Cho hàm số y=2xx+2C. Biết trên (C) có hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ điểm  I−2;2 đến tiếp tuyến của (C) tại các điểm A, B là lớn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Câu hỏi:

Cho hàm số $y=\frac{2x}{x+2}\left(C\right)$. Biết trên (C) có hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ điểm  $I\left(-2;2\right)$ đến tiếp tuyến của (C) tại các điểm A, B là lớn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

A. $AB=4.$

B. $AB=8.$

C. $AB=4\sqrt{2}.$

Đáp án chính xác

D. $AB=2\sqrt{2}.$

Trả lời:

Đáp án C

Giả sử $A\left(a;\frac{2a}{a+2}\right)$. Ta có $y^{‘}=\frac{4}{{\left(x+2\right)}^2}$
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A: $\frac{4}{{\left(a+2\right)}^2}x-y-\frac{4a}{{\left(a+2\right)}^2}+\frac{2a}{a+2}=0\Rightarrow d\left(A,d\right)=\frac{\left|8\left(a+2\right)\right|}{\sqrt{{\left(a+2\right)}^4+16}}$
Do tính đối xứng nên A, B thuộc hai nhánh khác nhau, không mất tính tổng quát giả sử $x_A=a>-2$
Đặt $t=a+2\Rightarrow t>0$ . Khi đó $d\left(A,d\right)=\frac{8t}{\sqrt{t^4+16}}$
Xét $f\left(t\right)=\frac{8t}{\sqrt{t^4+16}}\left(t>0\right)$, từ bảng biến thiên ta có $\max t>0f\left(t\right)=f\left(2\right)$
Vậy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến tại A lớn nhất khi $a=0$  hay $A\left(0;0\right)$
Do tính đối xứng nên $B\left(-4;4\right)$.
Vậy $AB=4\sqrt{2}$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C:y=x3+2×2 tại điểm M1;3
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left(C\right):y=x^3+2x^2$ tại điểm $M\left(1;3\right)$

   Trả lời:

   Tập xác định: $D=ℝ$
   Ta có: $y^{‘}=3x^2+4x\Rightarrow k=y^{‘}\left(1\right)=7$.
   Phương trình tiếp tuyến tại $M\left(1;3\right)$  là $d:y={y^{‘}}_0\left(x-x_0\right)+y_0\iff y=7\left(x-1\right)+3$

   $\iff y=7x-4$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho điểm M thuộc đồ thị  C:y=2x+1x−1 và có hoành độ bằng – 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M.  
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho điểm M thuộc đồ thị  $\left(C\right):y=\frac{2x+1}{x-1}$ và có hoành độ bằng – 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M.
    

   Trả lời:

   Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{1\right\}$.

   Ta có: $x_0=-1\Rightarrow y_0=y\left(-1\right)=\frac{1}{2}$ và $y^{‘}=\frac{-3}{{\left(x-1\right)}^2}\Rightarrow k=y^{‘}\left(-1\right)=\frac{-3}{4}$.
   Phương trình tiếp tuyến tại M là $y=-\frac{3}{4}\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\iff y=-\frac{3x}{4}-\frac{1}{4}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=2x+1x−5 tại giao điểm với trục hoành
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-5}$ tại giao điểm với trục hoành

   Trả lời:

   Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{5\right\}.$.
   Tọa độ giao điểm với trục hoành $y=0\iff \frac{2x+1}{x-5}=0\iff x=-\frac{1}{2}$.
   Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=-\frac{1}{2}$ là $y=y^{‘}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)+y\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{4}{11}\left(x+\frac{1}{2}\right)=-\frac{4}{11}x-\frac{2}{11}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Gọi MxM;yM là một điểm thuộc C:y=x3−3×2+2 , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm   (khác M). Tìm giá trị nhỏ nhất P=5xM2+xN2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi $M\left(x_M;y_M\right)$ là một điểm thuộc $\left(C\right):y=x^3-3x^2+2$ , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm   (khác M). Tìm giá trị nhỏ nhất $P=5x_M^2+x_N^2$.

   Trả lời:

   Tập xác định $D=ℝ$.
   Ta có$y=x^3-3x^2+2\Rightarrow y^{‘}=3x^2-6x$ .
   Gọi  $M\left(x_M;y_M\right)$ là một điểm thuộc $\left(C\right):y=x^3-3x^2+2$, suy ra tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là $y=\left(3x_M^2-6x_M\right)\left(x-x_M\right)+x_M^3-3x_M^2+2$.
   Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm $N\left(x_N;y_N\right)$ (khác M) nên $x_M,x_N$ là nghiệm của phương trình:

   $x^3-3x^2+2=\left(3x_M^2-6x_M\right)\left(x-x_M\right)+x_M^3-3x_M^2+2$.
   $\iff \left(x^3-x_M^3\right)-3\left(x^2-x_M^2\right)-\left(3x_M^2-6x_M\right)\left(x-x_M\right)=0$
   $\iff {\left(x-x_M\right)}^2\left(x+2x_M-3\right)=0$
   $\iff \left[\begin{array}{l}x=x_M\\ x=-2x_M+3\end{array}\right.$
   $\Rightarrow x_N=-2x_M+3$
   Khi đó $P=5x_M^2+x_N^2=5x_M^2+{\left(-2x_M+3\right)}^2=9x_M^2-12x_M+9\ge 9{\left(x_M-\frac{2}{3}\right)}^2+5$
   Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi $x_M=\frac{2}{3}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y=x+1x−2 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M1;−2  lần lượt cắt hai trục tọa độ tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $M\left(1;-2\right)$  lần lượt cắt hai trục tọa độ tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB.

   Trả lời:

   Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{2\right\}$.
   Ta có: $y^{‘}=\frac{-3}{{\left(x-2\right)}^2}\Rightarrow y^{‘}\left(1\right)=-3$ .
   Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M\left(1;-2\right)$ là đường thẳng $\left(\Delta \right)$ có dạng:
   $y=y^{‘}\left(1\right)\left(x-1\right)+y\left(1\right)=-3\left(x-1\right)-2\iff y=-3x+1$

   Suy ra $\left(\Delta \right)\cap Ox=A\left(\frac{1}{3};0\right);\left(\Delta \right)\cap Oy=B\left(0;1\right)\Rightarrow S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.1=\frac{1}{6}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====