Cho hình thoi ABCD và M là trung điểm cạnh AB, N là trung điểm cạnh CD. Chứng minh rằng: MA→ + MC→=MB→ +MD→ = MN→

Câu hỏi:

Cho hình thoi ABCD và M là trung điểm cạnh AB, N là trung điểm cạnh CD. Chứng minh rằng:
$\overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{MC}}=\overrightarrow{\text{MB}} +\overrightarrow{\text{MD}} = \overrightarrow{\text{MN}}$

Trả lời:

Gọi O là tâm hình thoi. O là trung điểm của AC và BD ( tính chất hình thoi).
⇒ $\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{\text{0}} và \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{\text{OD}}= \overrightarrow{\text{0}}$
Ta có:
$\overrightarrow{\text{MA}}+ \overrightarrow{\text{MC}}=\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{\text{MO}}+ \overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{\text{MO}}+ \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{\text{MO}}= \overrightarrow{\text{MN}}.$
$\overrightarrow{\text{MB}}+ \overrightarrow{\text{MD}}=\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{\text{MO}}+ \overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{\text{MO}}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{\text{MO}}= \overrightarrow{\text{MN}}.$
Vậy $\overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{MC}}= \overrightarrow{\text{MB}}+ \overrightarrow{\text{MD}}=\overrightarrow{\text{MN}}$ 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có: a) AB→+BC→+CD→+DA→=0→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có:
   a) $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}+\overrightarrow{\text{CD}}+\overrightarrow{\text{DA}}=\overrightarrow{0}$.

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. b) AB→−AD→=CB→−CD→
   
   

   Câu hỏi:
   

   b) $\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{CB}}-\overrightarrow{\text{CD}}$

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ AB→+BC→ và AB→−BC→​.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}$ và $\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\text{}$.

   Trả lời:

   

   Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}$ = $\overrightarrow{\text{AC}}$
   Tam giác ABC đều cạnh bằng a nên AC = a.
   Do đó $\left|\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}\right|$ = $\left|\overrightarrow{AC}\right|$ = a.
   Gọi M là trung điểm cạnh AC.
   Ta có:
   $\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\text{}$= $\overrightarrow{\text{AB}}+ \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{\text{AB}}= 2\overrightarrow{\text{AB}} +2\overrightarrow{MA}=2(\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{\text{AB}} )=2\overrightarrow{MB}$ 
   Vì MB là đường trung tuyến của tam giác đều ABC cạnh bằng a nên MB = $\frac{\text{a}\sqrt{\text{3}}}{2}$.
   Do đó $\left|\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\text{}\right|$ = 2$\left|\overrightarrow{MB}\right|$ = a$\sqrt{3}$.
   Vậy $\left|\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}\right|=a$ và $\left|\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\text{}\right| = a\sqrt{3}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh rằng: a) CO→−OB→=BA→​;
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh rằng:
   a) $\overrightarrow{\text{CO}}-\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{BA}}\text{}$;

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. b) AB→−BC→=DB→
   
   

   Câu hỏi:
   

   b) $\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{DB}}$

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====