Trong sơ đồ, chùm sáng S hướng vào gương màu xanh, phản xạ vào gương màu đỏ và sau đó phản xạ vào gương màu xanh như hình vẽ. Biết OP = 2 m, OQ=2+6 m. Khi đó đoạn PT bằng:

Câu hỏi:

Trong sơ đồ, chùm sáng S hướng vào gương màu xanh, phản xạ vào gương màu đỏ và sau đó phản xạ vào gương màu xanh như hình vẽ. Biết OP = 2 m, $OQ=\sqrt{2}+\sqrt{6}$ m.

Khi đó đoạn PT bằng:

A. $\frac{2\sqrt{6}}{3} m;$

Đáp án chính xác

B. $\frac{2\sqrt{3}}{3} m;$

C. $\frac{2\sqrt{2}}{3} m;$

D. $\frac{\sqrt{6}}{3} m;$

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: $\widehat{SQB}=\widehat{PQT}=\alpha ,\widehat{TPO}=\beta$ 
Áp dụng định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:
PQ² = OP² + OQ² – 2.OP.OQ.cos $\widehat{POQ}$ 
$\Rightarrow P{Q}^2=2^2+{\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2–\mathrm{2.2.}\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right).cos45°$ Þ PQ² = 8 $\Rightarrow PQ=2\sqrt{2}\left(m\right)$ 
Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:
$cos\alpha =cos\widehat{OQP}=\frac{O{Q}^2+P{Q}^2-O{P}^2}{2.OQ.PQ}=\frac{{\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2+8-2^2}{2.\left(\sqrt{2}+\sqrt{+6}\right).2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ 
Þ α = 30°
Xét tam giác POQ có: β = 45° + α (tính chất góc ngoài của tam giác)
Þ β = 45° + 30° = 75° $\Rightarrow \widehat{TPO}=75°$ 
Xét tam giác OTP ta có: $\widehat{OTP}+\widehat{TOP}+\widehat{TPO}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)
Hay $\widehat{OTP}+45°+75°=180°$
$\Rightarrow \widehat{OTP}=180°-45°-75°=60°$ 
Áp dụng định lí sin cho tam giác OTP ta có: $\frac{OP}{\sin \widehat{OTP}}=\frac{PT}{\sin \widehat{TOP}}$ 
$\Rightarrow \frac{2}{\sin 60°}=\frac{PT}{\sin 45°}$ $\Rightarrow PT=\frac{2.\sin 45°}{\sin 60°}=\frac{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$ 
Vậy $PT=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$ 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tam giác ABC, biết BC = 24, AC = 13, AB = 15. Số đo góc A là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC, biết BC = 24, AC = 13, AB = 15. Số đo góc A là:

   A. 28°37′;

   B. 33°34′;

   C. 58°24′;

   D. 117°49′.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: D
   Áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
   $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{{15}^2+{13}^2-{24}^2}{\mathrm{2.15.13}}=-\frac{7}{15}$
   Do đó $\widehat{A}\approx 117°49‘.$ 
   Vậy  $\widehat{A}\approx 117°49‘.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tam giác ABC có A^=68°12′,B^=34°44′, AB = 117. Độ dài cạnh AC là khoảng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tam giác ABC có $\widehat{A}=68°12‘,\widehat{B}=34°44‘,$ AB = 117. Độ dài cạnh AC là khoảng:

   A. 68;

   Đáp án chính xác

   B. 118

   C. 168

   D. 200

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: A
   Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=68°12‘,\widehat{B}=34°44‘,$ ta có:
   $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)
   $\Rightarrow \widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}$ 
   $\Rightarrow \widehat{C}=180°-68°12‘-34°44‘=77°4‘.$
   Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$
   $\Rightarrow AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{117.\sin 34°44‘}{\sin 77°4‘}\approx 68.$ 
   Vậy AC ≈ 68.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tam giác ABC có AB=2;AC=3 và C^=45°. Độ dài cạnh BC là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tam giác ABC có $AB=\sqrt{2};AC=\sqrt{3}$ và $\widehat{C}=45°$. Độ dài cạnh BC là:

   A. $BC=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2};$

   B. $BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2};$

   Đáp án chính xác

   C. $\sqrt{5}$

   D. $\sqrt{6}$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: B
   Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
   AB² = AC² + BC² – 2.AC.BC.cosC
   $\Rightarrow {\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+B{C}^2-2.\sqrt{3}.BC.cos45°$ 
   $\Rightarrow B{C}^2-\sqrt{6}.BC+1=0$ 
   $\Rightarrow BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ (vì BC > 0)
   Vậy $BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC có AB=3+1,AC=6, BC = 2. Số đo của B^−A^ là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có $AB=\sqrt{3}+1,AC=\sqrt{6},$ BC = 2. Số đo của $\widehat{B}-\widehat{A}$ là:

   A. 20°;

   B. 25°;

   Đáp án chính xác

   C. 30°;

   D. 35°;

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: B
   Áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
   +) $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2-2^2}{2.\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$\Rightarrow \widehat{A}=45°$ 
   +) $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2+2^2-{\left(\sqrt{6}\right)}^2}{2.\left(\sqrt{3}+1\right).2}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow \widehat{B}=60°$ 
   Do đó $\widehat{B}-\widehat{A}=60°-45°=25°.\Rightarrow \widehat{B}=60°$ 
   Vậy  $\widehat{B}-\widehat{A}=25°.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = 5, AC = 8, diện tích bằng 12. Độ dài cạnh BC là khoảng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = 5, AC = 8, diện tích bằng 12. Độ dài cạnh BC là khoảng:

   A. $2\sqrt{3}$

   B. $3\sqrt{2}$

   C. 4

   D. 5

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: D
   Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{AB.AC}$
   $\Rightarrow \sin A=\frac{2.12}{5.8}=\frac{3}{5}\Rightarrow \widehat{A}\approx 36°52‘$  (vì góc A là góc nhọn)
   Xét tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và $\widehat{A}\approx 36°52‘$, áp dụng định lí côsin ta có:
   BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA
   BC² ≈ 5² + 8² – 2.5.8.cos36°52′ ≈ 25
   Þ BC ≈ 5.
   Vậy BC ≈ 5.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====