Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d: x + 2 = 0. Viết phương trình của đường (L) là tập hợp các tâm J(x; y) của các đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d.

Câu hỏi:

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d: x + 2 = 0. Viết phương trình của đường (L) là tập hợp các tâm J(x; y) của các đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d.

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Có JA = $\sqrt{{(2-x)}^2+{(0-y)}^2}=\sqrt{{(2-x)}^2+y^2}.$
Khoảng cách từ J đến d là: d(J; d) = |x + 2|.
Đường tròn (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với d => JA = d(J; d)
$\iff \sqrt{{(2-x)}^2+y^2}=|x+2|$
$\iff {(2-x)}^2+y^2={|x+2|}^2$
$\iff (4-4x+x^2)+y^2=x^2+4x+4$
$\iff y^2=8x.$
Vậy (L) là một parabol có phương trình  $y^{2 }= 8x$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho parabol có phương trình chính tắc y2 = 2px (H.3.18). a) Nếu điểm M(x0; y0) thuộc parabol thì điểm N(x0; –y0) có thuộc parabol hay không? b) Từ phương trình chính tắc của parabol, có thể rút ra điều gì về hoành độ của những điểm thuộc parabol?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho parabol có phương trình chính tắc y2 = 2px (H.3.18).
   
   a) Nếu điểm M(x0; y0) thuộc parabol thì điểm N(x0; –y0) có thuộc parabol hay không?
   b) Từ phương trình chính tắc của parabol, có thể rút ra điều gì về hoành độ của những điểm thuộc parabol?

   Trả lời:

   a) M(x₀; y₀) thuộc parabol thì $y_0^2=2p{x}_0.$
   Có ${\left(-y_0\right)}^2=y_0^2=2p{x}_0$  nên N(x₀; –y₀) cũng thuộc parabol.
   b) Từ phương trình chính tắc của parabol, ta thấy hoành độ của những điểm thuộc parabol đều không âm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm A(6; 6). Tìm tham số tiêu và phương trình đường chuẩn của (P).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm A(6; 6). Tìm tham số tiêu và phương trình đường chuẩn của (P).

   Trả lời:

   Gọi phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p > 0).
   Theo đề bài, (P) đi qua điểm A(6; 6) $\Rightarrow$  6² = 2p.6 $\Rightarrow$  p = 3.
   Suy ra phương trình đường chuẩn của (P) là $x=-\frac{3}{2}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho parabol có phương trình chính tắc y2 = 2px (H.3. 19). a) Nêu toạ độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn Δ của parabol. b) Cho điểm M(x0; y0) thuộc parabol. Hãy so sánh MF với d(M; Δ), từ đó, tính MF theo x0 và y0. Độ dài MF gọi là bán kinh qua tiêu của điểm M.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho parabol có phương trình chính tắc y2 = 2px (H.3. 19).
   
   a) Nêu toạ độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn Δ của parabol.
   b) Cho điểm M(x0; y0) thuộc parabol. Hãy so sánh MF với d(M; Δ), từ đó, tính MF theo x0 và y0. Độ dài MF gọi là bán kinh qua tiêu của điểm M.

   Trả lời:

   a) Điểm F có toạ độ là $\left(\frac{p}{2};0\right)$ và phương trình đường chuẩn là $\Delta :x=-\frac{p}{2}.$
   b) Theo định nghĩa parabol thì MF = d(M; Δ).
   Ta viết lại phương trình Δ: $x=-\frac{p}{2}\iff x+0.y+\frac{p}{2}=0.$
   Khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn Δ là: 
   d(M; Δ) = $\frac{\left|x_0+0.y_0+\frac{p}{2}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\left|x_0+\frac{p}{2}\right|=x_0+\frac{p}{2}.$
   Vậy MF = d(M; Δ) = $x_0+\frac{p}{2}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho parabol có phương trình y2 = 8x. Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol biết điểm M có tung độ bằng 4.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho parabol có phương trình y2 = 8x. Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol biết điểm M có tung độ bằng 4.

   Trả lời:

   Có 2p = 8$\Rightarrow$ p = 4  $\Rightarrow$Toạ độ tiêu điểm là F(2; 0) và phương trình đường chuẩn của parabol là x = –2.
   Giả sử M có toạ độ là (x; 4). Khi đó ta có 4² = 8x $\Rightarrow$  x = 2. Vậy M(2; 4).
   Suy ra bán kính qua tiêu của điểm M là MF = x + $\frac{p}{2}=2+\frac{4}{2}=4.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Một sao chổi chuyền động theo quỹ đạo parabol nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là 106 km. Lập phương trình chính tắc của quỹ đạo theo đơn vị kilômét. Hỏi khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, thì khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là bao nhiêu kilômét?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một sao chổi chuyền động theo quỹ đạo parabol nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là 106 km. Lập phương trình chính tắc của quỹ đạo theo đơn vị kilômét. Hỏi khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, thì khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là bao nhiêu kilômét?

   Trả lời:

   Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.
   Gọi phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là y² = 2px (p > 0).
   Giả sử sao chổi có toạ độ là M(x; y).
   Khi đó khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là MF = x + $\frac{p}{2}\ge \frac{p}{2}.$
   Do đó khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là $\frac{p}{2}$
    $\Rightarrow \frac{p}{2}=106\Rightarrow$p = 212.
   Vậy phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là y² = 424x.
   Khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, tức điểm M nằm trên đường thẳng $\frac{p}{2}$  thì M có hoành độ là $x=\frac{p}{2}=106$
    $\Rightarrow$Khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là:
   MF = x +$\frac{p}{2}$= 106 + 106 = 212 (km).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====