Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*, ta có: a) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9; b) 13n – 1 chia hết cho 6.

Câu hỏi:

Chứng minh với mọi n $\in$ ℕ^*, ta có:
a) 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9;
b) 13ⁿ – 1 chia hết cho 6.

Trả lời:

a)
+) Khi n = 1, ta có: 4¹ + 15 . 1 – 1 = 18 ⁝ 9.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 4^{k + 1} + 15(k+1) – 1 ⁝ 9.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 4^k + 15k – 1 ⁝ 9.
Khi đó:
4^{k + 1} + 15(k+1) – 1
= 4 . 4^k + 15k + 14
= 4. 4^k + (60k – 45k) + (–4 + 18)
= (4 . 4^k + 60k – 4) – 45k + 18
= 4 . (4^k + 15k – 1) – 45k + 18
Vì 4^k + 15k – 1, 45k và 18 đều chia hết cho 9 nên 4 . (4^k + 15k – 1) – 45k + 18 ⁝ 9, do đó 4^{k + 1} + 15(k+1) – 1 ⁝ 9.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.
b)
+) Khi n = 1, ta có: 13¹ – 1 = 12 ⁝ 6.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 13^{k + 1} – 1 ⁝ 6.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 13^k – 1 ⁝ 6.
Khi đó: 
13^{k + 1} – 1
= 13 . 13^k – 1
= 13 . 13^k – 13 + 12
= 13 . (13^k – 1) + 12
Vì 13^k – 1 và 12 đều chia hết cho 6 nên 13 . (13^k – 1) + 12 ⁝ 6, do đó 13^{k + 1} – 1 ⁝ 6.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n  $\in$ ℕ^*.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Xét mệnh đề chứa biến P(n) : “1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2” với n là số nguyên dương. a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng. b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) bằng bao nhiêu. c) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra k2 + [2(k + 1) – 1] = (k+1)2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét mệnh đề chứa biến P(n) : “1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²” với n là số nguyên dương.
   a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.
   b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) bằng bao nhiêu.
   c) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra k² + [2(k + 1) – 1] = (k+1)².

   Trả lời:

   a) Ta có P(1): “1 = 1²“. Mệnh đề này đúng vì 1² = 1.
   b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng thì 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k².
   c) Khi P(k) là mệnh đề đúng. Ta có:
   P(k+1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k+1) – 1] = P(k) + [2(k+1) – 1]
   = k² + [2(k+1) – 1] = k² + (2k + 2 – 1) = k² + 2k + 1 = (k+1)²
   Vậy P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ* ta có: a) 11+2+12+3+…+1n+n+1=n+1−1. b) 23−123+1⋅33−133+1⋅43−143+1⋯n3−1n3+1=2n2+n+13n(n+1).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi n $\in$ ℕ^* ta có:
   a) $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-1.$
   b) $\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot \frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot \frac{4^3-1}{4^3+1}\cdots \frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{2\left(n^2+n+1\right)}{3n(n+1)}.$

   Trả lời:

   a)

   +) Khi n = 1, ta có:
   $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=\frac{\sqrt{2}-1}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-1^2}=\frac{\sqrt{2}-1}{1}=\sqrt{2}-1=\sqrt{1+1}-1.$
   Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
   +) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:
   $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}}=\sqrt{\left(k+1\right)+1}-1.$ 
   Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
   $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-1.$
   Khi đó:
   $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}}$
   $=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}}$
   $=\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\right)+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}}$
   $=\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}}$
   $=\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\frac{\sqrt{\left(k+1\right)+1}-\sqrt{k+1}}{\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{\left(k+1\right)+1}\right)\left(\sqrt{\left(k+1\right)+1}-\sqrt{k+1}\right)}$
   $=\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\frac{\sqrt{\left(k+1\right)+1}-\sqrt{k+1}}{\left[\left(k+1\right)+1\right]-\left(k+1\right)}$
   $=\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\frac{\sqrt{\left(k+1\right)+1}-\sqrt{k+1}}{1}$
   $=\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\left(\sqrt{\left(k+1\right)+1}-\sqrt{k+1}\right)$
   $=\sqrt{\left(k+1\right)+1}-1.$

   Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.
   b)
   +) Khi n = 2, ta có:
   $\frac{2^3-1}{2^3+1}=\frac{7}{9}=\frac{2\left(2^2+2+1\right)}{3.2(2+1)}.$
   Vậy mệnh đề đúng với n = 2.
   +) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:
   $\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot \frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot \frac{4^3-1}{4^3+1}\cdots \frac{{\left(k+1\right)}^3-1}{{\left(k+1\right)}^3+1}=\frac{2\left[{\left(k+1\right)}^2+\left(k+1\right)+1\right]}{3\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]}.$ 
   Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
   $\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot \frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot \frac{4^3-1}{4^3+1}\cdots \frac{k^3-1}{k^3+1}=\frac{2\left(k^2+k+1\right)}{3k(k+1)}.$
   Khi đó:
   $\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot \frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot \frac{4^3-1}{4^3+1}\cdots \frac{{\left(k+1\right)}^3-1}{{\left(k+1\right)}^3+1}$
   $=\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot \frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot \frac{4^3-1}{4^3+1}\cdots \frac{k^3-1}{k^3+1}.\frac{{\left(k+1\right)}^3-1}{{\left(k+1\right)}^3+1}$
   $=\left(\frac{2^3-1}{2^3+1}\cdot \frac{3^3-1}{3^3+1}\cdot \frac{4^3-1}{4^3+1}\cdots \frac{k^3-1}{k^3+1}\right).\frac{{\left(k+1\right)}^3-1}{{\left(k+1\right)}^3+1}$
   $=\frac{2\left(k^2+k+1\right)}{3k(k+1)}.\frac{{\left(k+1\right)}^3-1}{{\left(k+1\right)}^3+1}$
   $=\frac{2\left(k^2+k+1\right)}{3k(k+1)}.\frac{\left[\left(k+1\right)-1\right]\left[{\left(k+1\right)}^2+\left(k+1\right)+1\right]}{\left[\left(k+1\right)+1\right]\left[{\left(k+1\right)}^2-\left(k+1\right)+1\right]}$
   $=\frac{2\left(k^2+k+1\right)}{3k(k+1)}.\frac{k\left[{\left(k+1\right)}^2+\left(k+1\right)+1\right]}{\left[\left(k+1\right)+1\right]\left[\left(k^2+2k+1\right)-\left(k+1\right)+1\right]}$
   $=\frac{2\left(k^2+k+1\right)}{3k(k+1)}.\frac{k\left[{\left(k+1\right)}^2+\left(k+1\right)+1\right]}{\left[\left(k+1\right)+1\right]\left(k^2+k+1\right)}$
   $=\frac{2}{3\left(k+1\right)}.\frac{\left[{\left(k+1\right)}^2+\left(k+1\right)+1\right]}{\left[\left(k+1\right)+1\right]}$
   $=\frac{2\left[{\left(k+1\right)}^2+\left(k+1\right)+1\right]}{3\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]}.$

   Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*, (1+2)n, (1−2)n lần lượt viết được ở dạng an+bn2, an−bn2, trong đó an, bn là các số nguyên dương.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh với mọi n $\in$ ℕ^*, ${(1+\sqrt{2})}^n, {(1-\sqrt{2})}^n$ lần lượt viết được ở dạng $a_n+b_n\sqrt{2}, a_n-b_n\sqrt{2}$, trong đó a_n, b_n là các số nguyên dương.

   Trả lời:

   +) Khi n = 1, ta có:
   ${(1+\sqrt{2})}^1=1+\sqrt{2}=1+1.\sqrt{2}\Rightarrow$ a₁ = 1, b₁ = 1.
   Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
   +) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: ${(1+\sqrt{2})}^{k+1}$ viết được dưới dạng $a_{k+1}+b_{k+1}\sqrt{2},$ trong đó a_{k + 1}, b_{k + 1} là các số nguyên dương.
   Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
   ${(1+\sqrt{2})}^k=a_k+b_k\sqrt{2},$ với a_k, b_k là các số nguyên dương.
   Khi đó:
   ${(1+\sqrt{2})}^{k+1}={(1+\sqrt{2})}^k\left(1+\sqrt{2}\right)$
   $=\left(a_k+b_k\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)$
   $=a_k.1+b_k\sqrt{2}.1+a_k.\sqrt{2}+b_k\sqrt{2}.\sqrt{2}$
   $=a_k+b_k\sqrt{2}+a_k\sqrt{2}+2b_k$
   $=\left(a_k+2b_k\right)+\left(a_k+b_k\right)\sqrt{2}.$
   Vì a_k, b_k là các số nguyên dương nên a_k + 2b_k và a_k + b_k cũng là các số nguyên dương.
   Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.
   +) Theo chứng minh trên ta có:
   Với mọi n $\in$ ℕ^* thì ${(1+\sqrt{2})}^n=a_n-b_n\sqrt{2}$ với a_n, b_n là các số nguyên dương.
   Chứng minh tương tự ta được:
   Với mọi n $\in$ ℕ^* thì ${(1-\sqrt{2})}^n=c_n-d_n\sqrt{2}$ với c_n, d_n là các số nguyên dương.
   Giờ ta chứng minh a_n = c_n và b_n = d_n với mọi n $\in$ ℕ^*.

