Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt n≥3;n∈ℕ   khác A, B, C, D. Lấy ngẫu nhiên 3 điểm từ n+6 điểm đã cho. Biết xác suất lấy được một tam giác là 439560.Tìm n.

Câu hỏi:

Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt $\left(n\ge 3;n\in \mathbb{N}\right)$   khác A, B, C, D. Lấy ngẫu nhiên 3 điểm từ n+6 điểm đã cho. Biết xác suất lấy được một tam giác là $\frac{439}{560}$.Tìm n.

A. n=10

Đáp án chính xác

B. n=19

C. n=11

D. n=12

Trả lời:

Số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_{n+6}^3$.
Gọi A là biến cố 3 đỉnh tạo thành một tam giác.
Để 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác thì 3 điểm đó không thẳng hàng. Ta xét biến cố $\overline{A}$ là biến cố  3 đỉnh không tạo thành tam giác.
Trường hợp 1: Lấy 3 điểm thuộc cạnh CD có 1 cách.
Trường hợp 2: Lấy 3 điểm thuộc cạnh DA có $C_n^3$ cách.
Vậy $n\left(\overline{A}\right)=1+C_n^3$ . Dó đó $P\left(A\right)=\frac{C_{n+6}^3-1-C_n^3}{C_{n+6}^3}$.
Theo giả thiết ta có: $\frac{C_{n+6}^3-1-C_n^3}{C_{n+6}^3}=\frac{439}{560}$
$\iff \frac{1+C_n^3}{C_{n+6}^3}=\frac{121}{560}\iff 560\left[1+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}\right]=121.\frac{\left(n+6\right)\left(n+5\right)\left(n+4\right)}{6}$
$\iff 439n^3-3495n^2-7834n-11160=0\iff n=10$.
 
Đáp án A

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi (không kể thứ tự) ra khỏi hộp. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất 1 viên màu đỏ.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi (không kể thứ tự) ra khỏi hộp. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất 1 viên màu đỏ.

   A. $\frac{1}{2}$

   B. $\frac{418}{455}$

   C. $\frac{1}{13}$

   D. $\frac{12}{13}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ 15 viên bi thì số cách chọn là $n\left(\Omega \right)=C_{15}^3=455$.
   Gọi A là biến cố “trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên màu đỏ”.
   Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:
   Trường hợp 1: Lấy được 1 viên màu đỏ, số cách lấy là: $C_8^1.C_7^2$.
   Trường hợp 2: Lấy được 2 viên màu đỏ, số cách lấy là: $C_8^2.C_7^1$.
   Trường hợp 3: Lấy được 3 viên màu đỏ, số cách lấy là: $C_8^3$.
   Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là $n\left(A\right)=C_8^1.C_7^2+C_8^2.C_7^1+C_8^3=420$.
   Vậy $P\left(A\right)=\frac{C_8^1.C_7^2+C_8^2.C_7^1+C_8^3}{C_{15}^3}=\frac{12}{13}$.
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1; 3; 5; 7; 9. Tính xác suất để tìm được một số không bắt đầu bởi 135.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1; 3; 5; 7; 9. Tính xác suất để tìm được một số không bắt đầu bởi 135.

   A. $\frac{5}{6}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{1}{60}$

   C. $\frac{59}{60}$

   D. $\frac{1}{6}$

   Trả lời:

   Số phần tử không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=5!=120$.
   Gọi A là biến cố “số tìm được không bắt đầu bởi 135”.
   Biến cố $\overline{A}$ là biến cố “số tìm được bắt đầu bởi 135”.
   Nhóm các số 1; 3; 5 thành 135 thì ta được số còn 3 phần tử. Số các số tạo thành thỏa mãn số 135 đứng đầu là 1.2.1 = 2 cách.
   Vậy $n\left(A\right)=120-2=118$ cách.
   Vậy $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{118}{120}=\frac{59}{60}$.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Đề thi kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 1,0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đề thi kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 1,0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên.

   A. $\frac{436}{4^{10}}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{463}{4^{10}}$

   C. $\frac{436}{{10}^4}$

   D. $\frac{163}{{10}^4}$

   Trả lời:

   Với mỗi câu hỏi, thí sinh có 4 phương án lựa chọn nên số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=4^{10}$.
   Gọi X là biến cố “thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên”.
   Trường hợp 1: Thí sinh đó là được 8 câu (tức là 8,0 điểm): Chọn 8 câu trong số 10 câu hỏi và 2 câu còn lại mỗi câu có 3 cách chọn đáp án sai nên có $C_{10}^8{.3}^2$ cách để thí sinh đúng 8 câu.
   Trường hợp 2: Thí sinh đó là được 9 câu (tức là 9,0 điểm): Chọn 9 câu trong số 10 câu hỏi và câu còn lại có 3 cách chọn đáp án sai nên có $C_{10}^9{.3}^1$ cách để thí sinh đúng 9 câu.
   Trường hợp 3: Thí sinh đó là được 10 câu (tức là 10,0 điểm): Chỉ có 1 cách duy nhất.
   Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là $n\left(X\right)=C_{10}^8{.3}^2+C_{10}^9{.3}^1+1=436$.
   Vậy xác suất cần tìm là $P\left(X\right)=\frac{n\left(X\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{436}{4^{10}}$.
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật bằng

   A. $\frac{7}{216}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{2}{969}$

   C. $\frac{3}{323}$

   D. $\frac{4}{9}$

   Trả lời:

   Số cách chọn 4 đỉnh trong 20 đỉnh là $C_{20}^4=4845=n\left(\Omega \right)$.
   Gọi A là biến cố: “4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật”.
   Số đường chéo của đa giác đều đi qua tâm O của đường tròn là 10 (do đa giác có 20 đỉnh). Cứ hai đường chéo này tạo thành một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ nhật được tạo thành là $n\left(A\right)=C_{10}^2=45$.
   Vậy $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{45}{4845}=\frac{3}{323}$.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a lấy 6 điểm phân biệt; trên đường thẳng b lấy 5 điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm trong các điểm đã cho trên hai đường thẳng a và b. Tính xác suất để 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a lấy 6 điểm phân biệt; trên đường thẳng b lấy 5 điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm trong các điểm đã cho trên hai đường thẳng a và b. Tính xác suất để 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác.

   A. $\frac{5}{11}$

   B. $\frac{60}{169}$

   C. $\frac{2}{11}$

   D. $\frac{9}{11}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Số phần tử của không gian mẫu $n\left(\Omega \right)=C_{11}^3=165$.
   Gọi A là biến cố: “3 điểm được chọn lập thành một tam giác”.
   Trường hợp 1: Chọn 2 điểm trên đường thẳng a và 1 điểm trên đường thẳng b có $C_6^2.C_5^1$ cách.
   Trường hợp 2: Chọn 1 điểm trên đường thẳng a và 2 điểm trên đường thẳng b có $C_6^1.C_5^2$ cách.
   Suy ra $n\left(A\right)=C_6^2.C_5^1+C_6^1.C_5^2=135$.
   Vậy xác suất để 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{9}{11}$.
   Chọn D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====