Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?

Câu hỏi:

Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?

A. Mạnh thu được 122 mảnh 

B. Mạnh thu được 123 mảnh 

C. Mạnh thu được 120 mảnh 

D. Mạnh thu được 121 mảnh

Đáp án chính xác

Trả lời:

Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy. Do đó công thức tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là Sn = 6n + 1. Ta chứng minh tính đúng đắn của công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n.
Bước cơ sở. Mạnh cắt mảnh giấy thành 7 mảnh, n =1, S(1) = 6.1+1 =7
Công thức đúng với n = 1
Bước quy nạp: giả sử sau k bước, Mạnh nhận được số mảnh giấy là S(k) = 6k + 1
Sang bước thứ k +1, Mạnh lấy một trong số những mảnh giấy nhận được trong k bước trước và cắt thành 7 mảnh. Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong S(k) mảnh và thay vào đó 7 mảnh được cắt ra. Vậy tổng số mảnh giấy ở bước k + 1 là: S(k =1) = S(k) -1 + 7= S(k) + 6 = 6k + 1 + 6 = 6(k+1) +1
Vậy công thức S(n) đúng với mọi n ∈N* . Theo công thức trên chỉ có phương án D thoả mãn vì 121 =6.20 + 1
Đáp án D

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hãy xem trong lời giải của bài toán sau đây có bước nào bị sai?Bài toán: chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, mệnh đề sau đây đúng:A(n) : “nếu a và b là những số nguyên dương mà max{a,b} = n thì a = b”Chứng minh :Bước 1: A(1):”nếu a,b là những số nguyên dương mà max{a,b} = 1 thì a = b”Mệnh đề A(1) đúng vì max{a,b} = 1 và a,b là những số nguyên dương thì a= b =1.Bước 2: giả sử A(k) là mệnh đề đúng vơi k≥1Bước 3: xét max{a,b} = k+1 ⇒max{a-1,b-1} = k+ 1-1 = kDo a(k) là mệnh đề đúng nên a- 1= b-1 ⇒ a= b⇒ A(k+1) đúng.Vậy A(n) đúng với mọi n ∈N*
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hãy xem trong lời giải của bài toán sau đây có bước nào bị sai?Bài toán: chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, mệnh đề sau đây đúng:A(n) : “nếu a và b là những số nguyên dương mà max{a,b} = n thì a = b”Chứng minh :Bước 1: A(1):”nếu a,b là những số nguyên dương mà max{a,b} = 1 thì a = b”Mệnh đề A(1) đúng vì max{a,b} = 1 và a,b là những số nguyên dương thì a= b =1.Bước 2: giả sử A(k) là mệnh đề đúng vơi k≥1Bước 3: xét max{a,b} = k+1 ⇒max{a-1,b-1} = k+ 1-1 = kDo a(k) là mệnh đề đúng nên a- 1= b-1 ⇒ a= b⇒ A(k+1) đúng.Vậy A(n) đúng với mọi n ∈N*

   A. Bước 1

   B. Bước 2

   C. Bước 3

   Đáp án chính xác

   D. Không có bước nào sai

   Trả lời:

   Đáp án là C. Ta có a,b∈N* không suy ra a -1, b -1∈N* . Do vậy không áp dụng được giả thiết quy nạp cho cặp {a -1, b -1}.Chú ý: nêu bài toán trên đúng thì ta suy ra mọi số tự nhiên đều bằng nhau. Điều này là vô lí.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho dãy số (un) xác định bởi un = n2 – 4n – 2. Khi đó u10 bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số (un) xác định bởi $u_n = n^2 – 4n – 2$. Khi đó $u_{10}$ bằng:

   A. 48 

   B. 60

   C. 58

   Đáp án chính xác

   D. 10

   Trả lời:

   u10 = 102 – 4.20 – 2 =58Đáp án C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho dãy số un = 1+ (n +3).3n. khi đó công thức truy hồi của dãy là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số $u_n = 1+ (n +3).3^n$. khi đó công thức truy hồi của dãy là:

   A. $u_{n+1}=1+3u_n với n⩾1$

   B. $u_{n+1}=1+3u_n+3^{n+1} với n\ge 1$

   C. $u_{n+1}=u_n+3^{n+1} với n\ge 1$

   D. $u_{n+1}=3u_n+3^{n+1}-2 với n\ge 1$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   un+1 = 1+ (n+4).3n+1 = 1 + (n+3).3n+1 + 3n+1= 1 + 3n.(n+3).3 + 3n+1 = 3[1 + (n+ 3).3n] + 3n+1 – 2 = 3un + 3n+1 -2Đáp án là D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho dãy số (un) xác định bởi :u1=1un+1=un+n2, n≥1Công thức của un+1 theo n là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi :$\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=u_n+n^2, n\ge 1\end{array}\right.$Công thức của$u_{n+1}$ theo n là:

   A. $1+\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

   C. $\frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}$

   D. $1+\frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}$

   Trả lời:

   u1 = 1u2 = 1 + 12u3 = 1 + 12 + 22u4 = 1 + 12 + 22 + 32… Đáp án A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho dãy số (vn) xác định bởi :v1=3vn+1=v2n, n≥1Khi  đó v11 bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số$\left(v_n\right)$xác định bởi :$\left\{\begin{array}{l}{v}_1=3\\ v_{n+1}={v^2}_n, n\ge 1\end{array}\right.$Khi  đó $v_{11}$ bằng

   A. $3^{11}$

   B. $3^{1024}$

   Đáp án chính xác

   C. $3^{3^2}$

   D. $3^{22}$

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}{v}_1=3=3^{2^0}\\ v_2=3^2=3^{2^1}\\ v_3=3^4=3^{2^2}\\ v_4=3^8=3^{2^3}\\ \mathrm{\dots }\\ v_n=3^{2^{n-1}}\end{array}$Suy ra:$v_{11}=3^{2^{10}}=3^{1024}$Đáp án là B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====