'C'.a) Chứng minh (IGK) // (BB′CC′).b) Chứng minh rằng (A′GK) // (AIB′).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Từ các đỉnh của tam giác ABC ta kẻ các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’ song song cùng chiều, bằng nhau và không nằm trong mặt phẳng của tam giác. Gọi I, G và K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’.a) Chứng minh (IGK) // (BB′CC′).b) Chứng minh rằng (A′GK) // (AIB′).

   Trả lời:

   Gọi M và M’ tương ứng là trung điểm của AC và A’C’, ta có:I ∈ BM, G ∈ C′M, K ∈ B′M′Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có:Ta có :Mặt khác IG và IK ⊂ (IGK) nên (IGK) // (BB′C′C)b) Gọi E và F tương ứng là trung điểm của BC và B’C’, O là trung điểm của A’C. A, I, E thẳng hàng nên (AIB’) chính là (AEB’). A’, G, C thẳng hàng nên (A’GK) chính là (A’CF).Ta có B′E // CF (do B’FCE là hình bình hành ) và AE // A′F nên (AIB′) // (A′GK).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên AA' và CC'. Một điểm P nằm trên cạnh bên DD'.a) Xác định giao điểm Q của đường thẳng BB' với mặt phẳng (MNP).b) Mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo một thiết diện. Thiết diện đó có tính chất gì?c) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD) của hình hộp.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên AA’ và CC’. Một điểm P nằm trên cạnh bên DD’.a) Xác định giao điểm Q của đường thẳng BB’ với mặt phẳng (MNP).b) Mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo một thiết diện. Thiết diện đó có tính chất gì?c) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD) của hình hộp.

   Trả lời:

   a) Ta có mặt phẳng (AA’, DD’) song song với mặt phẳng (BB’, CC’). Mặt phẳng (MNP) cắt hai mặt phẳng nói trên theo hai giao tuyến song song.Nếu gọi Q là điểm trên cạnh BB’ sao cho NQ // PM thì Q là giao điểm của đường thẳng BB’ với mặt phẳng (MNP)Nhận xét. Ta có thể tìm điểm Q bằng cách nối P với trung điểm I của đoạn MN và đường thẳng PI cắt BB’ tại Q.b) Vì mặt phẳng (AA’, BB’) song song với mặt phẳng (DD’, CC’) nên ta có MQ // PN. Do đó mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện MNPQ là một ình bình hành.Giả sử P không phải là trung điểm của đoạn DD’. Gọi H = PN ∩ DC , K = MP ∩ AD. Ta có D = HK là giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD) của hình hộp.Chú ý rằng giao điểm E = AB ∩ MQ cũng nằm trên giao tuyến d nói trên. Khi P là trung điểm của DD’ mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABCD).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạnh AD và CC’ sao cho: AMMD = CNNC' a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ACB’)  b) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng (ACB’)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạnh AD và CC’ sao cho: $\frac{AM}{MD} = \frac{CN}{NC‘}$ a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ACB’)  b) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng (ACB’)

   Trả lời:

   a) Vẽ MP song song với AC và cắt CD tại P Ta có:  Do đó PN // DC′ // AB′ Đường thẳng MN thuộc mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng này có MP // AC và PN // AB′. Vậy mặt phẳng(MNP) song song với mặt phẳng (ACB’) và do đó MN // (ACB′) b) Vì mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ACB’) nên hai mặt phẳng đó cắt các mặt bên của hình hộp theo các giao tuyến song song. Ta vẽ NQ // CB′, QR // C′A′ ((// CA), RS //AB′ (//PN) và tất nhiên SM // QN. Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng (ACB’) là hình lục giác MPNQRS có các cạnh đối diện song song với nhau từng đôi một: MP // RQ, PN //SR, NQ // MS.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====