   Ta có: ${(1+\sqrt{2})}^n{\left(1-\sqrt{2}\right)}^n={\left[\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)\right]}^n={\left(-1\right)}^n$
   $\Rightarrow \left(a_n+b_n\sqrt{2}\right)\left(c_n-d_n\sqrt{2}\right)={\left(-1\right)}^n$
   $\Rightarrow \left(a_n{c}_n-2b_n{d}_n\right)+\left(b_n{c}_n-a_n{d}_n\right)\sqrt{2}={\left(-1\right)}^n$
   $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}_n{c}_n-2b_n{d}_n={\left(-1\right)}^n\left(1\right)\\ b_n{c}_n-a_n{d}_n=0\left(2\right)\end{array}\right..$
   Từ (2) ta suy ra $a_n{d}_n=b_n{c}_n\Rightarrow \frac{a_n}{c_n}=\frac{b_n}{d_n}=k$ với k > 0 (vì a_n, b_n, c_n, d_n là các số nguyên dương)
   $\Rightarrow a_n=k{c}_n,b_n=k{d}_n.$ Thế vào (1) ta được:
   $\left(k{c}_n\right)c_n-2\left(k{d}_n\right)d_n={\left(-1\right)}^n\Rightarrow k\left(c_n^2-2d_n^2\right)={\left(-1\right)}^n$
   $\Rightarrow 1⋮k\Rightarrow k=1\Rightarrow$a_n = c_n và b_n = d_n.
   Vậy ta có điều phải chứng minh.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Chứng minh 16n – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n∈ℕ*.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n$\in$ℕ^*.

   Trả lời:

   +) Khi n = 1, ta có: 16¹ – 15n – 1 = 0 ⁝ 225.
   Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
   +) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1 chia hết cho 225.
   Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 16^k – 15k – 1 chia hết cho 225.
   Khi đó:
   16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1
   = 16 . 16^k – 15k – 16
   = 16 . 16^k – (240k – 225k) – 16
   = 16 . 16^k – 240k + 225k – 16
   = 16 . 16^k – 240k – 16 + 225k
   = 16 (16^k – 15k – 1) + 225k
   Vì (16^k – 15k – 1) và 225k đều chia hết cho 225 nên 16 (16^k – 15k – 1) + 225k ⁝ 225, do đó 16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1 ⁝ 225.
   Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho Sn = 1 + 2 + 22 +… + 2n và Tn = 2n + 1 – 1, với n  ℕ*. a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3. b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho S_n = 1 + 2 + 2² +… + 2ⁿ và T_n = 2^{n + 1} – 1, với n  ℕ^*.
   a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.
   b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

   Trả lời:

   a) S₁ = 1 + 2¹ = 3, S₂ = 1 + 2 + 2² = 7, S₃ = 1 + 2 + 2² + 2³ = 15.
   T₁ = 2^{1 + 1} – 1 = 3, T₂ = 2^{2 + 1} – 1 = 7, T₃ = 2^{3 + 1} – 1 = 15.
   Vậy S₁ = T₁; S₂ = T₂; S₃ = T₃.
   b) Ta dự đoán S_n = T_n với n  ℕ^*.
   +) Khi n = 1, ta có: S₁ = T₁.
   Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
   +) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: S_{k + 1} = T_{k + 1}.
   Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: S_k = T_k.
   Khi đó:
   S_{k + 1} = 1 + 2 + 2² +… + 2^k + 2^{k + 1}
   = S_k + 2^{k + 1}
   = T_k + 2^{k + 1}
   = (2^{k + 1} – 1) + 2^{k + 1}
   = 2 . 2^{k + 1} – 1
   = 2^{k + 2} – 1
   = 2^{(k + 1) + 1} – 1
   =T_{k + 1}.
   Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n$\in$ℕ^*. Vậy S_n = T_n = 2^{n + 1} – 1 với n$\in$ℕ^*.
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====