Cho đường tròn (C) tâm F1, bán kính r và một điểm F2 thoả mãn F1F2 = 4r. a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H). b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).

Câu hỏi:

Cho đường tròn (C) tâm F₁, bán kính r và một điểm F₂ thoả mãn F₁F₂ = 4r.
a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua F₂ và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H).
b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).

Trả lời:

Hướng dẫn giải
a) Gọi (C’; r’) là đường tròn đi qua F₂ và tiếp xúc với (C);
I(x; y) là tâm của đường tròn đi qua F₂ và tiếp xúc với (C).
Vì F₂ nằm ngoài (C) nên (C’) tiếp xúc ngoài với (C) hoặc (C’) tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C’).
+) Nếu (C’) tiếp xúc ngoài với (C) thì r’ + r = IF₁ => IF₂ + r = IF₁ => IF₁ – IF₂ = r
+) Nếu (C’) tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C’) thì r’ – r = IF₁ => IF₂ – r = IF₁
=> IF₂ – IF₁ = r.
Vậy ta luôn có |IF₂ – IF₁| = r trong cả hai trường hợp
=> I nằm trên hypebol có hai tiêu điểm là F₁, F₂ và độ dài trục thực là r.
b) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của F₁F₂ và F₁, F₂ đều nằm trên trục Ox.
Giả sử phương trình chính tắc của hypebol này là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).
Khi đó ta có 2a = r, suy ra a = r/2
F₁F₂ = 4r, suy ra c = 2r, suy ra $b^2=c^2-a^2={\left(2r\right)}^2-{\left(\frac{r}{2}\right)}^2=\frac{15r^2}{4}.$
Vậy phương trình chính tắc của hypebol này là $\frac{x^2}{\frac{r^2}{4}}-\frac{y^2}{\frac{15r^2}{4}}=1.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc x2a2−y2b2=1. a) Hãy giải thích vì sao nếu điểm M(x0; y0) thuộc hypebol thì các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc hypebol (H.3.12). b) Tìm toạ độ các giao điểm của hypebol với trục hoành. Hypebol có cắt trục tung hay không? Vì sao? c) Với điểm M(x0; y0) thuộc hypebol, hãy so sánh |x0| với a.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.
   a) Hãy giải thích vì sao nếu điểm M(x0; y0) thuộc hypebol thì các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc hypebol (H.3.12).
   b) Tìm toạ độ các giao điểm của hypebol với trục hoành. Hypebol có cắt trục tung hay không? Vì sao?
   c) Với điểm M(x0; y0) thuộc hypebol, hãy so sánh |x0| với a.

   Trả lời:

   a) Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1.$
   Ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$ nên các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.
   b)
   +) Gọi A là giao điểm của hypebol với trục hoành.
   Vì A thuộc trục Ox nên toạ độ của A có dạng (x_A; 0)
   Mà A thuộc hypebol nên $\frac{x_{{}_A}^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_A^2=a^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_A=a\\ x_A=-a\end{array}\right..$
   Do đó hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A₁(–a; 0) và A₂(a; 0).
   +) Giả sử hypebol cắt trục tung tại B.
   Vì B thuộc trục Oy nên toạ độ của B có dạng (0; y_B).
   Mà B thuộc hypebol nên $\frac{0^2}{a^2}-\frac{y_{{}_B}^2}{b^2}=1\Rightarrow -\frac{y_{{}_B}^2}{b^2}=1$ (vô lí).
   Vậy hypebol không cắt trục tung.
   c) M(x₀; y₀) thuộc hypebol nên ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1.$
   Vì $\frac{y_0^2}{b^2}\ge 0$ nên $\frac{x_0^2}{a^2}\le 1\Rightarrow x_0^2\le a^2\Rightarrow \left|x_0\right|\le a.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hypebol x264−y236=1. a) Tìm tiêu cự và độ dài các trục. b) Tìm các đỉnh và các đường tiệm cận.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hypebol $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$.
   a) Tìm tiêu cự và độ dài các trục.
   b) Tìm các đỉnh và các đường tiệm cận.

   Trả lời:

   a) Có a2 = 64, b2 = 36
   $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=\mathrm{8,}b=6\\ c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64+36}=10\end{array}\right..$
   Do đó, tiêu cự của hypebol là 2c = 20, độ dài trục thực là 2a = 16, độ dài trục ảo là 2b = 12.
   b) Các đỉnh của hypebol là A1(–8; 0), A2(8; 0).
   Hai đường tiệm cận của hypebol là $y=-\frac{b}{a}x=-\frac{6}{8}x=-\frac{3}{4}x$và $y=\frac{b}{a}x=\frac{6}{8}x=\frac{3}{4}x.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho điểm M(x0; y0) thuộc hypebol có hai tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0), độ dài trục thực bằng 2a. a) Tính MF12 – MF22. b) Giả sử M(x0; y0) thuộc nhánh chứa đỉnh A2(a; 0), tức là, MF1 – MF2 = 2a. Tính MF1 + MF2, MF1, MF2. c) Giả sử M(x0; y0) thuộc nhánh chứa đỉnh A1(–a; 0), tức là, MF2 – MF1 = 2a. Tính MF1 + MF2, MF1, MF2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol có hai tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0), độ dài trục thực bằng 2a.
   a) Tính MF₁² – MF₂².
   b) Giả sử M(x₀; y₀) thuộc nhánh chứa đỉnh A₂(a; 0), tức là, MF₁ – MF₂ = 2a. Tính MF₁ + MF₂, MF₁, MF₂.
   c) Giả sử M(x₀; y₀) thuộc nhánh chứa đỉnh A₁(–a; 0), tức là, MF₂ – MF₁ = 2a. Tính MF₁ + MF₂, MF₁, MF₂.

   Trả lời:

   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 63. Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 9.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6$\sqrt{3}.$ Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 9.

   Trả lời:

   Hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6$\sqrt{3}\Rightarrow$ 2a = 6, 2b = 6$\sqrt{3}$
   $\Rightarrow$ a = 3, b = 3$\sqrt{3}\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}=6.$
   Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:
   MF₁ $=\left|a+\frac{c}{a}x\right|=\left|3+\frac{6}{3}.9\right|=21.$
   MF₂ $=\left|a-\frac{c}{a}x\right|=\left|3-\frac{6}{3}.9\right|=15.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hypebol x21−y23=1 với hai tiêu điểm F1(–2; 0), F2(2; 0). Điểm M nào thuộc hypebol mà có độ dài bán kính tiêu MF2 nhỏ nhất? Tính khoảng cách từ điểm đó tới các tiêu điểm.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hypebol $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$ với hai tiêu điểm F₁(–2; 0), F₂(2; 0). Điểm M nào thuộc hypebol mà có độ dài bán kính tiêu MF₂ nhỏ nhất? Tính khoảng cách từ điểm đó tới các tiêu điểm.

   Trả lời:

   Có a² = 1, b² = 3 $\Rightarrow a=\mathrm{1,}b=\sqrt{3}\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=2.$
   Gọi (x; y) là toạ độ của M.
   Theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF₂ $=\left|a-\frac{c}{a}x\right|=\left|1-\frac{2}{1}.x\right|=\left|1-2x\right|.$
   Nếu M thuộc nhánh bên trái thì x ≤ –a = –1. Khi đó 1 – 2x ≥ 1 – 2(–1) = 3.
   Suy ra MF₂ = |1 – 2x| ≥ 3.
   Nếu M thuộc nhánh bên phải thì x ≥ a = 1. Khi đó 1 – 2x ≤ 1 – 2.1 = –1.
   Suy ra MF₂ = |1 – 2x| ≥ 1.
   Vậy MF₂ nhỏ nhất bằng 1 khi x = 1.
   Khi đó MF₁ $=\left|a+\frac{c}{a}x\right|=\left|1+\frac{2}{1}.1\right|=3.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====